ConspectiLekziiMexanika2013-2

А (x,y,z)

определяется координатами x, y, z, а закон ее движения задается тремя уравнениями:

(2)

при этом

где - единичные по модулю и взаимно перпендикулярные векторы-орты системы координат.

Непрерывная линия, которую описывает точка при своем движении, называется траекторией (рисунки 1 и 6).

В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение и криволинейное движение (частный случай - движение по окружности).

11

Рисунок 6.

12

Скорость

Мгновенная скорость материальной точки определяется как

т.е. мгновенная скорость есть производная радиуса-вектора по времени.

Она направлена по касательной к траектории движущейся точки (в физике производная по времени может обозначаться точкой над знаком переменной величины).

Из рисунка 6 видно, что при

,

поэтому модуль скорости

(6)

Можно описать движение через параметры траектории.

Радиус вектор становится сложной функцией вида

,

поэтому из (5) следует:

,

где

13

-единичный вектор, касательный к траектории;

-модуль скорости движения материальной точки.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

С учетом формулы (3) из (5) получаем

где

(7 и 8).

- компоненты скорости, они равны производным соответствующих координат по времени.

На рисунке 6 обозначает единичный касательный вектор, он совпадает с направлением скорости , поэтому

14

Ускорение

Для характеристики быстроты изменения скорости вводится векторная физическая величина, называемая ускорением .

Оно определяется аналогично скорости:

. (10)

С учетом формул (7) и (8) из (10) находим

(11)

где

(12)

- компоненты ускорения, они равны вторым производным соответствующих координат по времени.

15

Ускорение при криволинейном движении

Каждой точке траектории можно сопоставить окружность, которая сливается с траекторией на бесконечно малом ее участке.

Рисунок 7.

Радиус этой окружности , (см. рисунок 7), характеризует кривизну линии в рассматриваемой точке и называется радиусом кривизны.

Здесь - радиус кривизны в данной точке траектории, а - единичный вектор нормали, обозначает единичный

касательный вектор, он совпадает с направлением скорости , при этом и перпендикулярны.

16

С учетом формул (9) из (10) получаем полное ускорение

(13)

Можно показать (рисунок 8), что

,

где

- нормальное ускорение, оно характеризует быстроту изменения

направления вектора скорости и всегда направлено к центру кривизны траектории;

-касательное или тангенциальное ускорение; характеризует быстроту изменения модуля скорости.

Получим выражение для нормального ускорения, поскольку выражение для касательного ускорения очевидно.

Рассмотрим движение материальной точки по окружности:

17

Рисунок 8.

Из рисунка 8 следует:

,

откуда:

Отсюда, с учетом того, что модуль скорости определяется как

,

а направление вектора приближается к направлению вектора нормали , получим выражение для нормального ускорения:

18

Отметим, что при ускоренном движении

и совпадает по направлению со скоростью ,

а при замедленном движении

и противоположно скорости .

На рисунке 7 показаны векторы и для случая ускоренного движения.

Как следует из рисунка 7 модуль ускорения точки будет определяться следующим образом:

(14)

Можно показать, что ускорение при любом криволинейном движении материальной точки определяется теми же соотношениями, что и в случае движения по окружности, при этом

радиус окружности будет относиться к радиусу кривизны (см.

выше).

Ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с2).

19

Пройденный путь

В общем виде неравномерного движения путь определяется как:

.

Рисунок 9.