Батыгин&co
.pdf372 |
Глава VII |
Наложим, как обычно, на потенциалы дополнительное условие
с eft
Тогда, поскольку divA = 0, что следует из формул (2) и (3), будем
иметь -%- = —илр = 0, так что Е = — -*тгг = —А. Поэтому А будет удо- ot с at с
влетворять такому же уравнению, как и электрическое поле (см. (VII. 12). Решением этого уравнения, ограниченным при г = 0, является функция Бесселя:
F(r) = Ch (kr), Ai = Ch (kr) sin a. |
(4) |
Постоянные С и m в (4) и (2) определяются из условия равенства внутреннего (Hi) и внешнего (Нг) полей на границе цилиндра: Hi = Нг при г = а. Использовав (П 3.9), получим
с _ |
2Я0 |
т _ а2Но |
Г |
2 |
Мка) |
|
kJo(ka)' |
2 |
у |
ка |
J0(ka) |
Из выражения для т следует, что поперечная магнитная поляризуемость цилиндра
„2
вдвое больше его продольной поляризуемости (см. задачу 382). Компоненты магнитного поля внутри цилиндра определяются из (4) и (5):
(7)
Определим еще плотность тока в цилиндре. По формуле j = j - rot H получим
тсЯ0 Ji(kr)
Из формулы (8) видно, что в каждый момент времени в двух половинах цилиндра 0 < а < 7 г и 7 г < а < 2 7 г токи текут в противоположных направлениях; полный ток через сечение цилиндра равен нулю. Радиальная
§ 2. Вихревые токии скин-эффект |
373 |
зависимость плотности тока такая же, как в случае цилиндра, находящегося
впродольном поле, и была исследована в задаче 380. (Однако нужно иметь
ввиду, что в случае продольного поля токи текут по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, тогда как в случае поперечного поля они текут вдоль оси цилиндра.)
384.Среднее тепловыделение на единицу длины цилиндра проще всего вычислить по формуле (VII. 17), рассмотрев поток энергии, втекающий через боковую поверхность цилиндра. Используя результаты задачи 383, получим
Тот же результат получится с помощью формулы (VII. 16), причем при интегрировании произведения функций Бесселя нужно использовать формулу (П3.13).
385. Для определения вращательного момента нужно знать электрическое и магнитное поля внутри цилиндра. Их можно найти тем же способом, что и в задаче 383 для линейно поляризованного внешнего поля:
|
|
|
|
|
_ |
Л(кг) |
пг |
— |
|
|
, е , па — |
г ш о е |
|
|
|
krJo(ka) |
е |
п |
г ш о е |
|
|
|
|
|
Jo(ka) |
||
. |
_ |
ickHp |
Jijkr) |
i a |
|
|
3z~ |
|
2тг |
' J0(ka)e |
' |
|
|
Сила, приложенная к единице объема цилиндра, вычисляется по формуле
f=i(jxH) |
(2) |
(считаем, что внутри цилиндра /л = 1). Радиальная компонента этой силы вызовет радиально направленное давление, азимутальная компонента создает вращательный момент. Поскольку j и Н — комплексные величины, среднее значение азимутальной составляющей силы выразится так:
7а = ±-сЪе{ЗгЩ). |
(3) |
Вращательный момент, действующий на единицу длины цилиндра, получится путем умножения средней силы (3) на г и интегрирования по сечению
374 |
Глава VII |
цилиндра. Интеграл вычисляется с помощью формулы (П3.13). В результате получим
Этот же результат получается другим путем. Момент сил можно выразить через магнитный момент системы по формуле
N(t) = m(t) x H0 (t). |
(5) |
Определяя Nz = N через комплексные амплитуды Но и m, a m —через поперечную магнитную поляризуемость цилиндра (см. задачу 383), приходим к формуле (4).
При малых частотах из (4) получим
а при больших частотах
(7)
Из этих формул видно, что вращательный момент исчезает в обоих предельных случаях очень малых и очень больших частот.
Если поле поляризовано линейно,средний вращательный момент равен нулю (формально это следует из того, что интеграл по а обратится в нуль при вычислении JV; см. задачу 383, в которой найдены j и Н для этого случая). Таким образом, вращательный момент создается «вращающимся» полем.
Явление, рассмотренное в данной задаче, лежит в основе устройства асинхронного электромотора.
386. Наряду с неподвижной системой отсчета, у которой ось z совпадает с осью цилиндра, а ось х — с направлением внешнего поля Но, рассмотрим систему координат £, т\, z, вращающуюся вместе с цилиндром. В этой системе координат внешнее магнитное поле запишется в виде
Ho(t) = (Hoi - i H 0 2 ) e - i w t .
Здесь Hoi и Н02 — постоянные векторы одинаковой длины Я01 = Я02 = = Яо, имеющие направления координатных осей £, ц. Поле такого вида
§ 2. Вихревые токии скин-эффект |
375 |
было рассмотрено в задаче 385. Создаваемый им вращательный момент (который в данном случае будет тормозящим) равен
387. В задаче 379 было показано, что вихревые токи, возникающие в цилиндре при изменении внешнего продольного поля, не создают добавочного магнитного поля вне цилиндра; во внутренней области создаваемое ими поле продольно и зависит только от г. Это поле будет удовлетворять уравнению
д Н |
. 1 дН |
_ ^"г" |
цп _ р. |
/-|\ |
дг2 |
г дг |
с2 |
at |
к ' |
Очевидно, что магнитное поле внутри цилиндра будет затухать со временем.
Поэтому частные решения уравнения (1) будем искать в виде |
F(r)e~'rt, |
|
где 7 > 0 — постоянная. Для F(r) получаем уравнение Бесселя: |
|
|
|
F"(r) + i f ( r ) + k*F{r)= 0, |
(2) |
где к*= |
. |
|
с
Ограниченное при г = 0 решение уравнения (2) имеет вид F(r) = = CJo(kr). Поскольку внешнее поле До выключается, а добавочное поле, создаваемое вихревыми токами, вне цилиндра равно нулю, на границе должно выполняться условие Д | р = а = 0, т. е.
Jo(ka) = 0. |
(3) |
Отсюда находим кта = /Зт, т = 1,2,..., где /Зт — нули функции JoВозможными значениями 7 будут
1т= - ^ Ц . |
(4) |
Общее решение уравнения (1), соответствующее рассматриваемой краевой задаче, запишется в виде
e-^t. (5)
376 |
Глава VII |
Коэффициенты Ст определятся из начального условия
г). (6)
Воспользовавшись свойством ортогональности функций Бесселя:
1
/ xJ0(kmx)J0(knx) |
dx = | [Jo(km)]2unn, |
(7) |
|
о |
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
а |
|
Ст = |
~ |
Г / Я <Г ' °)МктГ)г dr. |
(8) |
а2 |
Л(кта) |
2 J |
так |
В начальный момент времени поле Н(г, 0) равно внешнему полю Щ, |
|||
как постоянное магнитное поле не искажается, если в него поместить бесконечный цилиндр, ось которого параллельна полю. Использовав формулы (П 3.12), (П3.9), найдем
Скорость затухания поля будет определяться наименьшим из значений ут, т. е. 7i • Его можно получить, подставив в (4) значение наименьшего корня
функции |
Бесселя /?i и 2,4. Время затухания поля г = |
fj-. |
388. |
Магнитное поле внутри шара в нулевом (по частоте) приближе- |
|
нии было найдено в задаче 281: |
|
|
|
Н = ^ Н 0 . |
(1) |
Электрическое поле внутри шара в этом же приближении, как следует из уравнения (VII. 11), оказывается равным нулю, так как постоянное магнитное поле не создает электрического поля. Для определения электрического поля в следующем (линейном по и>) приближении используем уравнение (VII. 10) в интегральной форме.
Из свойств симметрии системы ясно, что токи в шаре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных Но; так же будет направлено электрическое поле.
§ 2. Вихревые токии скин-эффект |
377 |
Выбрав сферическую систему координат с осью z вдоль Но, получим
^ |
j = oE, |
(2) |
где Н определено равенством (1). Выделяющееся в шаре тепло Q найдем, интегрируя q = \<г\Е\2 по объему шара:
389. Вне шара магнитное поле:
= Н0 |
Зг(т • г) |
т |
|
г5 |
г 3 ' |
||
|
где m = — ^а3 Но; 0 = — ^а 3 — магнитная поляризуемость шара при сильном скин-эффекте.
Внутри шара:
Нф = —-^Н^е |
sin??, Hr = На ^ О, |
где z отсчитывается от поверхности по нормали в глубь проводника, полярная ось сферической системы координат направлена вдоль Но;
8
390. В случае сильного скин-эффекта поле внутри эллипсоида равно нулю, а во внешней области удовлетворяет уравнениям rot E = 0, div E = = 0 и граничным условиям Hn\s = 0, Н ^ ^ ^ , где Но — внешнее поле и через S обозначена поверхность эллипсоида.
Сравним эту задачу с задачей о диэлектрическом эллипсоиде с s = 0, находящемся в однородном электрическом поле. Электрическое поле вне
такого эллипсоида будет удовлетворять уравнениям |
|
||
|
rotE = 0, |
divE = 0 |
(1) |
и граничным условиям |
|
|
|
\ |
\ |
= 0, E^-^Eo. |
(2) |