Формула Эйлера
При рассмотрении комплексных чисел использовалась без доказательства формула Эйлера . Теперь появилась возможность ее доказать. Используем разложение функции
.
Примем (в разложении использована договоренность, что). Тогда
.
Если учесть, что и т.д., то
,
Сравнивая полученное выражение с разложениями
,
,
нетрудно убедиться, что формула Эйлера справедлива.
Ряды Фурье
Наряду со степенными рядами к наиболее распространенным функциональным рядам относятся ряды Фурье.
Классический ряд Фурье – это ряд вида
,
где постоянные коэффициенты. Таким образом, ряды Фурье - тригонометрические, а их сумма - периодическая функция с периодом.
Данное обстоятельство существенно ограничивает область применимости рядов Фурье, так как далеко не всякий реально происходящий процесс является периодическим, да еще с периодом . Поэтому основные усилия математиков были направлены на смягчение указанных ограничений путем внесения некоторых дополнительных условий, о чем будет сказано ниже.
Рассмотрим систему функций, входящих в ряд Фурье
Эта система функций обладает двумя важнейшими свойствами - ортогональностью и полнотой.
Определение 1. Систему функций называют ортогональной на некотором промежутке, если выполняются условия:
, .
Когда , система называется нормальной.
Покажем, что система функций
является ортогональной системой на интервале . Для этого вычислим несколько интегралов
,
,
,
,
,
, ,
.
Итак, доказано, что интегралы от произведений разных функций этой системы равны нулю, интегралы от произведений одинаковых функций равны и. Ортогональность системы функций доказана.
Определение 2. Система функций является полной в заданном промежутке, если нет ни одной, не входящей в эту систему, функции, кроме функции, тождественно равной нулю, ортогональной функциям системы.
Например, система косинусов не обладает полнотой, так как любойортогонален и к 1, и ко всем функциям. Следствием этого является то, что в ряды по косинусам можно разлагать не все, а только четные функции. По той же причине не обладает полнотой и система синусов, что позволяет разлагать в ряд Фурье по синусам только нечетные функции. Доказательство полноты достаточно сложно, поэтому ограничимся утверждением, что вышеприведенная система тригонометрических функций полна.
Полнота системы функций обеспечивает единственность разложения в ряд Фурье (представления в виде ряда Фурье) любой, удовлетворяющей некоторым условиям, функции, что весьма ценно при решении с помощью рядов Фурье всевозможных уравнений.
Определение 3. Если функция в некоторой области имеет конечное число точек разрыва первого рода (конечные разрывы), а между этими точками она непрерывна, такая функция называется кусочно-непрерывной.
Определение 4. Если в некоторой области функция имеет конечное число точек, между которыми она дифференцируема, а в самих этих точках существуют конечные значения левых и правых пределов, как самой функции, так и ее производной, то она называется кусочно-дифференцируемой в этой области.
Теорема. Для любой кусочно-дифференцируемой, периодической с периодом функцииее ряд Фурье сходится, а его сумма равна
,
здесь правый и левый пределы функциипри(теорема приводится без доказательства).
Следствие. Сумма ряда равна , если функция непрерывна.
Известно, что ряд Фурье, представляющий разложение периодической непрерывной функции, сходится равномерно.
Разложение в ряд Фурье периодической функции
Теорема. Если периодическая функциянепрерывна (или кусочно-непрерывна), то значение интегралане зависит от.
Доказательство. .
В последнем интеграле сделаем замену переменной
,
что следует из периодичности подынтегральной функции. Тогда
.
Теорема доказана, поскольку .
Пусть периодическая, кусочно-дифференцируемая функция, следовательно, она разложима в ряд Фурье
.
Определим коэффициенты этого разложения, для чего умножим обе части равенства на и проинтегрируем в пределах отдо. Тогда
.
Из ортогональности системы тригонометрических функций, это было доказано выше, следует, что интеграл , а все остальные интегралы в правой части равенства равны нулю. В этом случае
.
Нетрудно заметить, что полученная формула справедлива для .
Умножим обе части исходной формулы на и проинтегрируем в тех же пределах
.
Также из ортогональности рассматриваемых функций следует , все остальные интегралы в правой части равенства равны нулю, отсюда имеем
.
Здесь при интегрировании использовалась только что доказанная теорема.
Таким образом,
,
причем ,.
Разложение в ряд Фурье периодической функции
Обобщим полученный результат на функции с периодом . Очевидно, такая возможность несколько расширяет область применимости рядов Фурье.
Пусть дана кусочно-дифференцируемая, периодическая с периодом функция, то есть удовлетворяющая условию. Перейдем от переменнойк переменной, считая при этом. Тогда функция, причемосталась периодической, но ее период стал. Проверим это:
.
Отсюда имеем , что требовалось доказать.
Теперь воспользуемся разложением в ряд Фурье периодической функции
,
причем ,.
Сделаем обратную замену , тогда
,
при этом
,
.
Таким образом, периодическая, кусочно-дифференцируемая функция может быть представлена в виде ряда Фурье
,
Где
, .
Разложение в ряд Фурье четной, или нечетной
периодической функции
Лемма 1. , если подынтегральная функция нечетна.
Доказательство. Очевидно, , сделаем в первом интеграле правой части замену переменной с учетом того, что,
.
Тогда . Доказано.
Лемма 2. , если подынтегральная функция четна.
Доказательство. В первом интеграле правой части равенства сделаем ту же замену переменной с учетом четности подынтегральной функции, тогда
.
В результате .
Разложение четной функции
1а). Имеем четную, периодическую с периодом функцию. Воспользуемся ее представлением рядом Фурье
,
где
, .
Поскольку - четная функция,также четная функция как произведение четных функций, а- нечетная как произведение четной и нечетной функций. В соответствии с леммами 1 и 2, имеем, тогда
,
где .
1в). Если - четная,периодическая, кусочно-дифференцируемая функция, как частный случай получаем
,
причем .
Разложение нечетной функции
2а). Пусть - нечетная, периодическая с периодомфункция. Воспользуемся формулами
,
где
, .
Поскольку в первом интеграле подынтегральная функция нечетна, а во втором четна, то , и
,
где .
2в). Для нечетной, периодической с периодом функции имеем
,
где
.
Разложение в ряд Фурье непериодической функции,
заданной в некотором промежутке
I. Пусть кусочно-дифференцируемая функция интересует нас только в промежутке. Как представить ее в виде ряда Фурье? Поскольку разложение непериодической функции в ряд Фурье невозможно, поступают следующим образом. Вместо заданной на интервалефункции рассматривается периодическая с периодомфункция, которая периодически продолжает функциюна всю числовую ось, то есть на каждом интервале длинойвсей числовой оси она принимает значение.
Теперь функция , как периодическая, может быть представлена в виде ряда Фурье
,
где
, .
Но при определении коэффициентов разложения интегрирование происходит на интервале , где функцииисовпадают, следовательно, в этом промежутке одну из этих функций можно заменять другой. Совершив замену функций, получаем, что в промежуткеможно использовать разложение
,
где
, .
При этом возникают некоторые проблемы. Вне промежутка и на его границах значения функцийиразличаются. Известно, что
,
.
Таким образом, на границах интервала значения функцийисовпадают только в случае.
Вне интервала функциии, как правило, вообще не имеют ничего общего.
В итоге, если исследователя интересуют только внутренние точки интервала и не важно различие значений функцийина границах этой области, для непериодической функции можно использовать разложение
,
где
, ,
причем в определении коэффициентов ряда функция фактически не участвует.
Пример замены заданной в промежутке функциипериодической функциейприведен на рисунках 50 и 51.
Рисунок 50. Рисунок 51.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию на интервале.
Рисунок 52.
Очевидно,
,
причем
,
,
.
Тогда
.
Нетрудно заметить, что функция на границах интервала принимает значенияи, тогда как ряд Фурье на обеих границах дает значение 2.
II. Пусть кусочно-дифференцируемая непериодическая функция рассматривается в промежутке. В этом случае необходимо продолжить заданную функцию на интервал, затем применить процедуру, описанную в пунктеI. Поскольку на область функция может быть продолжена произвольным образом, появляется несколько вариантов продолжения, и при решении конкретной задачи можно использовать наиболее удобный из них. Рассмотрим несколько вариантов продолжения. Один из них – продолжить функцию так, чтобы она стала четной, тогда разложение в ряд будет содержать только косинусы. Второй вариант – продолжить функцию так, чтобы она стала нечетной, ряд Фурье будет содержать только синусы. Третий вариант – считать в областифункцию равной нулю, тогда в ряде Фурье будут присутствовать и синусы, и косинусы, а при определении коэффициентов разложения интегрирование будет проводиться от 0 до. Возможны и другие варианты продолжения функции.
В разложении в ряд Фурье с помощью МАКСИМЫ используются следующие команды
Первая команда показывает, что имеет место разложение в ряд Фурье, вторая команда задает разлагаемую функцию, переменную разложения и полупериод разложения. На выходе выдаются коэффициенты ряда Фурье. Третья команда выдает, и коэффициенты, и весь ряд Фурье.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале. Рассмотрим два варианта решения.
А) Продолжим функцию на область естественным образом, то есть рассмотрим ее на интервале. Поскольку, а функция нечетна, ее разложение имеет вид
,
где
Тогда
.
Заметим, что в граничных точках интервала сама функцияпринимает значенияи 1 а ряд Фурье в этих точках дает значение, равное 0.
Разложение с помощью МАКСИМЫ функции, заданной на интервале,
Отметим, что в последней команде приводится общий вид коэффициента и упрощенный вариант, учитывающий, чтоn – целое.
В) Продолжим на интервал функцию как четную, тогда ее график будет совпадать с графиком функции:
Рисунок 53.
В этом случае
,
причем
,
.
Очевидно, .
При помощи МАКСИМЫ разложим функцию , или функцию, заданную на интервале, продолженную на областькак четную
Примеры для самостоятельного решения
Разложить в ряды Фурье на указанных интервалах следующие функции
16.9. , 16.10.,
16.11. , продолжив ее как четную,
16.12. , продолжив ее как нечетную.
Интеграл Фурье
Еще один вариант представления непериодической функции в виде ряда Фурье заключается в том, что период функции принимается . Тогда ряд Фурье переходит в интеграл Фурье. Покажем, как это делается.
Запишем вначале ряд Фурье для промежутка
,
где
, .
При определении коэффициентов интегрирование по переменной заменено интегрированием по, что не меняет сути дела, но необходимо для дальнейшего вывода формул. Подставляем значения коэффициентов в ряд
,
откуда следует
. (*)
Пусть функция определена на промежуткеи разложима на интервалепри любом, сколь угодно большом, значении. Осуществим переход к пределу в формуле (*) при. Интегралдолжен принимать конечное значение, в противном случае разложение в ряд Фурье невозможно, тогда первое слагаемое в формуле (*) пристремится к нулю. Преобразуем оставшийся член, обозначив,
,
что равносильно разбиению интервала на равные отрезки длиной. Тогда второе слагаемое суммы (*) принимает вид
или
.
Полученное выражение очень напоминает интегральную сумму Римана для функции на интервале. Переходя к пределу при, получаем
.
С помощью формулы для косинуса разности полученное соотношение можно представить следующим образом
,
где
.
Таким образом, получено представление функции через интеграл Фурье. Имеет место теорема, которая утверждает, что если эта функция кусочно-дифференцируема в каждом конечном промежутке и абсолютно интегрируема в промежутке, то в любой точке промежуткаее интеграл Фурье сходится и имеет значение
.
Для непрерывной в области функции интеграл Фурье сходится и принимает значение.