Lecture8
.pdf
Электрическое поле при наличии диэлектрика
Электрический дипольный момент молекулы. Потенциал электронейтральной молекулы
|
|
|
|
! |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
! |
!(r ) = |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ! r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
O |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ! r |
|
|
|
<< 1, |
|
! |
! |
|
! |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
! 2 |
!! |
|
!1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
i |
|
i |
|
|
|
r ! ri |
|
|
|
|
= (r |
+ ri |
(rri )) |
2 |
= |
||||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(rr )& 1 |
|
|
|
(rr )& |
|||||||||||||
|
|
|
|
# |
|
|
|
i |
|
|
# |
||||||||||||||||||
|
= r!1 %1 |
+ |
! |
|
|
|
|
|
|
i |
|
( |
|
) r!1 %1+ |
|
i |
( |
||||||||||||
|
r2 |
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
r2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
! |
1 # |
q |
!! |
|
|
1 |
! ! |
|
1 |
! ! |
||
qi (rri )& |
|
(( qiri )r ) |
|
( pr ) |
||||||||
!(r ) ! |
|
% |
i |
+ |
|
( |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
r3 |
4#0 |
r3 |
4#0 |
r3 |
||||||
|
4#0 i |
r i |
|
|
|
|||||||
! |
! |
Дипольный момент молекулы |
p = !qiri |
||
Дипольный момент молекулы не зависит от выбора системы координат
O |
! ! |
! |
! |
# R qi |
= |
p! = qiri!= qi (ri |
# R) = qiri |
||||
!
= p
R
ri
O! ri! i
r!
O
Поведение молекулы во внешнем поле совпадает с поведением диполя
W = !qi!(ri ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
! |
|
|
|
! |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
!(ri ) = !(O) + |
|
|
xi |
+ |
|
|
yi + |
|
|
zi |
= |
|
x |
y |
z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= !(O) + rigrad! = !(O) # (ri E(O))
! ! ! !
W = !qi!(O) + !qi (ri E(O)) = #( pE)
Полярные и неполярные диэлектрики
Поляризация диэлектрика
Дипольным моментом можно охарактеризовать не только распределение зарядов в отдельной молекуле, но и распределение зарядов в макроскопическом объеме диэлектрика, состоящего из многих молекул. Суммирование по всем зарядам можно провести в два этапа:
- сначала просуммировать по всем зарядам входящим в состав отдельных молекул,
- затем просуммировать по всем молекулам, находящимся а объеме V.
! !
p! = # pj
V
! |
1 |
! |
|
|
|
1 |
! |
|
P = lim V 0 |
# pj |
= lim |
V |
0 |
% p dV |
|||
!V |
!V |
|||||||
! |
!V |
|
! |
|
|
Поляризацией диэлектрика называется дипольный момент единицы объема.
Потенциал электрического поля при
При рассмотрении поля при наличии диэлектриков следует различать вида электрических зарядов:
- сторонние заряды, заряды которые привнесены из вне нарушают электронейтральность диэлектрика,
- связные заряды – заряды входящие в состав нейтральных молекул закрепленные в узлах кристаллической решетки.
! = !0 +!1 |
|
|
|
|
|
|||
!0 |
= |
1 |
! |
dV |
+ |
1 |
! |
% dS |
|
|
|
r |
|||||
|
|
4#0 |
r 4#0 |
|||||
1 d!1 = 4#
1
0
! |
! |
|
|
! |
|
||
P(r1 )(r ! r1 ) |
dV |
||||||
|
|||||||
|
|
! |
! |
|
3 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P(r1 )(r ! r1 )
1
V1 
dV
r ! r1
r1
A
O r
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
! |
! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
! |
|
= |
|
|
|
|
|
P(r1 )(r ! r1 ) |
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
4#0 |
|
|
|
|
! |
! |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
! r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
! |
! |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
1 |
|
!(P2n |
! P1n )dS |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
P(r1 )(r ! r1 ) |
dV = |
|
+ |
|
!divP(r1 )dV1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4#0 |
|
|
|
|
! ! |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
! ! |
|
|
4#0 |
|
! ! |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
! r |
|
|
|
|
|
|
|
4#0 S |
|
r |
! r1 |
|
|
|
|
r ! r1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подробный вывод эквивалентности этих выражений приведен в приложении к лекции.
P2n ! P1n = !! |
divP = !! |
# dV |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
% dS |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
|
|
|
# |
|
|
|
! ! |
|
+ |
|
|
|
|
# |
|
|
! !1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4#0 S |
|
|
|
r |
! r1 |
|
|
|
|
4!0 |
|
r |
! r1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
! = |
|
1 |
|
# |
( |
|
|
+ )dS |
|
+ |
1 |
|
|
|
# |
(# + #)dV |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
! |
|
|
|||||
|
4#0 |
|
|
|
|
|
4!0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r ! r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
! r1 |
|
|
|||||||||||
физический смысл
n ! Pn = !! di = !
E
b
P
|
|
|
|
|
|
! |
|
!! |
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
В |
поляризованном диэлектрике средняя |
|
|
равна 0. |
|||||
Смежные области |
в |
|
|
, |
|||||
следовательно нигде не может |
|
|
. |
||||||
На границе |
|
|
диэлектрика |
|
|
заряд. |
|||
"# P dS = !
s
Докажем |
о потоке |
поляризации путем |
||
непосредственных расчетов. |
|
|
||
|
|
|
||
|
Пусть в диэлектрике нет сторонних |
(диэлектрик состоит из |
||
|
нейтральных молекул). Выделим объем V, |
|
поверхностью S. |
|
|
Поверхность S пересечет некоторое число молекул |
объема V может |
||
|
оказаться |
от нуля. Найдем величину |
заряда. |
|
S
dS n l
V
Ч и с л о д и п ол е й кото р ы е р а с с е ка ют с я элементом поверхности dS равно:
!
NldS Cos(ln)
|
|
|
!! |
|
! |
|
1 |
! |
! |
! |
|
P |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dq |
= eNldS |
Cos (ln ) |
|
P |
= |
|
|
|
p = Nel |
l |
= |
|
|
||||
|
|
!V |
|
Ne |
|||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
!V |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
!! |
|
|
|
|
|
|
|
! ! |
||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dq |
= eN |
|
|
dS |
Cos (Pn ) |
= |
Pn |
dS |
dq = #Pn dS |
|
q = # P dS |
||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Ne |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
Поляризуемость диэлектрика
При не очень сильных электрических полях модуль вектора поляризации
пропорционален модулю напряженности электрического поля: |
P ! E |
|
Если диэлектрик изотропен, направление вектора |
|
P = !0 E |
поляризации совпадает с направлением напряженности поля: |
|
|
В анизотропных средах направление вектора поляризации |
Pi |
= !0 ! ij Ej |
в общем случае не совпадает с направлением поля: |
|
|
Вектор электрического смещения (электрической индукции)
! |
! + !! |
|
! divP |
|
|
! |
! |
|
! ! |
|
|
||
divE = |
= |
div! |
E + divP = ! div |
E + P |
) |
= ! |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
!0 |
|
0 |
|
|
( 0 |
|
|
|||
! |
|
|
! ! |
|
|
|
|
|
|||||
! ! |
" |
# |
|
|
|
|
|
||||||
D = !0 E + P |
divD = ! |
DdS = q |
Теорема Гаусса для вектора |
||||||||||
|
|
|
|
|
" |
|
|
индукции |
|
|
|
|
|
S
Единственным источником вектора D являются свободные заряды, на которых
этот вектор начинается и заканчивается. В точках без свободных зарядов, этот вектор непрерывен.
D = !0 E + P = !0 E + !0 E = !0!E ! = 1+