Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

practice_AIG_I

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

737.15 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Ÿ 3. Матрицы. Операции над матрицами	91

÷òî

n
Xk	aikbkj;	(1)
cij = ai1b1j + ai2b2j + : : : + aikbkj + : : : + ainbnj =	aikbkj;	(1)
=1

где i = 1, 2, : : :, m, j = 1, 2, : : :, p. Поясним, что элемент cij есть результат умножения i-й строки матрицы A на j-й столбец матри-

цы B. Произведение матриц определено, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Свойства операции умножения матриц:

1)(AB)C = A(BC) (ассоциативность);

2)(A + B)C = AC + BC (дистрибутивность);

3)A(B + C) = AB + AC (дистрибутивность);

Отметим, что AB =6 BA, т. е. коммутативность в общем случае не имеет места. Матрицы A и B, для которых AB = BA, называются

перестановочными матрицами.

	Пример. Пусть
			A =	1 0		31		; B = 0 6 0 ¡2 1:
			µ			¡		¶			7	1	8
				1	2						3	4	5
										@			A
Вычислим произведение AB этих матриц:
			AB =		µ	1 0		31	¶	0 6 0 ¡2 1 =
					µ			¡	¶	7	1	8
						1	2			3	4	5
	µ 1 ¢¢									@			A
=	µ 1 ¢¢	3 + 0 ¢¢	6 + 7(¢¡1) 1 ¢¢				4 + 0 ¢¢		0 + 1(¢¡1) 1 ¢¢				5 + 0(¡¡2) + 8(¢¡1) ¶	=
	1 3 + 2 6 + 3 7 1 4 + 2 0 + 3 1 1 5 + 2( 2) + 3 8
						= µ		36	7	25	¶:
						= µ		¡4	3	¡3	¶:

Произведение BA не определено, так как число столбцов матрицы B не совпадает с числом строк матрицы A.

Пример. Докажем, что для любого целого n > 1 справедливо равенство

µ ¡sin ®	cos ® ¶	= µ	¡sin n®	cos n® ¶:
cos ®	sin ®	n	cos n®	sin n®

92	Глава 4. Системы линейных уравнений, матрицы, определители

Используем метод математической индукции. Для n = 1 это равенство очевидно имеет место. По предположению индукции

µ ¡sin ®	cos ® ¶				= µ ¡sin(n¡¡ 1)®			cos(n	¡¡ 1)® ¶	:
cos ®	sin ®	n¡1				cos(n 1)®		sin(n	1)®
Имеем	cos ®	¶		= µ		¡sin(n¡¡ 1)®		cos(n ¡¡ 1)® ¶¢
µ ¡sin ®	cos ®	¶		= µ		¡sin(n¡¡ 1)®		cos(n ¡¡ 1)® ¶¢
cos ®	sin ®			n		cos(n	1)®	sin(n	1)®
cos ®	sin ®	cos ® ¶				cos(n	1)®	sin(n	1)®
¢µ ¡sin ®		cos ® ¶				= µ ¡sin n®		cos n® ¶;
	cos ®	sin ®					cos n®	sin n®
что и требовалось доказать.
Матрица	AT =		0 a12			a22	: : : an2	1:
					a11	a21	: : : an1	C
			B a.			a.	:. :. .: a .	C
			@					A
			B		1m	2m	nm	C

называется матрицей, транспонированной по отношению к А. Поясним, что матрицы A и AT состоят из одних и тех же элементов. Первая строка матрицы AT составлена из элементов первого столбца матрицы A, вторая строка из элементов второго столбца матрицы A и т. д.

Упражнения

1. Убедиться, что операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1)A + 0 = A,

2)A + B = B + A,

3)(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C.

Здесь A, B, C произвольные матрицы одинакового размера.

2. Убедиться, что операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

1)®(¯A) = (®¯)A,

2)®(A + B) = ®A + ®B,

3)(® + ¯)A = ®A + ¯A.

Здесь ®, ¯ любые комплексные числа; A, B произвольные матрицы одинакового размера.

Ÿ 3. Матрицы. Операции над матрицами	93

3. Проверить, что единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка: AI = IA = A:

4. Найти произведения матриц AB и BA (если они существуют)

и проверить являются ли матрицы перестановочными:																	¡9 1.
a) A =	0		5	¡6		¡7 8				1,	B =	0	¡2		1	0	¡9 1.
	B		1		2	3			4	C		B	6		5	4	3	C
	B	¡3			4	5	¡		6	C	4	B	4	¡	3	¡2	1	C
	@		9		0	1	¡		2	A	4	@	8	¡	7	6	5	A
			9		0	1			2				8		7	6	5
b) A =	µ	¡	1 2 1			; B = 0 ¡¡3 1.
	µ	¡	2	0	3	¶					5
5. Найти матрицу µ								1		@n	A
								1		1
								0		1 ¶ .

6. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица?

7. Верны ли равенства:

1) (

B)T

2) (A + I)(A

I) = A2

2¡

= 2

3) (A + I) 2= A

2+ 2A + I?

4) (AT+TB)(A ¡ B) = A

¡ B

5) (A + B) = A + 2AB + B

6) (A ) = A?

8. Найти произведения матриц AB и BA (если они существуют)

и проверить являются ли матрицы перестановочными:

a) A =

¡0

; B =

0 ¡3 0

7 3

1; B =

b) A =

3 9 4

¡5

¡3 1

1 5 3

6 ¡3 ¡3

9. Найти линейные комбинации матриц:

a) A ®I,

A = 0

4 0

¡5 1,

¡72 ¡85A3

B = 0

0 2 7

b) 4A

7B,

A =

¡0 ¡3 1

¡8 1 3

¡0

5 ¡1

0 4

4 2 ¡2

94	Глава 4. Системы линейных уравнений, матрицы, определители

10.Пусть Pik матрица перестановки, т. е. получена из единичной матрицы перестановкой строк с номерами i, k. Показать, что

вектор Pikx получается из вектора x перестановкой элементов с номерами i, k.

11.Как следствие показать, что матрица PikA получается из матрицы A перестановкой строк с номерами i, k.

12.Показать, что для любой квадратной матрицы A

det(PikA) = det Pik det A = ¡det A:

13.Показать, что если L, M нижние треугольные матрицы, то матрица LM нижняя треугольная. Показать, что аналогичное верно и для верхних треугольных матриц.

14.Показать, что нижняя треугольная матрица L равна произведению элементарных нижних треугольных матриц

01: : :¢¢¢: : : : : :				0: : : : :0: : :¢¢¢: : : :0:1					;
Lk = B0		¢¢¢	lk+1;k		1	¢¢¢	0C		;
	0		lk;k		0		0
B: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :C
B		¢¢¢				¢¢¢		C
B		¢¢¢				¢¢¢		C
B0		¢¢¢	ln;k		0	¢¢¢	1C
@		¢¢¢				¢¢¢		A

ò.å. L = L1L2 ¢¢¢Ln¡1Ln.

15.Известно, что для любой квадратной матрицы A и элементарной нижней треугольной матрицы Lk справедливо равенство

det(LkA) = lkk det A:

Опираясь на него, предыдущие упражнения и правило вычисления определителя треугольной матрицы, показать, что для любой квадратной матрицы A и любой нижней треугольной матрицы L

det(LA) = det L det A:

Ответы, указания и решения

1.Указание. Используйте свойства операции сложения комплексных чисел.

2.Указание. Используйте свойства операции умножения комплексных чисел.

Ÿ 3. Матрицы. Операции над матрицами											95

3. Указание. Используйте определение произведения матриц.
4. a) AB =	0 ¡46			¡44	¡6		¡112				1,
			10	26		30		26
	B		6	¡72	¡30		¡		8		C
	@		8	30	¡72		¡6				A
			70	44		38		20
BA =	0	¡¡20		¡¡38	¡44		¡	70		1.
	@	¡		6	¡	44	¡	46		A
	B	112		6		44		46		C
	B		26	¡30		26		10		C

µ¶

b) AB = , произведение BA не определено.

µ¶

5.	1	n .
	0	1	µ			¶µ			¶ =	µ			¶. Указание.
6.	Да, например,			1	2		2	2			0	0
6.	Да, например,			1	2		¡1	¡1			0	0
Воспользоваться тем,			что однородная система линейных уравнений

ñвырожденной матрицей имеет нетривиальное решение.

7.1) Äà, 2) äà, 3) äà, 4) íåò, 5) íåò, 6) äà.

8. a) AB = ¡10 8					, BA =		0 ¡9 ¡15		¡3 1,
	µ	14	11		¶		14	2		2
		14	11				@		¡	A
						1	17	23		5
	0	¡3	0		0	1
b) AB = BA = @		0	¡3		0	A. Матрицы перестановочные.
	0 1 ¡4 ®	0	0		¡3	1,
9. a)	0 1 ¡4 ®	¡2®		¡53		1,
	@					A

6¡7 ¡8 ¡ ®

b)	0	64	¡¡7 ¡¡33		4	1.
		4	22	29	47	A
	@ ¡8		¡18	14	¡19	A

10.Указание. Записать матрицу Pik произвольного порядка и умножить ее на столбец x.

11.Указание. Пусть PikA = B. Используя предыдущее упражнение, заметить, как получается каждый столбец матрицы B из соответствующего столбца матрицы A.

96	Глава 4. Системы линейных уравнений, матрицы, определители

12.Указание. Использовать то, что если в определителе поменять местами две строки, то знак его изменится на противоположный.

13.Решение. Выполним упражнение для нижних треугольных

матриц. Пусть aik = 0, åñëè k > i; bkj = 0, если j > k. Используем формулу (1):

cij = aikbkj; i; j = 1; 2; : : : ; n:

k=1

Åñëè j > i, òî cij = 0, т. к. в последнем равенстве в каждом слагаемом либо aik = 0, ëèáî bkj = 0, либо оба сомножителя равны нулю.

14. Решение. Проведем вычисления в соответствии со следующей расстановкой скобок: L = L1(L2 ¢¢¢(Ln¡2(Ln¡1Ln) : : : ), т. е. сначала перемножим Ln¡1Ln, результат умножим слева на Ln¡2 и т. д. Имеем

0	1	1	: : :
Ln¡1Ln = B	1	0	: : :
Ln¡1Ln = B	:0: : :	0: : :: :: ::
B	0	0	: : :
B	0	0	: : :
@

0 1

B 1

= B : : :

@ 0 0

Далее,

0	0	1	: : :	0					0
B	1	0	: : :	0					0
B	:0: : :	0: : :: :: :: ln		:	2:n:		2	:0: :
B	0	0	: : : ln	¡		¡			1
B	0	0	: : : ln	¡	1n	¡	2		1
B	0	0		¡		¡			0
B	0	0	: : : lnn¡2						0
@			0
			0			0			1
			= B :			1			0
			= B :			0: :		:	0: :
			B			0			0
			B			0			0
			B			0			0
			B			0			0
			@

0				0 10		1	1	: : :	0	0		1
0				0	CB	1	0	: : :	0		0	C
ln	1n		1	0	CB	0	0	: : :	1		0	C	=
¡	¡			0	CB	: : : : : : : : : : : :					0	C
: : :				0	CB	: : : : : : : : : : : :					0	C
lnn		1		1	CB	0	0	: : :	0		lnn	C
	¡				A@							A

1	: : :	0			0	1
0	: : :	0			0	C
0	: : : ln		1n	1	0	C	:
: : :	: : :	¡	¡		0	C
: : :	: : :	: : :			0	C
						A

0: : : lnn¡1 lnn

Ln¡2Ln¡1Ln =							: : :	0		0			0	1
0	10			0		1	: : :	0		0			0	1
0	CB			1		0	: : :	0		0			0	C
:0: :	CB			:0: : :		0: : :: :: ::		:1: :		:0: :			:0: :	C	=
0	CB			0		0	: : :	0	ln		1n	1	0	C
0	CB			0		0	: : :	0	ln		1n	1	0	C
1	CB			0		0	: : :	0		¡	¡		lnn	C
1	CB			0		0	: : :	0		lnn¡1			lnn	C
	A	@							1					A
: : :		0				0		0	1
: : :		0				0		0	C
:: :: :: ln		:	2:n:		2	:0: :		:0: :	C	:
		¡		¡					C
: : : ln 1n 2 ln 1n 1								0	C
: : :	lnn¡2				lnn¡1			lnn	C
		¡		¡		¡	¡		A
		¡		¡		¡	¡		C

Ÿ 3. Матрицы. Операции над матрицами	97

Окончательно получаем

0 l11

BB l21

L1L2 ¢¢¢Ln¡1Ln = B : : :

@ ln¡11

ln1

0	: : :	0
l22	: : :	0
: : :	: : :	: : :
ln¡12	: : : ln¡1n¡1
ln2	: : :	lnn¡1

0C C

0C = L:

lnn

15. Указание. Докажите, что det(LA) = l11l22 ¢¢¢lnn det A:

98	Глава 4. Системы линейных уравнений, матрицы, определители

Ÿ 4. Обратная матрица. Некоторые классы матриц

Обратной матрицей к квадратной матрице A называется такая матрица (обозначается A¡1), ÷òî A¡1 ¢ A = AA¡1 = I. Если обратная матрица существует, то она единственная.

Присоединенной матрицей к квадратной матрице A называется

матрица e, полученная транспонированием из матрицы, составлен-

ной из алгебраических дополнений Aij матрицы A.

Если квадратная матрица A невырождена (т. е. jAj =6 0 ), то

	= jAj	e
A¡1	1	A:	(1)

Пример. Найдем матрицу, обратную к матрице

0 1

1 2 3

A = @ 4 5 6 A: 7 8 0

Сначала найдем jAj определитель матрицы A:

jAj = 1 ¢ 5 ¢ 0 + 2 ¢ 6 ¢ 7 + 4 ¢ 8 ¢ 3 ¡ 7 ¢ 5 ¢ 3 ¡ 4 ¢ 2 ¢ 0 ¡ 8 ¢ 6 ¢ 1 =

= 84 + 96 ¡ 105 ¡ 48 = 27:

Теперь найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A:

A11 = (¡1)1+1

¯ = ¡48;

A12

= (¡1)1+2

= 42;

A13 = (¡1)

1+3¯

= ¡3; A21 = (¡1)

2+1

7 8

8 0

= 24;

A22

= (

2+2 ¯

21; A23

= (

2+3¯

2¯

= 6;

7 0

7 8

A31

= (

3+1¯

3; A32

= (

3+2

= 6;

5 6

4 6

3+3

1 2

¯ = ¡3:

A¯

33 = ¯(¡1)

4 5

Запишем присоединенную матрицу:

e = @	¡48	24	¡3
e = @	¡3	¡ 6	¡3 A:
A	42	21	6

Ÿ 4. Обратная матрица. Некоторые классы матриц															99

Теперь найдем обратную матрицу:
			1			1	48		24	3
	A¡1 =		1		A =	1	0 ¡42 ¡21			¡6	1	:

			A			27
		j		j e			@ ¡3		6	¡3	A
Сделаем проверку:						¡6	10 4 5 6			1 =	0 0 1 0 1
A¡1A = 27		0 ¡42 ¡21				¡6	10 4 5 6			1 =	0 0 1 0 1				:
1		48		24		3	1	2	3			1	0	0
1		@ ¡3			6 ¡3 A@ 7 8 0					A @ 0 0 1 A
		@ ¡3			6 ¡3 A@ 7 8 0					A @ 0 0 1 A
Отметим некоторые свойства обратной матрицы:
1) матрица A¡1 невырождена, (A¡1)¡1 = A;
2) если матрицы A, B невырождены, то
				(AB)¡1 = B¡1A¡1;											(2)
3) если матрица A невырождена, то матрица AT												невырождена и
					(AT )¡1 = (A¡1)T :
Матричные уравнения с неизвестной матрицей X записываются
следующим образом:
						AX = B;									(3)
						XA = B;									(4)
					AXC = B:										(5)

В этих уравнениях A, B, C, X матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения корректны и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы соответствующих размеров. Если в уравнениях (3), (4) матрица невырожденная, то их решения записываются следующим образом:

X = A¡1B;	(6)
X = BA¡1:	(7)

Если в уравнении (5) матрицы A и C невырождены, то его решение записывается так:

X = A¡1BC¡1:

Пусть прямоугольная матрица. Матрица ¤ ¹ T íàçû-

A A = (A)

вается сопряженной по отношению к матрице A. Поясним, что эле-

менты матрицы ¹ комплексно сопряжены по отношению к элементам

матрицы A.

100 Глава 4. Системы линейных уравнений, матрицы, определители

Квадратная матрица A называется эрмитовой (самосопряженной), если A = A¤. Квадратная матрица A называется косоэрмитовой, если A = ¡A¤.

Матрицы, у которых все элементы вещественны, называют вещественными матрицами.

Вещественная эрмитова матрица A называется симметричной. Для такой матрицы A = AT : Вещественная матрица A называется

кососимметричной, если A = ¡AT .

Квадратная матрица A называется унитарной, если AA¤ = I è A¤A = I, иными словами, если A¡1 = A¤.

Вещественная унитарная матрица A называется ортогональной матрицей, для нее AAT = I è AT A = I, ò. å. A¡1 = AT .

Квадратная матрица A называется нормальной, если она перестановочна с матрицей A¤, ò. å. AA¤ = A¤A.

1	1
Пример. Матрица A = µ1	¡1¶ является нормальной, но не

принадлежит ни к одному из перечисленных выше классов. Действи-

			1			1								2	0
тельно, A¤ = µ¡1						1¶ и, следовательно, AA¤ = A¤A = µ0									2¶;
íî A = A¤, A =				A¤, AA¤ = I:
	6	6 ¡					6
							Упражнения
	1. Найти обратную матрицу, вычислив присоединенную:
	a)	0 1	2	¡1		1; b)		0 4	5	6 1; c) 0	4	¡¡5	2 1	:
		1	1		1			1	2	3	2	1	1
		@ 2	2		4 A @ 7				8	9 A @ 5		¡7	3 A
a)	2. Решить матричные уравнения:
a)	µ ¡0 1 ¶X =				µ ¡1 3 ¶			;
	1	1				2	0	= µ	¡2 4 ¶.
b)	µ ¡0 2 ¶X µ ¡0					1=2 ¶		= µ	¡2 4 ¶.
	1	1			1	1=2			1	2

3. Показать, что

a) (A¤)¤ = A; b) (®A)¤ = ®A¤; c) (A + B)¤ = A¤ + B¤:

4.Доказать, что произведение унитарных матриц является унитарной матрицей.

5.Проверить, что диагональная матрица, диагональ которой со-

стоит из чисел q1, q2, . . . , qn, равных единице по модулю (n порядок матрицы), является унитарной.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201519.1 Кб54Potapova_Kseniya_kontraEMM.docx
#
01.05.2025144.9 Кб0poyasnilka_po_arkhitekture.doc
#
10.02.2015107.29 Кб249ppd_u_bogini.docx
#
17.08.20191.13 Mб144pr-zan-i-g!130.doc
#
10.02.2015626.69 Кб103pr.doc
#
10.02.2015737.15 Кб85practice_AIG_I.pdf
#
01.04.2025102.91 Кб0Prakticheskaya_rabota_7_dlya_studentov.doc
#
01.04.2025146.94 Кб1Prakticheskaya_rabota__12.doc
#
01.04.202595.74 Кб3Prakticheskaya_rabota__2.doc
#
01.05.2025115.71 Кб0Prakticheskaya_rabota__4.doc
#
27.09.201994.21 Кб33praktika (1).doc