ConspectiLekziiMexanika2013-2
.pdf
Гармонический осциллятор
Система, описываемая уравнением
,
где 
, решением которого является:
,
называют гармоническим осциллятором.
Найдем импульс гармонического осциллятора
.
Далее запишем эти два уравнения в виде:
, 
.
Возведем в квадрат эти два уравнения и сложим –
. (125)
В результате получаем уравнение эллипса:
,
где по оси х – отложено смещение, а по оси у – импульс p.
Абсолютными максимальными значениями (полуосями) для х будут 
, для у - 
.
101
Рисунок 51.
Координатная плоскость – 
– фазовая плоскость, а соответствующий график – фазовая траектория (эллипс, рисунок
51).
Найдем площадь эллипса
, (где 
-собственная частота осциллятора)
(где Е –полная механическая энергия)
или |
. |
(126) |
Откуда следует, что энергия осциллятора пропорциональна площади эллипса и собственной частоте.
102
Биения
Имеются два гармонических колебания, близкие по частоте
(ω1 ~ ω2)
тогда
, (127)
то результирующее колебание:
- есть гармоническое колебание с частотой |
, |
||
где |
, |
а |
, |
и c изменяющейся амплитудой |
|
(рисунок 52). |
|
Рисунок 52.
103
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим простейшие примеры сложения взаимно перпендикулярных колебаний.
Пусть
и
,
поделим одно выражение на другое
,
откуда в результате – получаем уравнение прямой зависимости
(рисунок 53).
Рисунок 53.
104
В случае
и
,
возведем в квадрат эти соотношения:
и
;
и сложим получившиеся выражения. В результате получим уравнение эллипса:
(рисунок 54).
Рисунок 54.
105
Фигуры Лиссажу
;
Рисунок 55.
Замкнутые траектории - фигуры Лиссажу.
106
Математический маятник
Рисунок 56.
Математический маятник - это материальная точка, массой m подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити.
Тангенциальное ускорение а, возникает под действием тангенциальной силы
.
Для малых 
можно положить
и тогда
.
С другой стороны тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением
107
соотношением:
.
Из второго закона Ньютона следует, что
,
или
.
Деля правую и левую части этого уравнения на l, получим:
, |
(128) |
где 
.
Решением его для малых φ будет:
, (129)
где
. |
(130) |
Таким образом, период колебаний математического маятника T, не зависит от его массы и амплитуды колебаний.
108
Физический маятник
Это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести.
Рисунок 57.
Рассмотрим эту задачу исходя из II-го закона Ньютона для вращательного движения
На маятник, отклоненный на малый угол φ действует момент силы
,
который и сообщает угловое ускорение
,
где J - момент инерции тела, относительно оси, проходящей через точку О.
109
С учетом этого получается дифференциальное уравнение
.
Разделив правую и левую части уравнения на момент инерции тела J, получим:
, |
(131) |
где
.
Решением уравнения (131) будет
. |
(132) |
Период колебания
, |
(133) |
где 
- приведенная длина физического маятника;
L - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебания физического маятника.
110