ConspectiLekziiMexanika2013-2

Допустим, частица среды, находящаяся в точке x = 0 колеблется по гармоническому закону :

Очевидно, что любая частица, находящаяся на оси х будет совершать колебание в соответствие с уравнением:

что мы и назовем уравнением гармонической бегущей волны.

Преобразуем его (внесем в скобки)

(148)

Определим волновое число как:

(149)

где - циклическая, (круговая) частота, а

.

С учетом (149) получим уравнение бегущей плоской гармонической волны в общем случае

где А-амплитуда,

- фаза волны,

- начальная фаза.

121

Фронт волны, волновые поверхности, фазовая скорость

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к

моменту времени t, называется волновым фронтом, а место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, - волновой поверхностью.

Бегущая волна (150) является плоской волной, когда ее волновые поверхности

представляют собой совокупности плоскостей, параллельных друг другу.

где r- радиальная координата.

В не поглощающей среде

.

Скорость распространения гармонической волны называется фазовой скоростью. В случае плоской гармонической волны из условия

следует, что

122

Волновое уравнение

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением - дифференциальным уравнением в частных производных (без вывода).

где

(154)

-оператор Лапласа, - фазовая скорость.

Решением уравнения (153) является уравнение любой волны (плоской, сферической и т.д.).

Для плоской гармонической волны (150) волновое уравнение принимает вид

123

Энергия бегущей волны. Плотность потока энергии

Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды.

Объемная плотность энергии для плоской бегущей волны (150)

имеет вид (без вывода):

(156)

(где - плотность среды) периодически изменяется от 0 до за время .

Среднее значение плотности энергии за промежуток времени (без вывода)

. (157)

124

Дифракция и интерференция волн

Гармонические волны распространяются в среде независимо друг от друга. Это справедливо для волн любой природы и носит название принципа суперпозиции.

Монохроматическая волна - это строго гармоническая

(синусоидальная) волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой.

Амплитуда и фаза такой волны могут изменяться от одной точки пространства к другой, частота же остается постоянной во всем пространстве.

Когерентные волны - это гармонические волны с одинаковой частотой, одинакового направления и с постоянной разностью фаз.

Рисунок 63.

Волны, встретив на своем пути препятствие, огибают его. Это явление называется дифракцией.

Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн – результат интерференции вторичных волн.

125

При сложении когерентных волн возникает явление

интерференции – колебания частиц в некоторых точках усиливаются, а в других – ослабляются.

Рисунок 64.

Рассмотрим это на примере сложения двух когерентных волн (рисунок 64), исходящих от двух источников (щелей в первом экране)

и

До второго экрана в точку дойдут колебания от соответствующих источников

и

или

и .

Амплитуда колебаний в искомой точке будет (см. 121)

126

где

Максимум амплитуды:

;

или , где = 0,1,2…..

Минимум амплитуды:

; или

, где = 0,1,2…..

127

Стоячие волны

Если навстречу друг другу распространяются две волны

и ,

то образуется стоячая волна

Исследуем сначала множитель

.

В точках

,

где n = 0,1,2...,

и, следовательно, .

Эти точки не колеблются и поэтому называются узлами стоячей волны (см. рисунок 65). Расстояние между соседними узлами

равно .

Точки максимальной амплитуды стоячей волны называются пучностями. Их координаты . Расстояние между соседними пучностями также равно .

128

Рисунок 65.

На рисунке 65 сплошной линией изображена зависимость

от ,

129

Механика жидкостей и газов

Статика жидкостей и газов

Жидкие и газообразные тела характерны тем, что меняют свою форму при воздействии на них тел из вне. При изменении объема возникают упругие силы, которые уравновешивают действие внешних сил.

Рисунок 66.

Равнодействующая сил, направленных по нормали и отнесенная к

площади называется давлением

или .

Давление – скаляр, измеряется в системе СИ в н/м2.

130