Батыгин&co

Условие б) означает, что падающая волна должна быть поляризована в плоскости, составляющей угол тг/4 с плоскостью падения. Исследуем, может ли выполняться условие а).

Из формул (1) получим:

Отсюда следует, что при во = arcsinn и во = тг/2, 5 обращается в нуль, а между этими точками принимает максимальное значение. Обычным способом легко найти, что tg -у* = ~ п . Чтобы tg 5/2 был равен 1 (5 = ^), должны выполняться неравенства 1 —п2 ^ 2n, n ^ 0,414.

418. Если вектор Бо нормален к плоскости падения, поперечная и продольная составляющие вектора Пойнтинга имеют вид

(1)

е~м'Ж[1 ~cos2{k'x ~ ш1)]-

Здесь ось z нормальна к границе сред, ось х представляет собою линию пересечения плоскости падения и границы раздела,

к' = къsin во, к" = fa у sin2 во - п2,

где fa = ^712 — волновой вектор во второй среде, во — угол падения.

Из формул (1) видно, что в направлении нормали к границе энергия совершает колебания с частотой 2и>. Средний (по времени) поток энергии

392 Глава VIII

во вторую среду равен нулю. Среднее значение 7ц не равно нулю: имеется поток энергии вдоль границы раздела.

Линии вектора Пойнтинга во второй среде определяются уравнением

|sinfc'j|

(2)

где С — постоянная интегрирования.

Примерный ход этих линий изображен на рис. 82. В первой среде линии 7 имеют более сложный вид (см. [118]).

sin в0 = к2 sin02, = 3 Ve

sin 02 и cos 02 являются комплексными величинами.

Положим cos 02 = рег а , где р и а — вещественные величины, зависящие от 0о и электрических постоянных среды. Параметры р, а определяются из системы уравнений:

Волна, прошедшая в проводящую среду 2, описывается функцией

Е2(г,<) = E2 e~p z ei ( x f c i s i n e °+ Z 9 ~a ") .

Отсюда видно, что направления распространения и затуханий волны не совпадают — волна неоднородна. Плоскости постоянной амплитуды z = = const параллельны поверхности проводника. Плоскости постояннойфазы определяются уравнением

xki sin во = zq(0o) = const,

из которого следует, что вектор к2 , указывающий направление распростра-

нения волны, составляет с осью z угол ф = arctg 1 ^' n ° (рис. 83). Фазовая

Я\ро)

скорость в проводящей среде зависит от угла падения:

421. Для определения коэффициентаотражения от плоского слоя нужно найти связь между амплитудами отраженной и падающей волн. Эту связь можно определить двумя способами.

По первому способу — с помощью граничных условий. Учитывая, что на границах z = 0 и z = а должны быть непрерывны касательные компоненты векторов Б и Н, и что перед слоем со стороны падающей волны имеются волны, распространяющиеся в обе стороны, а за слоем — только прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направлении оси z, получим из граничных условий:

где Ei — амплитуда отраженной, а Ео — амплитуда падающей волны,

Амплитуда волны, вышедшей из слоя в область z < 0 после однократного отражения от границы z = а:

S\ = /32 ia2 3 /31 2 Soe-2 i f e 2 a .

Амплитуда волны, вернувшейся в область z < 0 после s-кратного отражения от границы z = а:

Полная амплитуда Е\ волны, отраженной от плоского слоя, равна сумме всех 8а:

С помощью формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим снова соотношение (1).

Коэффициент отражения определяется как R = \Е I2 . Находя мини-

| £ |

мум R обычным способом, получим, что отражение минимально, если толщина слоя удовлетворяет условию

где А2 — длина волны внутри слоя.

Рассмотрим наименьшую толщину слоя а = -1, соответствующую минимуму R. Приравнивая R нулю, найдем условие отсутствия отражения:

£2 = У/£1£З-

422. Уравнение, которому удовлетворяет электрическое поле, запишется в виде (см.(VIII.12)):

Мы должны найти решение этого уравнения, которое при всех z является ограниченным и при z —» ±ооудовлетворяет некоторым условиям, вытекающим изфизического смысла задачи. При z —» —оо решение должно представлять суперпозицию двух волн, падающей и отраженной, т. е.

£

Произведем в уравнении (1) замену независимой переменной —е а = = £. Новая переменная меняется в пределах —оо ^ £ ^ 0 при изменении z от —оо до +оо.С помощью подстановки Е(£) = £~гка1р(£), получим для новой неизвестной функции VKO уравнение

= 0, (4)

2

где х 2 = ^-Де. Это уравнение называется гипергеометрическим. <г

Как следует из условия (3),функция VKO должна стремиться к постоянному пределу при£ —»0. Решением уравнения (4),ведущим себя указанным образом, является гипергеометрическая функция (см.справочник [90], 7.200, 7.251):