Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

Логарифмический декремент колебаний

пи—1

т.е. меняется в процессе движения.

Частотно-независимое трение. Так называют трение, количественные характеристики которо­ го не зависят от скорости g , а определяются значениями наибольших отклонений А (кулоново трение; внутреннее трение в конст­ рукционных материалах). При этом рассеиваемая за один цикл колебаний энергия v|/ не зависит от частоты колебаний и определяется амплитудой ,А; обычно эту зависимость принимают в виде

Иногда при анализе вьшужденных колеба­ ний нелинейную характеристику трения заменя­ ют эквивалентной в энергетическом отношении характеристикой линейно-вязкого трения b*q\

коэффициент Ы определяют из условия равен­ ства работ, совершаемых обеими силами за пе­ риод вынужденных колебаний 2п/р (р - частота вынужденных колебаний). Если принять при­

Значения Ь* для некоторых частных случаев силы трения приведены в табл. 6.5.7.

6.5.7. Значения эквивалентных коэффициентов линейно-вязкого трения

6.5.5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Системы с нелинейной восстанавливающей силой. При действии гармонической вынуждаю­ щей СШ1Ы С = GQ sin pt ъ системе с нелинейной восстанавливающей силой возникают периоди­ ческие (но не гармонические) колебания, кото­ рые можно представить в виде суммы гармоник. Частота первой из них (основной гармоники) равна заданной частоте р. Гармоники с частота­ ми 2/7, 3/>,... называют супергармониками.

Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы с нелинейной упругой харак­ теристикой при линейном трении описываются дифференциальным уравнением вида

aq + b^q + F{q) = Q^s>m pt,

где Z>* - эквивалентный коэффициент линейно-

вязкого трения; в частном случае Ь*=0. Амплитуда основной гармоники прибли­

женно определяется соотношением

где зависимость co(^i) соответствует решению задачи о свободных колебаниях (см. п. 6.5.3).

В отличие от линейных систем при нели­ нейных колебаниях зависимость амплитуды А\ от частоты р, как правило, неоднозначна и опре­ деляется типом нелинейной упругой характерис­ тики F{q).

Пример АЧХ системы с жесткой упругой характеристикой (см. табл. 6.5.5) и линейным трением приведен на рис. 6.5.5, а (см. сплош­ ную линию). Штрихпунктирной линией показа­ на скелетная кривая, определяющая связь амп­ литуды А\ свободных колебаний той же системы с их основной частотой со (см. табл. 6.5.5).

Х^ +CÛQ Ху = Ц/}(Х1,Х2,...,Х5,Х1,Х2,...,Х^) +

(6.5.19)

где ц - малый параметр.

Такая структура уравнений позволяет целе­ направленно изучать пространственные колеба­ ния, вызванные перекачкой энергии между ко­ ординатами Xj. Их качественный характер будет выражен наиболее четко, если в уравнениях (6.5.19) вместо шести вынуждающих сил Qi(t) рассматривать только одну, например Сб = Go Sin pt (Qf=0 при /;t6).

Анатшз структуры квазилинейных уравне­ ний движения твердого тела (6.5.19) показывает, что существование нелинейных резонансных состояний возможно при следующих соотноше­ ниях частот:

и (6.5.21) определяющая роль принадлежит нелинейньп^ членам второго порядка, резонансы типов (6.5.22) - (6.5.25) определяются нелиней­ ными членами третьего порядка относительно обобщенных координат. Резонансы типа (6.5.20), (6.5.21), (6.5.23), (6.5.24) обусловлены выполне­ нием некоторых соотношений меж;][у собствен­ ными частотами системы COQ/I ^ОЬ ^ОГ ^ часто­

Рис. 6.5.6. Резонансные кривые при периодических пространственных колебаниях твердых тел

Внешние резонансы подразделяют на про­ стые (6.5.21), (6.5.23) и комбинационные (6.5.21), (6.5.24). В первом случае реализуются периодические режимы пространственных колебаний твердых тел; вид резонансных кривых показан на рис. 6.5.6. Устойчивые режимы стационарные: колебаний соответствуют жирным линиям, из­ менение амплитуды колебаний при квазистаци­ онарном увеличении или уменьшении частоты возбуждения показано стрелками.

Рис. 6.5.7. Резонансные кривые при почти периодических пространственных колебаниях

твердого тела

При комбинационном резонансе твердое тело совершает трехмерные почти периодические пространственные колебания (рис. 6.5.7).

QQ sinpi

^27777777777777777?XZ7Z^^

Рис. 6.5.8. Одномассовая система с тремя степенями свободы

Пример 3. Рассмотрим плоские колебания твердого тела массой m под действием гармони­ ческой силы QQ sin pt (рис. 6.5.8). Система имс-

ет три степени свободы, ее движение без учета диссипативных сил описывается следующими уравнениями:

îwc -f тЩ1 + с^х = 0;

где с^, Сх, Сц, - коэффициенты жесткости в на­ правлении осей координат z, х, цг; IQ - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр жесткости системы. Первое уравне­ ние характеризует вынужденные вертикальные колебания массы т. Подставив его решение Z = Asinpt в два последних уравнения, полу­ чим систему параметрических уравнений для горизонтально-вращательных колебаний твердо­ го тела. Параметрический коэффициент зависит от вертикального смещения центра масс относи­ тельно центра жесткости О. В рассматриваемой системе плоские периодические колебания воз­ буждаются в главной и побочной областях про­ стых резонансов

^оу 2± Fc^Vj

• У = 1,2; « = 1,2,3,,..; F = mlA,

Плоские почти периодические колебания возбуждаются в главной и побочных областях комбинационных резонансов

fi.S.l. ВЫНУЖДЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ

Динамические явления в роторных систе­ мах носят, как правило, линейный характер, что проявляется, в частности, в пропорциональности амплитуд колебаний с частотой вращения ротора величине его неуравновешенности. В тех случа­ ях, когда проявляются нелинейные эффекты, они имеют в основном тот же характер, что и

"затягивание" и "срыв" колебаний при разгоне и выбеге, субгармонические режимы) [30, 41, 51, 84]. Вместе с тем роторные системы имеют и некоторые особенности, обусловленные враще­ нием ротора и увеличением вследствие этого вдвое числа степеней свободы по сравнению с аналогичными стержневыми системами. Ниже рассмотрены особенноста вынужденных нели­ нейных колебаний роторов в случаях, когда вся

нелинейность системы сосредоточена в опорных устройствах роторов*.

Ротор на подшипниках с большими зазора­ ми. В некоторых случаях, например, при значи­ тельных износах зазоры в подшипниках являют­ ся большими и соизмеримыми с величиной не­ уравновешенности ротора**. Зазоры как нели­ нейные элементы вносят существенные особен­ ности в динамик>' роторных систем, приводя к возникновению субгармонических колебаний, к непропорциональности амплитуд колебаний вели^шне неуравновешенности и к зависимости режимов движения от соотношения между вели­

Рис. 6.5.9. СиАшетричный жесткий неуравновешенный ротор, установленный на Двух опорах с зазорами

Для симметричного жесткого тяж:елош не­ уравновешенного ротора на дв>'х опорах с боль­ шими зазорами (рис. 6.5.9) уравнение движения при поступательньис перемещениях имеет вид [68]

т Л ф -ь mg sin ф 4- тер 2 8ш(ф - pt) + ЬАц> = О,

где m - масса ротора; Л - радиальный зазор в подшипниках; ф - угол, отсчитываемый от ниж­ ней вертикали в направлении вращения; е - не­ уравновешенность ротора; р - угловая скорость вращения ротора; b - коэффициент сил вязкого сопротивления.

* Такие нелинейные явления в роторах, как авто­ колебания вследствие действия циркуляционных сил и параметрические колебания, обусловленные анизотроп­ ными свойствами роторов, когда нелинейности высту­ пают не как причины особых эффектов, а лишь как факторы, ограничивающие колебания после потери устойчивости, рассмотрены в гл. 7.

•* Под неуравновешенностью ротора здесь подра­ зумевается эксцентриситет неуравновешенного ротора.

(п—2, 3,...) наступают субгармонические коле­

бания порядка 1/п.

В случаях, когда ротор гибкий и его соб­ ственная частота соизмерима с собственной час­ тотой маятниковых колебаний, диапазон суще­ ствования субгармонических колебаний расши­ ряется и при большой неуравновешенности об­ наруживаются субгармоники порядка 1/2 даже в районе основного резонанса гибкого ротора.

Ротор на подшипниках качения. В наиболее распространенных опорах роторов - в подшип­ никах качения - имеет место нелинейная зави­ симость между ко1ггактной деформацией и нафузкой. Кроме того, всегда существующие ради­ альные зазоры в самих подшипниках также вли­ яют на общую нелинейность системы.

Для стандартных подшипников со сфери­ ческими телами качения между радиальной нафузкой и деформацией существует зависимость, установленная на основании контактной теории Герца,

где IV - нафузка, Н; / - деформация, см; h - коэффициент, определяемый по формуле

, ,^9 -3/2 Л/2 ^

где а - коэффициент, зависящий от типа под­ шипника (а=280 для радиального и радиальноупорного подшипника); Z - число шариков; й^щ - диаметр шариков, см; у - угол контакта тел ка­

чения.

При оценке влияния подшипников каче­ ния на собственные частоты колебаний роторов иногда используют величину "жесткости" под­ шипника при статической нафузке W=Wç)

2/Згх/1/3

^-к^'Ж

W=W^

Эта величина позволяет достоверно опре­ делять собственные частоты в направлении дей­ ствия статической нафузки, однако эта жест­ кость не полностью отражает динамические про­ цессы, возникающие при вращении ротора на подшипниках качения, так как существенное влияние оказывают зазоры в подшипниках и силы демпфирования.

Уравнения движения симметричного тяже­ лого неуравновешенного гибкого ротора на под­ шипниках качения записывают в виде [20]

где Wi, m2 - массы диска и опора; Xj, yi; X2, У2- перемещения соответственно диска ротора и его опор; с - жесткость вала; Рд., Ру - силы, возни­ кающие в подшипниках качения и равные

- Ь^У2 - ^У2У2 ^

здесь Л - радиальный зазор в подшипниках; bi - коэффициент сил линейного, а Z?2 " коэффици­

ент сил нелинейного трения.

Наиболее существенное влияние на дина­ мику системы оказывают безразмерные парамет­ ры

1.0 p/oj

Рис. 6.5.12. Амплитудные кривые для гибкого ротора на подшипниках качения

при малых зазорах и большой неуравновешенности

При большой неуравновешенности и не­ больших зазорах (6=10, v = l , х=1) амплитуд­ ная кривая / (рис. 6.5.12) имеет вид, характер­ ный для "жесткой" нелинейности. Податливость подшипников незначительно снижает критичес­ кую скорость ротора на абсолютно жестких опо­ рах со = J e / /Wj . Колебания в горизонтальном

и вертикальном направлении практически оди­ наковы. Когда неуравновешенность мала, а зазо-

ры в подшипниках велики (0=10, v=0,l, Х~5)> критические скорости четко раздваиваются по горизонтальному (кривая 2) и вертикальному (кривая 3) направлениям.

На рис. 6.5Л3 показаны кривые для очень малых значений параметра 6 (например, для ротора с вертикальной осью вращения, 0=0). Кривые ], 2, 3 характеризуют малый зазор (Х=0,1) при различных значениях параметра неуравновешенности (7-v=0,l; 2-v=0,25; 3- v=l,0), а уменьшением параметра v резонанс­ ные пики значительно смещаются в сторону меньших скоростей.

Ротор на опорах специального типа. В прак­ тике машиностроения vij\s{ уменьшения резонан­ сных колебаний в высокоскоростных машинах применяют упругие опоры с сухим трением, с предварительным натягом и др., а также ограни­ чители колебаний [20, 30). Начинают применять специальные электромагнитные опоры с систе­ мой автоматического регулирования. Указанные опоры имеют, как правило, нелинейные харак­ теристики, что приводит к возникновению не­ линейных колебаний и эффектов.

Гибкий ротор с ограничителем деформаций. Для уменьшения колебаний вблизи критических скоростей применяют ограничители деформа­ ций, устанавливаемые между вращающимся не­ уравновешенным ротором и неподвижным кор­ пусом с некоторым радиальным зазором и всту­ пающие в действие при больших перемещениях ротора (рис. 6.5.14). При наличии ограничителя, делающего систему нелинейной, вид амплитуд­ ных кривых существенно изменяется и появля­ ются рааличные режимы, зависящие от величи­ ны зазора, скорости вращения и уровня сил демпфирования.

Рис. 6.5ЛЗ. Амплитудные кривые длягабкогоротора

свертикальной осью вращения с малым зазором

иразличными значениями неуравновешенности

Кривые 4, 5 соответствуют большим зазо­ рам (Х^'^) и очень малым значениям коэффици­ ентов сил демпфирования ('^-v=0,l; 5-v=0,25). Ветви амплитудных кривых сближаются и исче­ зают ветви, соответствующие обратному ходу. С увеличением демпфирования амплитудные кри­ вые, характеризующие периодические решения, исчезают, т.е. при больших зазорах в подшипни­ ках качения у роторов с вертикальной осью вращения могут вообще отсутствовать критичес­ кие скорости в обычном понимании этого слова.

Расчеты показали, что только вязкое ли­ нейное трение не ограничивает амплитуды при резонансах (в отличие от линейных систем), что косвенно подтверждает существование в реаль­ ных системах нелинейного трения.

Для высокоскоростных роторных систем с подшипниками качения при скоростях враще­ ния, превьпиающих в 2 раза и более первую критическую скорость, возникают субгармони­ ческие колебания порядков 1/2, 1/3 ..., обуслов­ ленные совместным действием нелинейной жес­ ткости подшипников и зазоров в них.

Рис. 6.5.14. Гибкий ротор с оп}аничителем деформаций

Характерная амплитудная кривая (рис. 6.5.15) построена при значении параметров

А/^=5; 5=V(û)mi)=0,26; Wi//n2=0,l;

C2/C1—IO; (О = yjc^ I /Wj.

На рис. 6.5.15 можно вьщелить три воз­ можных режима: / - ротор движется, не касаясь ограничителя; П - ротор движется вместе с огра­ ничителем как единое целое; /// - виброударный режим, когда в одни моменты времени ротор и ограничитель движутся вместе, а в другие - по отдельности.

Z р/о)

Рис. 6.5.15. Амплитудная кривая для гибкого ротора с ограничителем деформаций

Режим /// является примером того, как при гармоническом возбуждении от неуравновешен­ ности возникают негармонические и даже непе­ риодические режимы движения.

Рис. 6.5.16. Экспериментальная амплитудная 1фивая для шарового ротора на электромагнитном подвесе

Шаровой ротор в электромагнитном подвесе [69]. В процессе экспериментальных исследова­ ний с шаровым ротором был выявлен ряд нели­ нейных эффектов, в частности таких, как суще­ ствование широкого диапазона субгармоничес­ ких колебаний, независимость при определен­ ных условиях амплитуд колебаний от массовой неуравновешенности ротора и др. На экспери­ ментальной амплитудной кривой (рис. 6.5.16) вьщеляются три зоны. В зонах / и /// имеют место колебания с частотой, равной частоте вра­ щения, причем в зоне /при частоте^! Гц име­ ет место резонанс, при котором амидитуды ко­ лебаний шара достигают значений, близких к величине зазора между ротором и статором. В зоне // наряду с колебаниями с частотой враще­ ния наблюдались интенсивные субгармонические колебания порядков 1/2, 1/3 и 1/4. В ряде пус­ ков субгармонические колебания занимали всю зону, однако в ряде пусков эти колебания вооб­ ще не возникали. Указанные явления можно объяснить, если обратиться к анализу уравнений движения ротора на электромагнитном подвесе. В случае, когда регулятор имеет характеристику с "зоной нечувствительности", а ротор в условиях Земли приводится во вращение асинхронным двигателем, колебания шарового ротора в гори­

где с, dy К - коэффициенты, подобранные так, ^ггобы результирующая восстанавливающая сила

достоверно описывала отрицательную" жест­ кость электромагнитного поля приводного дви­ гателя и управляющую силу элекгромагнитаого подвеса; е - действующая неуравновешенность, обусловленная несовпадением центра инерции и магнитного центра шара с центром его шаровой поверхности; W - постоянная нагрузка, обуслов­ ленная, например, несовпадением оси подвеса и оси статора двигателя.

Расчетные амплитудные кривые (рис. 6.5.17) подтверждают существование широких диапазонов скоростей, где возможны субгармо­ нические колебания. При этом ветви субгармо­ ник различных порядков (1/2; 1/3; 1/4 и 1/5) перекрывают одна другую, что, видимо, и созда­ ет отмеченные в экспериментах сплошные обла­ сти субгармонических колебаний.

P/ÙJ

Рис. 6.5.17. Расчетные амплитудные кривые для шарового ротора на электромагнитном подвесе

Наблюдавшаяся в эксперименте независи­ мость амплитуд колебаний от величины неурав­ новешенности ротора, равной расстоянию от цетра поверхности ротора до центра его тяжес­ ти, нашла свое объяснение в существовании в магнитном подвесе магнитного моме1гта трения, аналогичного по действию моменту от сил сухо­ го трения, не позволяющею центру тяжести занять свое положение на вертикали, проходдщей через ось вращения ротора.

6.5.8. ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ

Фрикционными называют автоколебания, обусловленные нелинейностью сил трения. Та­ кие колебания могут возникать в устройствах

подачи металлорежущих станков, фрикционных муфтах сцепления и других устройствах, как правило, при малых относительных скоростях скольжения [15, 20]. Две модельные схемы сис­ тем, в которых возможны фрикционные автоко­ лебания, показаны на рис. 6.5.18, а, б.

ние силы трения совпадает по направлению со скоростью q . Для этих случаев дифференциаль­ ные уравнения малых возмущенных движений имеют вид:

для слу^1ая 1 aq -\- bq -\- cq = О, для случая 2 aq - bq +cq ~0.

- ^ 4

Рис. 6.5.19. Нелинейная характеристика трения

Если точка [VQ, RQ\ расположена на падающем участке характеристики (см. точку 2 на рис. 6.5.19), состояние равновесия неустойчиво, так как возникающее после возмущения прираще­

Рис. 6.5.20. Фазовая траектория при фрикционных автоколебаниях

В принципе тот же характер имеют свой­ ства системы с позиционным трениСхМ, когда уравнение возмущенного движения имеет вид

(уравнение Ван-дер-Поля).

R = RQ~R'^q+-RQq^ R^q\ (6.5.28) 2 6

штрихами обозначены производные силы трения

вточке (VQ, RQ].

Вэтом случае амплитуда стационарных ав­ токолебаний

А^

-Ri

Рис. 6.5.21. Упрощенная характеристика трения:

R\ - предельная сила трения покоя; /?2 - сила трения движения (i?2<^i)

Иногда вместо характеристики, представ­ ленной на рис. 6.5.19, пользуются предельно упрощенной характеристикой, изображенной на рис. 6.5.21. Если принять в расчет такую харак­ теристику, то с помощью метода припасовывания можно точно найти период и размахи авто­ колебаний.