ГЛАВА VI
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§1. Поляризация вещества в постоянном поле
297./3= Jog.
Если заряд электрона распределен равномерно внутри сферы с радиусом ао то /? = aj).1
299. Из симметрии молекулы очевидно, что одна из главных осей тензора поляризуемости будет совпадать с осью молекулы, а две другие оси могут быть выбраны произвольно в плоскости, перпендикулярной оси молекулы. Поэтому из трех главных значений тензора поляризуемости только два будут различны: /З^, /З^ = /3^3\ Для их определения нужно отдельно рассмотреть следующие случаи:
а) Внешнее поле направлено по оси молекулы. Очевидно, что индуцированный дипольный момент каждого из атомов будет направлен вдоль внешнего поля. Обозначив эти моменты соответственно через р' и р", получим для их определения два уравнения
р ' = /?'(Е + Е'), |
р " = /?"(Е + Е"), |
(1) |
где Е — внешнее поле, Е' и Е" |
— дополнительные поля, вызываемые |
в центре каждого из атомов присутствием другого атома. Поля Е' и Е" можно выразить через дипольные моменты соответствующих атомов, воспользовавшись формулой для напряженности поля, создаваемого диполем с моментом р и учитывая, что все векторы направлены вдоль оси молекулы.
1 Модель, рассмотренная в этой задаче, очень груба и позволяет получить лишь порядковую оценку. Точный квантовомеханический расчет дает для водорода /3 = ~aj).
§ 1. Поляризация вещества в постоянном поле |
331 |
Определяя затем р' и р" из системы (1), с помощью формулы р = р' +р" =
^найдем
I |
2{a3 |
+ 2/3') |
i |
2{a3 + 2/3") |
0' |
a3(a3 |
+ 2(3") |
0' |
a3 {a3+ 20') |
б) Внешнее поле перпендикулярно оси молекулы. Аналогичным путем получаем
0(2) = 0(3) = |
_ |
|
|
|
|
|
а3-(3' |
J , |
а3-(3" |
|
0' |
а3(а3-0") |
^7 + |
а3(а30') |
|
0" |
При 0' = 0" выражения 0^ |
|
и 0^ упрощаются: |
|
Средняя поляризуемость
\
20' 0'
301. а) Диэлектрик в целом будет анизотропным. Главные значения тензора поляризуемости диэлектрика (ср. (VIA')):
б) В случае беспорядочной ориентации молекул в макроскопических объемах диэлектрика не будет никаких физически выделенных направлений, кроме направления внешнего поля. Поэтому средний дипольный момент молекулы р будет пропорционален действующему на молекулу полю 8:
С другой стороны, имеем, очевидно:
Pi = Pik&k = Ъ
где усреднение производится по макроскопическому малому объему. Из сравнения двух последних формул следует, что
Таким образом,
Но сумма диагональных компонент тензора есть инвариант, равный сумме главных значений /3^ + /3^ + /3^ (см. задачу 9). Поэтому
Коэффициент поляризации диэлектрика а связан с /3 обычной формулой (VL4').
302. Если ось молекулы ориентирована под углом в к направлению внешнего поля Бо, то энергия молекулы запишется в виде
W = - | р • Е о = -|(/3i cos2 в + /32 sin2 0)El
Число частиц в единице объема, оси которых направлены под углом в относительно Бо, дается формулой Больцмана (VI.6). В условии нормировки (VI.7) величина N должна иметь смысл числа частиц в единице объема. Вектор поляризации определяется формулой Р = Np, где р — усредненный по распределению Больцмана дипольный момент одной молекулы. Поскольку в отсутствие поля молекулы ориентированы хаотически, р будет иметь направление внешнего поля.
В соответствии с этим вычисляем величину р по формуле
Ео ] ехр( - ^ Р ) (Л cos2 в + fa sin2 в)sinв <Ю
р = 4F fpn dN = — N J II
где через рц обозначена компонента дипольного момента молекулы, параллельная полю. По условию задачи поле — слабое, поэтому достаточно
§ 1. Поляризация вещества в постоянном поле |
333 |
учитывать только члены, линейные по а = - — |
° -С 1. Использовав |
|
|
£Ki± |
|
далее формулы Р = Np = aEo, получим окончательно |
|
|
|
|
|
Как видно |
из этой формулы, зависимость между Р и EQ получа- |
ется нелинейной, и а |
не является коэффициентом пропорциональности, |
не зависящим от Ео. |
Оценим величину поправочного члена |
при обыч- |
ных температурах (Т |
= 300 К). Считая /?i — /?2 порядка 10 |
см3 , по- |
лучим |
и 106. Таким образом, этот член мал, если Ео |
-С Ю3 в/см. |
Pi — Р2
Пренебрегая поправочным членом, получим для а прежнее выражение:
(см. задачу 301).
305. Дополнительный потенциал, обусловленный квадрупольной поляризацией диэлектрика, запишется в виде
(1)
где R — расстояние от точки наблюдения до элемента объема dV, а интегрирование ведется по объему диэлектрика. С другой стороны, потенциал объемных и поверхностных зарядов в общем случае имеет вид
S, (2)
где р' — плотность объемных зарядов, а' — плотность поверхностных зарядов, т' — мощность двойного слоя. Приведя (1) к виду (2), получим
, 1 d2Qik |
_ , _ 1 dQin |
, 1 Л „ |
Таким образом, квадрупольная поляризация эквивалентна объемным зарядам р' внутри диэлектрика, поверхностным зарядам а' и двойному электрическому слою с мощностью т' на поверхности диэлектрика. Поскольку
плотности объемных и поверхностных зарядов в диэлектрике связаны с вектором поляризации формулами р' = —divP', а' = Р^, то из (3) следует, что квадрупольная поляризация эквивалентна дополнительной дипольнои поляризации
р , _ 1 dQik
P
и двойному слою с мощностью т'к.
Формулы (3) можно получить также из рассмотрения энергии диэлектрика, обусловленной квадрупольной поляризацией.
П
306. е = ±
4
где х = &nN(J. Поляризуемость 0 для полярных веществ в слабых полях дается формулой
и ~ ЪкТ
где р — дипольный момент молекулы, к — постоянная Больцмана, Т — температура.
При i < l , когда отличие действующего на молекулу поля от среднего поля становится очень малым,
307.Полная магнитная восприимчивость равна сумме парамагнитной
идиамагнитной восприимчивостей (см. [101]):
*ЗкТ бшс2
Входящий в эту формулу магнитный момент одного ротатора m может быть вычислен следующим образом. На основе известной теоремы имеем
где К — момент количества движения частицы. В случае ротатора К связан с кинетической энергией формулой
§ 1. Поляризация вещества в постоянном поле |
335 |
Поэтому среднее статистическое значение К2 выражается через среднюю кинетическую энергию:
Но средняя кинетическая энергия Wk может быть найдена по теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Поскольку ротатор имеет две степени свободы, Wk = кТ. Подставляя (4) и (2) в (1), находим х = 0- Этот результат находится в соответствии с общей теоремой, согласно которой полный магнитный момент тела, подчиняющегося классической статистике, равен нулю. Отличный от нуля магнитный момент получается только в том случае, когда делается предположение о существовании дискретных электронных орбит в атомах. Но такое предположение означает выход за рамки классической теории1.
308. Концентрации, ионов (N) и электронов (п) определяются по формуле Больцмана (VI.6):
где <р(х,у, z) — электростатический потенциал. Множители перед экспонентами выбраны так, чтобы при Т —> оо, когда взаимодействие частиц становится несущественным, Nun переходили бы в Щ и щ. На основе (1) плотность заряда запишется в виде
Zetp eip
У (2)
Потенциал <р должен быть определен путем решения уравнения Пуассона:
Zetp e<p
) (3)
Чтобы решить это уравнение, используем условие малости энергии взаимодействия по сравнению с тепловой энергией:
|
кТ |
« 1 , |
_ « 1 . |
|
|
кТ |
|
|
|
Разлагая экспоненты в ряд с точностью до членов, линейных по <р,и ис- |
пользуя условие электронейтральности газа ZNQ = щ, получим |
г |
4тг^' |
|
fcT |
1 Подробнее об этом см., например, [70].
Это позволяет записать уравнение (3) в виде
Потенциал tp может зависеть только от расстояния г до рассматриваемого иона. Сферически симметричное решение (5) имеет вид
Потенциал не может возрастать на бесконечности, поэтому Сг = 0. С\ определяется из условия, что при г <с 3j потенциал должен переходить в чисто кулоновский потенциал рассматриваемого иона:
= " Г = " Г ' C l = Ze-
Таким образом, ион окружен «облаком» электронов и других ионов, плотность которого убывает по экспоненциальному закону, а средний радиус 1/х тем меньше, чем ниже температура.
Рассмотренный в этой задаче метод вычисления потенциала принадлежит Дебаю и Хюккелю и применялся ими в теории сильных электролитов. Константа 1/х называется радиусом Дебая-Хюккеля.
309. Электрическая индукция внутри пластинки описывается форму-
лой
г>/_\ с chxx
D ( x ) = E o
где УС = \/ Жви^° • При xh > 1 имеем вблизи поверхностей х = ±h
|
|
D(x) = £ oe - ~ ( / l 4 x | ) ; |
отсюда следует, что |
при |
\х — h\ > |
^ , D(x) = 0, т.е. поле проникает |
в проводник на глубину |
1/х. |
В слое такой же толщины концентрируется |
заряд |
|
|
|
|
р |
~ 4тг47Г |
дх |
47Г |
Плотность «поверхностного» заряда, которая рассматривается в макроскопической теории, получается интегрированием р. На границе х = h получим
§ 2. Поляризация вещества в переменном поле |
337 |
что совпадает с обычным граничным условием на поверхности проводника.
1
Значение к1 в даниом случае получается вдвое большим, чем в предыдущей задаче, так как имеются два сорта подвижных ионов.
§2. Поляризация вещества в переменном поле
311.е = 1 + 4nNa3, ц = 1 - 2nNa3 < 1.
Такой диэлектрик является диамагнитным. Проницаемости е и ц,не зависят от частоты вследствие предположения об идеальной проводимости сфер.
Для того чтобы искусственный диэлектрик можно было рассматривать как сплошную среду, должны выполняться условия
А » I, А » а,
где I — среднее расстояние между сферами. Пренебрегать отличием действующего поля от среднего можно лишь при малой поляризуемости среды
(т. е. при |
4nNa3 < 1). |
|
312. |
Уравнение движения электрона запишется в виде |
|
|
тт + Tfir = eEoe"*"*. |
(1) |
Его частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид
г = —-
где 7 = ш- Дипольный момент единицы объема получим умножением г на заряд
электрона е на число частиц в единице объема N, после чего определяются поляризуемость среды а(ш) и диэлектрическая проницаемость е(ш):
С помощью уравнения (1) и закона Ома найдем связь между удельным сопротивлением р и коэффициентом т/:
Этот же результат можно получить путем сравнения диэлектрической проницаемости (2) с комплексной диэлектрической проницаемостью (VIII.8), выраженной через проводимость:
Отделяя в формуле (2) вещественную и мнимую части, находим
Из формул (5) следует, что е' |
и а зависят от частоты. При ш < 7 о н и |
принимают свои статические значения |
j - л |
ШР . -, - _ e2N |
Как следует из (4), (5), комплексная диэлектрическая проницаемость проводящей среды при малых частотах (и> —> 0) обращается в бесконечность. При больших частотах она принимает вид
Такая зависимость е(и>) при больших частотах справедлива также и для диэлектриков.
Оценим порядок величины 7 = щ для меди (проводимость в статическом случае а = 5 • 101 7 сек"1 ). Из формулы (3) следует:
|
|
_ Ne2 |
N0e2d |
|
|
|
7 |
|
|
где iVo |
и |
6 • 102 3 .моль"1 — число Авогадро, А и 63,5 г/моль — атомный |
вес и d |
и 8,9 г/см3 — плотность меди. Оценка дает 7 ~ 10+ 1 4 |
сек"1 ; |
для сравнения укажем, что видимой части спектра соответствуют |
часто- |
ты и 101 5 |
сек"1 . |
|
|
Таким образом, в этом случае можно считать, что проводимость сохраняет значение, которое она имеет в стационарном случае, вплоть до частот, лежащих в инфракрасной области спектра. Однако нужно иметь в виду,
§ 2. Поляризация вещества в переменном поле |
339 |
что при высоких частотах, когда длина свободного пробега электрона становится сравнимой с глубиной проникновения поля в металл, начинают сказываться эффекты пространственной неоднородности поля и макроскопическая величина е (диэлектрическая проницаемость) теряет смысл. (Подробнее об этом см. [34, 66], § 67.)
Полученные в этой задаче результаты в ограниченной области частот применимы к металлу, а также к полупроводнику и к ионизованному газу (плазме), если движением положительных ионов можно пренебречь. Вычисление диэлектрической проницаемости плазмы с учетом движения положительных ионов см. ниже в задаче 321.
313. Молекулы диэлектрика не обладают сферической симметрией, поэтому внешнее поле Ео частично ориентирует их, и диэлектрик в целом становится анизотропным. При этом ориентирующим действием переменного поля, в силу условия 8 <с Ео, можно пренебречь. Поскольку причиной анизотропии является внешнее электрическое поле Ео, одна из главных осей тензора диэлектрической проницаемости будет совпадать с его направлением, остальные две главные оси будут перпендикулярны Ео.
Обозначим компоненты поляризуемости молекулы в этих осях через /3'ik (значения i, к = 1 соответствуют оси, параллельной Ео). /3'ik выразятся через /?(*) по обычной формуле:
/3'ik = ацакт01т = (0- /3')<хцак1 + /3'6ik,
где аи — косинусы углов между осями симметрии молекулы и главными осями тензора диэлектрической проницаемости (использовано соотношение ацак1 = Sik, вытекающее из ортогональности матрицы а»&). Чтобы подсчитать тензор диэлектрической восприимчивости для единицы объема диэлектрика, нужно найти с помощью формулы Больцмана статистические средние величин 0'ik, т.е. усреднить произведение anctki-
Если обозначить полярные углы оси симметрии молекулы в штрихованной системе через $, <р,то величины ац запишутся так:
041 = cos ti, c*i2 = sin ti cos (p, c*i3 = sin ti sin (p.
Проводя усреднение с помощью формулы Больцмана (как в задаче 302),
(
получим с точностью до членов, линейных по а = -
