Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

practice_AIG_I

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

737.15 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Глава 2

Определители второго и третьего порядков

Ÿ 1. Решение систем двух и трех уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными

a11x1 + a12x2	= b1	;	(1)
a21x1 + a22x2 = b2:			(1)
a21x1 + a22x2 = b2:

Здесь a11, a12, a21, a22, b1, b2 заданные, вообще говоря, комплексные числа, x1, x2 требуется найти. Таблицу

µ¶

A =	a11	a12
	a21	a22

называют матрицей второго порядка. Величину

¢ = a11a22 ¡ a12a21

называют определителем матрицы A. Для определителя используют также следующие обозначения:

det(A) = jAj = ¯¯¯ a11

a21

a12 ¯¯¯ = ¢:

a22

Åñëè ¢ =6 0, òî x1 è x2 можно найти по формулам Крамера:

x1 =

¢1

; x2

¢2

;

ãäå

= ¯

a22

; ¢2

a21

¢1

a12

a11

Эти формулы не имеют¯

смысла,¯

когда¯

jAj = a11a22 ¡ a12a21 = 0;

èëè

a11

a12

;

a21

a22

22 Глава 2. Определители второго и третьего порядков

т. е. строки определителя jAj пропорциональны. Если при этом и

b1 = a12 ;

b2 a22

то первое и второе уравнения системы (1), фактически, совпадают, и она имеет бесконечное множество решений. Если jAj = 0, но

b1 6= a12 ;

b2 a22

то первое и второе уравнения системы (1) противоречивы, система несовместна, не имеет ни одного решения.

Примеры. 1) Определитель матрицы системы

x1 + 2x2 = 5; 3x1 + 4x2 = 6

равен

¢ = ¯3 4¯

= 4 ¡ 6 = ¡2:

Система имеет единственное¯

решение¯

¯3 6¯

x1 =

¯6 4¯

= 4; x2 =

= :

¯1 2¯

¯3

4¯

¯3

4¯

2) Определитель¯ ¯

матрицы системы

x1 + 2x2 = 3;

2x1 + 4x2 = 6

равен

¢ =

¯2 4¯ = 4 ¡ 4 = 0:

Ïðè ýòîì

a12

a22

Уравнения системы, фактически, совпадают. Система имеет бесчисленное множество решений.

3) Система

x1 + 2x2 = 2; 2x1 + 4x2 = 6

Ÿ 1. Решение систем двух и трех уравнений	23

Рис. 1. Правило расстановки знаков в определителе третьего порядка

не имеет решений, так как ее определитель равен нулю, но

b1 6= a12 :

b2 a22

Обратимся к системе трех уравнений с тремя неизвестными

a11x1 a21x1 a31x1

+a12x2

+a22x2

+a32x2

+a13x3

+a23x3

+a33x3

= b1;

= b2; (2)

= b3:

Из ее коэффициентов можно составить матрицу третьего порядка

A =	0 a21	a22	a23	1:
	a11	a12	a13	A
	@ a31	a32	a33	A

Определитель этой матрицы вычисляется по формуле

¢= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32¡

¡a13a22a31 ¡ a12a21a33 ¡ a11a23a32:

Для запоминания знаков, с которыми слагаемые входят в эту сумму, полезно использовать схему, представленную на рисунке 1.

Пример. Вычислим определитель

¯4 5

6¯

= 1

9 + 2

7 + 3

6 =

¯7 8

9¯

= 45 + 84 + 96 ¡ 105 ¡ 72 ¡ 48 = 225 ¡ 225 = 0:

Если ¢ 6= 0, то единственное решение системы (2) можно найти по формулам Крамера:

xi =	¢i	; i = 1; 2; 3;
	¢

24 Глава 2. Определители второго и третьего порядков

ãäå

¢1

a22

a23

; ¢2

a21

a23

; ¢3

a21

a22

a32

a33

a31

a33

a31

a32

a12

a13

a11

a13

a11

a12

Упражнения

1. Вычислить определители второго порядка:

3 4

; b)

8 5

; c)

a + b

¡a ¡ b

1 2

3 2

a2 + ab + b2 a2 ab + b2

sin ®¯

cos ®

¯cos ' +¯i sin '

;

sin ¯

cos ¯

¯;

cos ' ¡ i sin '

x ¡3 1

; g)

1 + t

+ x + 1

(1 + t)

1 + t

2. Найти решение по формулам Крамера:

¯¯;

5x1 ¡ 7x2	=	1;
x1 ¡ 2x2	=	0;				¼
x1 cos ® ¡ x2 sin ®			=	cos ¯;	ãäå ® =	¼	+ k¼; k = 0; 1; 2; : : : :
x1 cos ® ¡ x2 sin ®			=	sin ¯;	ãäå ® =	2	+ k¼; k = 0; 1; 2; : : : :
x1 sin ® + x2 cos ®			=	sin ¯;	6	2

3. Исследовать, при каких a система уравнений

ax1 + 4x2 = 2;

9x1 + ax2 = 3

имеет единственное решение, бесконечно много решений, не имеет ни одного решения.

4. Вычислить определители третьего порядка:

¡2

;

sin ® cos ® cos ¯

cos ® sin ¯

;

¡3

¡ 0

sin ¯

cos ¯

cos ® sin ® cos ¯

sin ® sin ¯

1¯

+ i

¯¯

1¡

: ¯

Ÿ 1. Решение систем двух и трех уравнений					25

5. Найти решение по формулам Крамера:
2x1 + 3x2 + 5x3	= 10;		4x1 ¡ 3x2 + 2x3 + 4 = 0;
a) 3x1 + 7x2 + 4x3	=	3; b) 6x1 ¡ 2x2 + 3x3 + 1		=	0;
x1 + 2x2 + 2x3	=	3:	5x1 ¡ 3x2 + 2x3 + 3	=	0:

6. Вычислить определители второго порядка:

;

b) ¯

;

c) ¯

sin ®

¡cos ®

;

cos ®

sin ®

1¯

¯¼

¡1 "

;

ãäå¯

" = cos¯

+ i sin¯

7. Найти решение по формулам Крамера:

d)	¯	1	tan¡ ®	¯	;
	¯	tan ®	1	¯
	¯			¯
	¯			¯

2x1 ¡ 3x2 = 4;

4x1 + 7x2 + 13 = 0;

4x1 ¡ 5x2

= 10;

5x1 + 8x2 + 14

8. Вычислить определители третьего порядка:

¯;

;

¡2

¯;

c) ¯

sin ¯

cos ¯

¡7

sin °

cos °

sin ®

cos ®

1¯

2¼

2¼¯

;

ãäå ! = cos

+ i sin

!2 ¯

¯9.

При каком¯

условии справедливо равенство

¯?

cos ®

cos °

¯ = ¯

cos ®

cos °

cos ¯

cos °

cos ¯

cos °

cos ®

cos ¯

cos ®

cos ¯

10.

Найти¯

решение по формулам¯ ¯

Крамера:

5x1 ¡ 6x2 + 4x3 = 3;

5x1 + 2x2 + 3x3 + 2 = 0;

a) 3x1 ¡ 3x2 + 2x3 = 2;

b) 2x1 ¡ 2x2 + 5x3

= 0;

4x1 ¡ 5x2 + 2x3 = 1:

3x1 + 4x2 + 2x3 + 10 = 0:

11. Показать, что компонента x3 решения системы уравнений

µa22

¡ a11 a21

¶x2 +

µa23 ¡ a11 a21

¶x3

= b2 ¡ a11 a21;

(3)

a12

a13

µa32

¡ a11 a31

¶x2 + µa33

¡ a11 a31

¶x3

= b3 ¡ a11 a31

(4)

a12

a13

26 Глава 2. Определители второго и третьего порядков

имеет вид

x3 =

b1 ¯

a31

a32

¡ b2 ¯

a31

a32

+ b3 ¯

a21

a22

a21

a22

a11

a12

a11

a12

a13

¯a21

a22

a11

a12

a11

a12¯

a31

a32

a23¯

a31

a32

+ a33¯

a21

a22

Ответы, указания и решения

1: a) ¡2; b) ¡1;

c) ¡2b3;

d) sin(® ¡ ¯); e) 0;

f) ¡1;

g) ¡1.

2: a) x1 =

; y =

; b) x1

= cos(¯ ¡ ®); y = sin(¯ ¡ ®):

3: При a 6= §6 система имеет единственное решение, при a = 6 бесконечно много решений, при a = ¡6 решений не существует.

4: a) ¡5; b) 1; c) ¡2:

5: a) x1 = 3; x2 = ¡2; x3 = 2; b) x1 = 1; x2 = 2; x3 = ¡1. 6: a) 0; b) 0; c) 1; d) 1=cos2 ®; e) 1=2 + ip3=2.

7: a) x1 = 5; y = 2; b) x1 = 2; y = ¡3:

8: a) ¡3; b) 100; c) sin(¯ ¡ °) + sin(° ¡ ®) + sin(® ¡ ¯); d) 0. 9: cos2 ® + cos2 ¯ + cos2 ° = 1:

10: a) x1 = x2 = x3 = 1; b) x1 = 2; x2 = ¡3; x3 = ¡2:

11: Решение. Умножим левые и правые части уравнений (3) и (4) на a11. Получим систему уравнений

(a11a22 ¡ a12a21) x2 + (a11a23 ¡ a13a21) x3 = a11b2 ¡ b1a21; (a11a32 ¡ a12a31) x2 + (a11a33 ¡ a13a31) x3 = a11b3 ¡ b1a31:

Положим

M33	= a11a22 ¡ a12a21;	M32	= a11a23 ¡ a13a21;
M23	= a11a32 ¡ a12a31;	M22	= a11a33 ¡ a13a31;

¢21 = a11b2 ¡ b1a21; ¢31 = a11b3 ¡ b1a31

и запишем эту систему уравнений более компактно:

M33x2 + M32x3 = ¢21;

M23x2 + M22x3 = ¢31:

Ÿ 1. Решение систем двух и трех уравнений	27

По формуле Крамера имеем

x3 = ¢31M33 ¡ ¢21M23 : M22M33 ¡ M32M23

Запишем подробнее числитель этой дроби:

¢31M33 ¡ ¢21M23 = (a11b3 ¡ b1a31)M33 ¡ (a11b2 ¡ b1a21)M23 =

= b1(a21M23 ¡ a31M33) + a11(¡b2M23 + b3M33):

Знаменатель записывается аналогично:

M22M33 ¡ M32M23 = (a11a33 ¡ a13a31)M33 ¡ (a11a23 ¡ a13a21)M23 =

= a13(a21M23 ¡ a31M33) + a11(¡a23M23 + a33M33):

Выразим a21M23 ¡ a31M33 через M13:

a21M23 ¡ a31M33 = a21(a11a32 ¡ a12a31) ¡ a31(a11a22 ¡ a12a21) =

a21a11a32 ¡ a31a11a22 = a11(a21a32 ¡ a31a22) = a11M13:

Èòàê,

x3 = b1M13 ¡ b2M23 + b3M33 ; a13M13 ¡ a23M23 + a33M33

что и требовалось доказать.

28	Глава 2. Определители второго и третьего порядков

Ÿ 2. Свойства определителей третьего порядка

Приведем свойства определителей третьего порядка.

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы, на-

пример,

= 0:

2. Если все элементы какой-либо строки равны нулю, то определитель тоже равен нулю:

¯	0	0 0	¯
¯			¯
¯			¯

¯1 2 3 ¯¯ = 0:

¯7 8 9 ¯

3.Если элементы некоторой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель представляется в виде суммы двух определителей, например,

4 5 6

1 + 3 2 + 3 3 + 3

= ¯

1 2 3

3 3 3

7 8 9

Общий¯

множитель¯ ¯

элементов любой строки¯ ¯

можно¯

вынести¯

çà¯

çíàê

определителя:

¯ = 3

¯:

3 3 3

1 1 1

4. Если две любые¯

строки

¯определителя¯

¯совпадают, то он равен

нулю, например,

2 3

¯1 2 3 ¯¯ = 0:

¯7 8 9 ¯

5.Если в определителе поменять местами две любые строки, то знак его изменится на противоположный, например,¯

= 1;

Ÿ 2. Свойства определителей третьего порядка	29

6. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы любой другой строки, предварительно умноженные на некоторое число, определитель не изменится:

= 0:

7 + 1( 6) 8 + 1( 6) 9 + 1( 6)

7. Говорят, что строки определителя линейно зависимы, если существуют числа ®, ¯, °, не все равные нулю, такие, что

®a1j + ¯a2j + °a3j = 0; j = 1; 2; 3:

	¯	7	8	9	¯
	¯	1	2	3	¯
Например, для строк определителя	¯	4	5	6	¯	справедливы равенства
Например, для строк определителя	¯	4	5	6	¯	справедливы равенства
	¯				¯
	¯				¯

(¡1) ¢ 1 + 2 ¢ 4 + (¡1) ¢ 7 = 0;

(¡1) ¢ 2 + 2 ¢ 5 + (¡1) ¢ 8 = 0;

(¡1) ¢ 3 + 2 ¢ 6 + (¡1) ¢ 9 = 0:

Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

8. Минором Mij элемента aij определителя jAj называют определитель второго порядка, получающийся из jAj вычеркиванием i-той строки и j-того столбца. Справедлива формула разложения определителя по строке

jAj = ai1(¡1)i+1Mi1 + ai2(¡1)i+2Mi2 + ai3(¡1)i+3Mi3; i = 1; 2; 3:

Вычислим определитель, предварительно разложив его по первой

строке:

= 1(

1)1+1

+ 2(

1)1+2

+ 3(

1)1+3

7 8

5 1

4 1

+ 3

4 1

¯ = ¯

5 1

4 1

= ¯

1 1

= 0:

8 1

¯ ¡ 2 ¢ 2

7 1

8 1

7 1

1 1

Имеет¯

место ¯формула¯

разложения¯ ¯ ¯

определителя¯ ¯

¯по столбцу¯ ¯

jAj = a1i(¡1)i+1M1i + a2i(¡1)i+2M2i + a3i(¡1)i+3M3i; i = 1; 2; 3:

30 Глава 2. Определители второго и третьего порядков

Вычислим тот же определитель, разложив его по первому столбцу:

1)1+1

1)2+1

1)3+1

= 1(

+ 4(

+ 7(

7 8 9

5 1

¡ 4

2 1

+ 7 ¯

2 1

¯ =

5 1

6 1

11 1

= 0:

8 1

5 1

8 1

3 1

11 1

Упражнения

Вычислить следующие определители:

sin2 ®

cos2 ®

¯;

ax + bx

sin2 ¯

cos2 ¯

y00

ay + by00 ¯

;

sin2 °

cos2 °

az + bz0

a + b c 1

¯" "2

b + c

;

¯2

;

где " отличное от 1 зна-

c + a b 1

x y z

¯3

чение

p¯

a1 + b1i a1

b1i c1

a2 + b2i a2

¡ b2i c2

a3 + b3i a3

¡ b3i c3

¯Доказать тождества,

¯не вычисляя определители:

a1 b1 a1x + b1y + c1

a1 b1 c1

¯;

a2 b2 a2x + b2y + c2

a2 b2 c2

a3 b3 a3x + b3y + c3

a3 b3 c3

a1 b1 c1

¯ a1 + b1i a1i + b1

a2 + b2i a2i + b2 c2

= 2

a2 b2 c2

;

a3 + b3i a3i + b3

a3 b3 c3

a bc

1 b ca

= (b

a)(c

b);

c ab

1¯

a b c

= (a + b + c)(b

a)(c

b);

a3 b3 c3

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201519.1 Кб53Potapova_Kseniya_kontraEMM.docx
#
01.05.2025144.9 Кб0poyasnilka_po_arkhitekture.doc
#
10.02.2015107.29 Кб249ppd_u_bogini.docx
#
17.08.20191.13 Mб144pr-zan-i-g!130.doc
#
10.02.2015626.69 Кб101pr.doc
#
10.02.2015737.15 Кб85practice_AIG_I.pdf
#
01.04.2025102.91 Кб0Prakticheskaya_rabota_7_dlya_studentov.doc
#
01.04.2025146.94 Кб1Prakticheskaya_rabota__12.doc
#
01.04.202595.74 Кб3Prakticheskaya_rabota__2.doc
#
01.05.2025115.71 Кб0Prakticheskaya_rabota__4.doc
#
27.09.201994.21 Кб33praktika (1).doc