Определения

Ряды в настоящее время представляют собой особо широко используемый математический аппарат для точного и приближенного решения различных уравнений.

Определение 1. Рядом называется сумма некоторой последовательности, другими словами ряд – есть сумма бесконечного числа членов, каждый из которых является элементом заданной последовательности.

Ряды бывают двух видов:

1) числовые ряды, если каждый член ряда – число, в этом случае

,

причем в правой части записан числовой ряд, в левой части – его сокращенное обозначение, здесь означает суммирование членов ряда от первого до сколь угодно большого,общий (й) член ряда.

2) функциональные ряды, когда каждый член ряда есть функция:

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если его сумма имеет конечное значение, если сумма ряда не существует, или равна бесконечности, ряд – расходящийся.

Определение 3. Сумму первых членов ряда называютчастичной суммой ряда.

Очевидно, сумма ряда определяется формулой. Однако применение этой формулы сопряжено с большими, порой непреодолимыми, трудностями. Далеко не всегда удается в компактной форме записатью частичную сумму ряда, а, следовательно, вычислить ее предел. Почленное суммирование ряда - еще менее перспективная процедура, бесконечное число членов не просуммируешь.

Вследствие этого точное значение суммы ряда можно установить в очень небольшом числе случаев.

Приведем пример геометрической прогрессии

,

знаменатель которой .

Известна сумма первых членов этого ряда. Вычислим ее предел. Если, то, следовательно,. При, и. Ряд расходится. Приряд также расходится. Итак, подтверждается утверждение, что геометрическая прогрессия сходится прии расходится при.

В большинстве случаев приходится вычислять суммы рядов приближенно, но для этого необходимо знать, существует ли конечное значение этой суммы, то есть сходящийся ли ряд.

Теория рядов, следовательно, создана для установления сходимости или расходимости рядов. При необходимости сумму сходящегося ряда вычисляют приближенно, расходящиеся ряды практической ценности не представляют.

Числовые ряды Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то .

Доказательство. Если ряд сходящийся, существует его конечная сумма , причем. Вычислим

.

Основное свойство рядов

Если ряд сходящийся, то его остаток , образованный отбрасыванием первыхчленов ряда, тоже сходится. Если ряд расходящийся, то его остаток также является расходящимся рядом.

В самом деле,

.

Если ряд сходится, то существует его конечная сумма , а- всегда конечна как сумма конечного числа членов. Тогда изследует, чтоконечное число, и остаток ряда – сходится. Когда ряд расходящийся,. Поскольку сумма ряда в правой части равенства не существует (ряд расходящийся), аимеет конечное значение, сумма ряда в левой части также не существует.

Переходим к рассмотрению частных случаев рядов. Вначале исследуем сходимость числовых рядов.

Знакоположительные числовые ряды

Начнем с теорем сравнения знакоположительных рядов.

Первая теорема сравнения. Даны два знакоположительных числовых ряда и, причем. Из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда. Из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда.

Доказательство.

1) Пусть ряд сходится, и его суммаконечна. Рассмотрим частичные суммы обоих рядови. Так как члены обоих рядов положительны, при любомимеем, из условияимеем. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда. Она монотонно возрастает с ростом(суммируется все большее число положительных членов). В то же время она ограничена сверху числом. Но имеется теорема, утверждающая, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. Итак,, следовательно,является суммой ряда.

2) Пусть ряд расходится. Поскольку все его члены положительны, его сумма равна бесконечности. По условию теоремы, следовательно,, то есть при неограниченном возрастании суммынеограниченно растет и сумма. Больший ряд также расходится.

Вторая теорема сравнения (упрощенная постановка). Даны два знакоположительных ряда и, причем, в этом случае оба ряда ведут себя одинаково: либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Из следует, что

.

Из записанной формулы следует, что начиная с и для всех остальных выполняется неравенство, из которого имеем, или.

1)Рассмотрим правую часть неравенства. Пусть ряд сходится, тогда сходится и его остаток, следовательно, сходится и ряд. Поскольку, из первой части первой теоремы сравнения следует сходимость ряда, а, следовательно, и самого ряда.

2) Пусть ряд расходится, тогда расходится и его остаток. Подберемтак, чтобы, тогда рядтоже расходится. Но из левой части полученного выше неравенства следует, что, значит, члены рядабольше членов расходящегося ряда, из первой теоремы сравнения следует, что рядрасходящийся, расходится и ряд.

Доказано, что из сходимости (расходимости) ряда следует сходимость (расходимость) ряда.

Рассмотрим теперь . Очевидно,, то есть условия только что доказанной теоремы выполнены. Но в этом случае можно утверждать, что из сходимости (расходимости) рядаследует сходимость (расходимость) ряда. Итак, ряды при выполнении условий теоремы ведут себя одинаково.

Доказаны две важнейшие теоремы. Однако для сравнения рядов необходимо иметь информацию о сходимости или расходимости хотя бы нескольких рядов, с которыми можно было бы сравнивать другие ряды.

Для этой цели рассмотрим несколько достаточных условий, позволяющих исследовать сходимость конкретных рядов.

Признак Даламбера

сходимости знакоположетельных рядов

Теорема. Ряд при условиисходится, когдарасходится, еслипризнак Даламбера неприменим.

Доказательство. Если , то

,

откуда следует

1) Для доказательства первой части теоремы воспользуемся правой частью неравенства, записав его в виде , где,. По условию теоремы. Зададимнастолько малым, чтобы. Тогда

,

,

,

……………………

Рассмотрим теперь два ряда

и

.

Нижний ряд представляет собой сходящуюся геометрическую прогрессию, так как . Члены верхнего ряда меньше соответствующих членов нижнего ряда, на основании первой теоремы сравнения рядсходится. Но этот ряд является остатком рассматриваемого ряда, следовательно, он тоже сходится.

2) Для доказательства второй части теоремы при воспользуемся полученным ранее неравенством, подобравтак, чтобы. Тогда, то есть положительные члены ряда растут с ростом. Очевидно,, но ряд может сходиться только в случае. Ряд расходится.

3) При условииневозможно доказать сходимость, или расходимость ряда. Следовательно, в этом случае признак Даламбера неприменим.

Рекомендация. Признак Даламбера дает положительный ответ практически всегда, если общий член ряда содержит показательную функцию или факториалы.

Пример 1. . Очевидно,. Тогда

. Ряд сходится.

Пример 2. ..

Чтобы решить этот пример, вспомним некоторые формулы для "факториала" ,.

.

Ряд расходится.

Радикальный признак Коши

сходимости знакоположительных рядов

Теорема. Дан ряд . Если, а, то ряд сходится, приряд расходится, припризнак не работает.

Доказательство. Из следует, что

,

другими словами, начиная с некоторого и для всех последующих, оттуда следует, или, где,.

1. Докажем справедливость первого утверждения теоремы. В этом случае , зададимтак, чтобы выполнялось. Из правой части полученного двойного неравенства следует, что. Если сравнить рядыи, то члены первого ряда меньше соответствующих членов второго ряда, являющегося сходящимся как геометрическая прогрессия со знаменателем меньшим единицы. Из первой теоремы сравнения рядов следует, что ряд, то есть остаток рядасходится, следовательно, сходится и сам ряд.

2. При доказательстве второго утверждения теоремы учтем, что и зададимтак, чтобы. Воспользуемся левой частью двойного неравенства. Сравним рядс расходящейся геометрической прогрессией. И поскольку члены рядабольше соответствующих членов расходящейся геометрической прогрессии, он расходится. Так как этот ряд является остатком ряда, то и сам ряд расходится.

3. При ряд может как сходиться, так и расходиться, следовательно, признак неприменим.

Замечание. Радикальный признак удобно применять, когда хорошо извлекается корень й степени из общего члена ряда.

Пример 1. ., ряд сходится.

Пример 2. .,

ряд расходится.

Интегральный признак Маклорена – Коши

сходимости знакоположительных рядов

Теорема. Знакоположительный ряд сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл, причем подынтегральная функцияполучается из общего члена ряда заменой дискретно меняющейся переменнойна действительную переменную.

Доказательство.

1) Пусть интеграл - сходится, то есть принимает конечное значение. Рассмотрим интеграл, его значение дает площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми,,и кривой. Разобьем отрезокнаравных частей, длина каждого элементарного отрезка равна 1. Из точек разбиения восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой, длины этих перпендикуляров, где- члены исследуемого ряда, что следует из условия теоремы. Построим вписанные в криволинейную трапецию прямоугольники, одна из сторон каждого из них равна 1, другие имеют длинысоответственно. Подсчитаем сумму площадей вписанных прямоугольников

,

сумма площадей численно равна й частичной сумме ряда без первого члена. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда. Она растет с ростом величины верхнего предела интеграла, так как растет количество вписанных прямоугольников. В то же время любая частичная сумма ряда, как уже говорилось выше, совпадающая численно с площадью вписанных прямоугольников, не может превышать площади криволинейной трапеции, которая сама меньше значения интеграла. Итак, последовательность частичных сумм ряда монотонно возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет конечный предел, но это сумма рядапо определению. Значит, ряд сходится.

2) Пусть интеграл расходящийся. Так как, то. Построим описанные прямоугольники, одна из сторон каждого из них равна 1, другие соответственно. Сумма площадей этих прямоугольников равнаи совпадает счастичной суммой ряда. Поскольку сумма площадей описанных прямоугольников больше площади криволинейной трапеции, которая равна, то и частичные суммы ряда неограниченно возрастают. Очевидно,. Ряд расходится.

Итак, получен универсальный признак сходимости, который, в отличие от предыдущих двух признаков, работает всегда. Но его применение приводит к необходимости исследования сходимости несобственного интеграла, что далеко не просто, да и не всегда возможно.

Исследуем ряд с помощью интегрального признака. Для этого необходимо исследовать сходимость интеграла, что было проделано ранее. Он сходится прии расходится при. Тогда и рядсходится прии расходится при.

Пример 1. . Вычислим интеграл

,

интеграл сходится и ряд тоже.

Пример 2. . Вычислим интеграл

,

интеграл, а вместе с ним ряд сходятся.

Исследование сходимости знакоположительных рядов с помощью МАКСИМЫ

Рассмотрим ряд

Поскольку не выполняется необходимое условие сходимости ряда (предел n - го члена равен бесконечности), он расходящийся.

Рассмотрим ряд

Поскольку предел n - го члена равен нулю, ряд может как сходиться, так и расходиться. Применение признака Даламбера дает , что меньше 1, ряд сходится.

Исследуем ряд

Проверка необходимого условия показывает, что ряд может и сходиться, и расходиться. Признак Даламбера дает 1, то есть не работает. Интегральный признак приводит к сходящемуся интегралу, следовательно, ряд сходится.

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать сходимость рядов, используя теоремы сравнения и признаки сходимости

15.1. , 15.2., 15.3., 15.4.,

15.5. , 15.6., 15.7., 15.8,

15.9. , 15.10., 15.11., 15.12..

Ответы. 15.1. Сходится. 15.2. Сходится. 15.3.Сходится. 15.4. Сходится.

15.5. Сходится. 15.6. Расходится. 15.7. Сходится. 15.8. Расходится.

15.9. Сходится. 15.10. Сходится. 15.11. Сходится. 15.12. Расходится.