ConspectiLekziiMexanika2013-2
.pdf
Рисунок 41.
Для тела любой формы всегда есть три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, которые могут служить свободными осями (см. приведенные примеры на рисунке 41) или главными осями инерции.
Моменты инерции относительно главных осей называются
главными моментами инерции.
81
Работа и мощность при вращательном движении
При повороте тела на угол 
вокруг оси Z совершается работа
. (103)
Мощность определяется как:
. |
(104) |
82
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
Рассчитаем кинетическую энергию вращающегося твердого тела.
Рисунок 42.
Кинетическая энергия выделенного i –го элемента твердого тела, массой mi, движущегося со скоростью Vi будет равна:
С учетом того, что
получим
Суммируя по всему объему, получаем
83
(105)
Или
, |
(106) |
где 
, момент инерции тела, вращающегося вокруг
оси Z.
Гироскоп
Рисунок 43.
84
Основные величины и уравнения поступательного и вращательного движений
85
Деформация твердого тела
Изменение положения точек тела, изменение размеров и формы тела под любым механическим воздействием называется деформацией. Если по окончании воздействия тело принимает первоначальные размеры и форму – упругая деформация.
Виды деформации: растяжение, сдвиг, сжатие, изгиб, кручение.
Закон Гука. Диаграмма деформации
Рисунок 44.
Введем некоторые понятия:
Относительное удлинение - |
ε = l / l. |
Экспериментально показано, что |
ε = α (f / S). |
86 |
|
Коэффициент упругости – |
α, |
модуль Юнга – |
E = 1 / α ; |
Физический смысл модуля Юнга (ε =1): |
|
1 = (f / S)( 1 / Е) или |
Е = (f / S). |
Коэффициент Пуассона |
μ = - ε’ / ε ; |
Напряжение- |
σ= (f / S); |
ε = α σ; |
|
Откуда |
|
f = S ε / α = (E S / l) |
l = k l. |
Для малых деформаций справедливо (закон Гука):
f = k х = ( E S / l) x, |
(107) |
где k – коэффициент пропорциональности.
Рисунок 45.
87
ОП – область линейной деформации, область в которой работает
закон Гука;
ОУ – область упругой деформации;
УТ – область пластической деформации;
ТР – область текучести – при неизменности напряжения деформация меняется со временем.
Относительная длина УР – позволяет определить – пластичные или хрупкие материалы.
Энергия упругой деформации
Поскольку 
,то отсюда :
(108)
Заменим k на (E S / l) , с учетом того, что ε = l/ l , мы получим
|
Wn = (E S / l) ( l)2 = (E V ε2) / 2 |
или |
W / V = (E ε2) / 2. |
|
n |
|
88 |
Колебания
В природе и технике происходят процессы, повторяющиеся во времени. Такие процессы называются колебаниями.
Качания маятника, переменный электрический ток, свет, звук, и т.д. являются примерами колебаний различных физических величин. Оказывается, что количественные закономерности (т. е. математические выражения) этих процессов имеют много общего.
Различают свободные, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.
Свободные гармонические колебания
Рисунок 46.
Простейшая колебательная система - тело массы m , скользящее без трения по горизонтальному столу (рисунок 46).
Отклонение – х; пружина действует с силой F, пропорциональной смещению х и направленной в сторону обратную смещению, т. e.
F = - kx,
где k - коэффициент пропорциональности. Знак "минус" означает, что сила упругости противодействует смещению.
Механическая система, совершающая колебания около положения равновесия, называется классическим осциллятором.
89
Периодическое колебание, при котором смещение изменяется со временем по закону cos или sin называется гармоническим колебанием.
Время, по истечению которого движение повторится, называется
периодом колебания. Он обозначается как Т, [Т].
Частота колебаний равна числу полных колебаний за 1 с:
.
Частота измеряется в Гц (1 Гц - это одно колебание за 1 с).
Выведем уравнение колебаний гармонического осциллятора.
Запишем 2-й закон Ньютона для колебательной системы (рис. 46):
, |
|
(109) |
Где |
|
, |
а ускорение |
|
. |
В итоге получаем |
|
|
|
, |
(110) |
или |
|
|
|
, |
(111) |
где |
. |
(112) |
Уравнение (111) является обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его решением будет:
90