Samarski_Vvedenie v teoriu raznostnyh shem

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

7

Основные обозначения, принятые в книге

11

Глава I. Предварительные сведения

13

§ 1. Основные понятия

13

1. Сетки и сеточные функции (13). 2. Разностная аппроксимация

простейших дифференциальных операторов (17). 3. Погрешность

аппроксимации на сетке (25). 4. Постановка разностной задачи (29).

5. О сходимости и точности схем (31). 6. Метод аппроксимации

краевых и начальных условий (34). 7. Примеры устойчивых и

неустойчивых разностных схем (38). 8. О понятии корректности

разностной задачи (40). 9. Решение разностных уравнений методом

прогонки (42).

§ 2. Некоторые сведения о математическом аппарате теории разностных

45

схем

1. Некоторые разностные формулы (45). 2. Отыскание собственных

функций и собственных значений на примере простейшей

разностной задачи (48). 3. Разностные аналоги теорем вложения (53).

4. Метод энергетических неравенств (56). 5. Принцип максимума

(60).

§ 3. Некоторые сведения из функционального анализа

62

1. Линейные операторы (62). 2. Линейные ограниченные операторы в

вещественном гильбертовом пространстве (64). 3. Линейные

операторы в пространстве конечного числа измерений (68).

Глава II. Разностные схемы для уравнений с постоянными

70

коэффициентами

§ 1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами

70

1. Исходная задача (70). 2. Семейство шеститочечных схем (71). 3.

Погрешность аппроксимации (73). 4. Устойчивость по начальным

данным (76). 5. Устойчивость по правой части (80). 6. Сходимость и

точность (82). 7. Метод энергетических неравенств (83). 8. Краевые

условия третьего рода (87). 9. Трехслойные схемы для уравнения

теплопроводности (89).

§ 2. Разностные схемы для уравнения колебаний струны

92

1. Постановка разностной задачи и вычисление погрешности

аппроксимации (92). 2. Исследование устойчивости (95). 3. Метод

энергетических неравенств (101).

Глава III. Однородные разностные схемы

103

§ 1. Однородные схемы для стационарного уравнения с переменными

103

§ 2. Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с

185

переменными коэффициентами

1. Однородные разностные схемы (185). 2. Погрешность

аппроксимации (189). 3. Погрешность аппроксимации в классе

разрывных коэффициентов (190). 4. Устойчивость и априорные

оценки (192). 5. Сходимость и точность (197). 6. Однородные схемы

на неравномерных сетках (201). 7. Монотонные схемы для

параболических уравнений общего вида (206). 8. Цилиндрически- и

сферически-симметричные задачи теплопроводности (207). 9. Третья

краевая задача (211). 10. Периодическая задача (212). 11.

Квазилинейные уравнения (214).

§ 3. Однородные разностные схемы для уравнений гиперболического типа

219

1. Однородные разностные схемы (219). 2. Погрешность

аппроксимации (221). 3. Устойчивость и сходимость (222).

Глава IV. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа

226

§ 1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона

226

1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа (227). 2. Разностная

задача Дирихле в прямоугольнике (230). 3. Разностная задача

Дирихле в области сложной формы (2?2). 4. Запись разностного

уравнения в канонической форме (237). 5. Принцип максимума

(239). 6. Оценка решения неоднородного уравнения (242). 7. Оценка

решения разностной задачи Дирихле (244). 8. Равномерная

сходимость и порядок точности разностной задачи Дирихле (247). 9.

Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона

(249).

§ 2. Некоторые оценки для разностных операторов, аппроксимирующих

252

дифференциальные операторы эллиптического типа

1. Разностный оператор Лапласа в прямоугольной области (252). 2.

Оператор Лапласа в области, составленной из прямоугольников

(258). 3. Операторы с переменными коэффициентами (259). 4.

Оператор со смешанной производной (260). 5. Схема повышенного

порядка точности для эллиптического уравнения со смешанными

производными (263).

Глава V. Общие формулировки. Операторно-разностные схемы

268

§ 1. Разностные схемы как операторные уравнения в абстрактных

268

пространствах

1. Разностные схемы как операторные уравнения (268). 2.

Устойчивость разностной схемы (275). 3. Сходимость и

аппроксимация (276). 4. Некоторые априорные оценки (279). 5.

Коэффициентная устойчивость уравнений первого рода (289).

§ 2. Операторно-разностные схемы

292

1. Введение (292). 2. Операторно-разностные схемы (293). 3.

Каноническая форма двухслойных схем (294). 4. Канонические

формы трехслойных схем (295). 5, Понятие, устойчивости (295). 6.

Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в линейных

нормированных пространствах (297),

Глава VI. Теория устойчивости разностных схем

301

§ 1. Классы устойчивых двухслойных схем

301

1. Постановка задачи (301). 2. Исходное семейство схем (302). 3.

Энергетическое тождество (303). 4. Устойчивость по начальным

данным в HA (303). 5. Устойчивость по начальным данным в HB

(305). 6. Необходимые и достаточные условия устойчивости по

начальным данным (306). 7. Метод разделения переменных (309). 8.

Некоторые вспомогательные неравенства (311). 9. Устойчивость по

правой части (312). 10. Устойчивость схемы с весами (314). 11.

Априорные оценки в случае переменного оператора A (320)г. 12.

Пример (322).

§ 2. Классы устойчивых трехслойных схем

324

1. Постановка задачи (324). 2. Основное энергетическое тождество

(326). 3. Устойчивость по начальным данным (327). 4. Устойчивость

по правой части (329). 5. Схемы с переменными операторами (333).

6. Схема с весами (335). 7. Примеры (337). 8. Другие априорные

оценки (338). 9. О регуляризации разностных схем (345). 10. О

работах по устойчивости разностных схем (348).

Задачи к главе VI

351

Глава VII. Экономичные разностные схемы для многомерных задач

356

математической физики

§ 1. Метод переменных направлений (продольно-поперечная схема) для

356

уравнения теплопроводности

1. Об экономичных схемах (356). 2. Схема переменных направлений

(продольно-поперечная схема) (359). 3. Устойчивость (361). 4.

Сходимость и точность (364). 5. Схема, для уравнения с

переменными коэффициентами (364).

§ 2. Экономичные факторизованные схемы

367

1. Схемы с факторизованным оператором (367). 2. Краевые условия

(369). 3. Построение экономичных факторизованных схем (370). 4.

Схемы расщепления как факторизованные схемы (374). 5.

Трехслойные факторизованные схемы (376). 6. Схема повышенного

порядка точности для уравнения параболического типа с

эллиптическим оператором, содержащим смешанные производные

(381). 7. Экономичные схемы для систем уравнений параболического

и гиперболического типов (387).

§ 3. Метод суммарной аппроксимации

394

1. Составные схемы. Суммарная аппроксимация (394). 2. Методы

построения аддитивных схем (397). 3 Аппроксимация

«многомерной» задачи Коши системой «одномерных» задач Коши

(400). 4. Методы оценки сходимости аддитивной схемы (407). 5.

Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности в

произвольной области (413). 6. Погрешность аппроксимации

локально-одномерной схемы (417). 7. Устойчивость локально-

одномерной схемы (418). 8. Равномерная сходимость локально-

одномерной схемы (423). 9. Локально-одномерная схема для

уравнений с переменными коэффициентами (425). 10. Продольно-

поперечная схема как аддитивная схема (427). 11. Локально-

одномерные схемы для многомерного гиперболического уравнения

второго порядка (429). 12. Аддитивные схемы для систем уравнений

(438).

Задачи к главе VII

443

Глава VIII. Итерационные методы решения разностных эллиптических

449

уравнений

§ 1. Двухслойные итерационные схемы для разностной задачи Дирихле

449

1. Итерационные схемы (449). 2. Схема простой итерации (явная

схема) (454). 3. Неявный метод переменных направлений

(продольно-поперечная схема) (457). 4. Выбор итерационных

параметров (461). 5. Итерационная схема для разностной задачи

Дирихле повышенного порядка точности (466). 6. Метод

переменных направлений для трехмерной задачи Дирихле (470).

§ 2. Теория итерационных двухслойных схем общего вида

475

1. Итерационная схема с чебышевским набором параметров (475). 2.

Основная теорема для стационарных схем (490). 3. Вычисление

нормы оператора перехода двухслойной схемы с весами (491). 4.

Неявный метод переменных направлений для случая

неперестановочных операторов (492). 5. Факторизованные

итерационные схемы (497). 6. Факторизованный оператор B с

перестановочными операторами R1 и R2 (501),

§ 3. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных

503

уравнений

1. Метод переменных направлений в случае несамосопряженных

операторов (503). 2. Случай несамосопряженного оператора

перехода (505). 3. Оценка ||S|| при увеличении объема информации

(506). 4. Неявный метод наискорейшего спуска и метод

минимальных поправок (509). 5. Двухступенчатый метод (513).

§ 4. Трехслойные итерационные схемы

517

1. Постановка задачи (518). 2. Выбор итерационных параметров

(519). 3. Явная схема (521). 4. Оценка скорости сходимости явной

схемы (522). 5. Априорные оценки для неявной схемы в

энергетических пространствах HA и HB (525). 6. Факторизованные

схемы (526). 7. Двухступенчатый метод (527).

Дополнение. Некоторые варианты метода прогонки

529

§ 1. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно

529

меняющимися коэффициентами

§ 2. Матричная прогонка

532

§ 3. Циклическая прогонка

535

Литература

538

Предметный указатель

551

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аппроксимация оператора 278

— — продольно-поперечная 457

— разностная 18

— — Ричардсона 479

— суммарная 397

— — стационарная 490

Интегро-интерполяционный метод

— — трехслойная 517

111

— — факторизованная 497, 526

Исходное семейство разностных схем

Итерационный метод

303, 320

двухступенчатый 513, 527

Итерационная схема 449

— — двухшаговый 451

— — двухслойная 452

— — для квазилинейных уравнений

216

252

— — одношаговый 451

— линейный 63

Каноническая форма двухслойной

— обратный 63

разностной схемы 294

— перехода 295

— — трехслойной разностной схемы

— положительный 64

295

— постоянный 302

Корректность разностной задачи 41,

—— разрешающий 298

275, 296

— сопряженный 65

Коши — Буняковского неравенство

— треугольный 347

48

— факторизованный 367

— — — обобщенное 66

Операторы энергетически

Краевая задача первая 226, 230, 235

эквивалентные 263

— — с условиями периодичности

Оценка априорная 42

163, 212

Параметры итерационные 452, 461,

— — третья 34, 35, 87, 148, 211, 239,

— — «по Жордану» 462

287

— — циклические 463

Липшица условие 195, 320

Погрешность аппроксимации 19, 277

Метод баланса 111

— — на решении дифференциальной

— выделения стационарных

задачи 29

неоднородностей 199

— — оператора 25

— итерационный одношаговый,

Принцип максимума 60, 239

двухшаговый 451

— суперпозиции 98, 336

—— минимальных поправок 503

Пространство сеточных функций 16

— наискорейшего спуска 509

— энергетическое 66

Метод переменных направлений 359

Разностная производная 18, 19

— — — итерационный 457, 492

— схема 29, 275

— приближенной факторизации 370

— — аддитивная 395

— прогонки 42

— — двухслойная 72

— — матричной 532

— — Дюфорта — Франкела 89, 337

— — потоковой 529

— — консервативная 110, 111

— — циклической 535

— — локально-одномерная 407, 413

— простой итерации 454

— — монотонная 146, 206

— разделения переменных 76, 309

— — наилучшая 119, 131

— расщепления 374

— — неявная 31, 73

— расщепляющегося оператора 370

— — однородная 103, 105, 106, 201,

— суммарной аппроксимации 397

219

— установления 450

— — Писмена — Рекфорда 360

— энергетических неравенств 56, 83,

— — повышенного порядка точности

101

71, 249

Норма негативная 26, 66

— — предиктор-корректор 217

— оператора 63

— — Ричардсона 89

— сеточная 16

— — Саульева 323

Окрестность узла сетки 239

— — с весами 71, 220

Оператор Лапласа разностный 227,

— — с расщепляющимся оператором

368

Узел сетки 14, 230, 232

— — сквозного счета 218

— — внутренний 15, 230, 232, 233

— — составная 395

— — граничный 15, 230, 232

— — точная 140

— — нерегулярный 233

— — трехслойная 37

— — приграничный 233

— — усеченная 144

Устойчивость абсолютная 79

— — факторизованная 368

— абстрактной задачи Коши 293

— — шеститочечная симметричная

— безусловная 79

73, 188

— двухслойной разностной схемы

— — экономичная 358

296, 305, 309

— — явная 31, 72, 188

— коэффициентная 149, 289

Регуляризатор 345

— по начальным данным 76, 298

Регуляризация разностных схем 345

— разностной схемы 33, 41, 275

Сетка 14

— трехслойной разностной схемы

— квадратная 231

325

— неравномерная 15, 24

— условная 79

Сетка прямоугольная 231

Формула Грина разностная 47, 255

— равномерная 14

— разностного дифференцирования

—- связная 234, 239

45

Скорость сходимости 33, 277

— суммирования по частям 46

Слой 72

Функционал шаблонный 105, 116

Стефана задача 218

Функция Грина разностная 119, 120

Схема разностная см. Разностная

— сеточная 14

схема

Шаблон 18

Сходимость итераций 455

— нерегулярный 24

— разностной схемы 33, 277

— пятиточечный нерегулярный 228

Теорема вложения разностная 53, 257

— регулярный 227

Точность разностной схемы 277

Шаг сетки 14