Lecture2
.pdf
Покажем,
dS
r
d
q
d! = q
4!0
результат не зависит от формы поверхности! 
E
= |
q |
|
dS |
= |
q |
d |
4%& |
|
r 2 |
4%& |
|||
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
d > 0
Если площадка обращена к q внутренней стороной
d < 0
Если площадка обращена к q внешней стороной
= # d! = |
q |
|
- телесный угол под которым |
4!0 |
видна поверхность S из точки |
||
S |
|
нахождения точечного заряда |
Если |
замкнутая, то следует различать два случая: |
1. Заряд лежит внутри пространства, окруженного поверхностью S
n
d
n 
dS
!
n2
dS1
= 4#
Нечетное число пересечений эквивалентно одному пересечению.
2. Заряд лежит |
пространства, окруженного поверхностью S |
n2 |
dS |
|
|
|
n1 |
dS1 |
d |
|
q |
В этом случае любая прямая,
пересекает поверхность S, либо пересекает четное число раз. Полный телесный угол и поток Ф равны 0.
Случай когда заряд лежит на поверхности S не имеет физического смысла, поскольку понятие точечного заряда есть идеализация (любой заряд имеет геометрические размеры).
Если поле создается системой зарядов, то по принципу суперпозиции:
! ! |
! ! |
= # (EdS ) = # (EidS ) |
|
S |
S |
!! q
= # (EdS ) =
S |
%0 |
! ! |
q |
|
q |
= # (EidS ) = |
i |
= |
|
% |
% |
||
S |
0 |
0 |
|
Теорема Гаусса Поток вектора напряженности электрического поля через
произвольную замкнутую поверхность численно равен заряду, охваченному этой поверхностью деленному на ε0.
Замечание.
Если заряды внутри поверхности S были каким-либо образом перемещены, то напряженность в любой точке пространства изменится, а поток через поверхность S нет.
поле равномерно заряженной плоскости
E |
> 0 |
E |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(E dS) = |
(E dS) + (E dS) + |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
S1 |
|
S2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
! S |
||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
S3 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
E = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Электрическое поле вблизи заряженной поверхности
(поле создается как зарядами на плоскости, так и другими зарядами, расположенными где пространстве)
(EdS ) =(E1dS1 ) + (E2dS2 ) + (EdS ) =
S Sc
dS2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= E1n |
dS + E2n |
dS = |
||||||||
|
||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#dS |
|
||
|
|
= (E2n E1n )dS = |
|
|||||||
1 |
n |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
# |
|
|
|
|
||
|
|
E2n E1n |
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
Нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля испытывает скачок на σ/ε0 при прохождении через любую заряженную поверхность, причем независимо от того есть или нет заряды вне этой поверхности.
Дивергенция электрического поля
z |
Вычислим поток векторного поля через |
|
n1 |
||
поверхность бесконечно малого кубика. |
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
! F dS |
|
|
||
|
n2 |
|
y |
|
|
" |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
||||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
Fn1 |
( x, y, z)dS = Fx ( x, y, z)dydz |
|
|
||||||||
|
|
Fn2 |
( x + dx, y, z)dS = Fx ( x + dx, y, z)dydz |
||||||||||
|
|
F ( x + dx, y, z)dydz F ( x, y, z)dydz = |
#Fx |
dxdydz |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
#x |
|
|
|
|
! ! % |
|
|
|
|
|
|
( |
|||
|
|
|
#F |
#Fy |
|
#F |
! |
|
|||||
|
|
FdS = |
x |
+ |
|
+ |
|
|
z |
dxdydz= divFdV |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
S |
& #x |
#y |
|
|
#z ) |
|
|
||||
V |
# FdS = #divFdV = divFdV |
||
|
! ! |
! ! |
V |
|
|
||
S |
# FdS |
= FdS |
|
|
! ! |
S ! |
|
|
FdS = |
divFdV |
|
|
S |
V |
|
Теорема Остроградского-Гаусса
"! F dS = ! divF dV
S V
"! F dS = ! divF dV
S V
Если объем V мал
|
! ! |
! |
! |
|
1 |
! |
! |
|
|
|
! F dS = divFV |
divF = lim |
! F dS |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
" |
|
|
V 0 |
V |
" |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
||
Дивергенция векторной функции |
F в точке есть предел к |
||||||||
которому стремиться отношение потока вектора |
F через |
||||||||
произвольную поверхность, окружающую точку, к объему, ограниченному этой поверхностью.
Значение дивергенции не зависит от выбора системы координат, т.е. истинный скаляр!
Дифференциальная форма теоремы Гаусса
! ! q
"! E dS =
!0
q = ! ! dV
V
" ! divE =
0
|
! ! |
! |
||
"! |
E dS = "! divEdV |
|||
|
V |
|
|
|
|
" |
1 |
|
|
! divEdV = |
! dV |
|||
|
||||
V |
|
!0 V |
||
#E |
x |
+ |
#Ey |
+ |
#E |
z |
|
= |
! |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
# x |
|
# y |
|
#z |
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
! |
|
! |
! |
! |
! |
|
|
! |
! |
! ! |
! |
||||||||||
= |
|
|
|
|
i + |
|
|
|
|
j + |
|
|
|
|
k |
E = |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
! x |
! y |
|
|
!z |
|
0 |
|||||||||||||