§ 5. Ортогональные системы векторов.

Векторное пространство , в котором скалярное произведение векторовиопределяется формулой, являетсяевклидовым.

Два вектора иназываютсяортогональными, если .

Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны: при.

Базис -мерного евклидова пространства называетсяортогональным, если при.

Каждый вектор единственным образом раскладывается по базису:, где числаназываемыекоординатами вектора в ортогональном базисе , определяются по формулам:().

Ортогональной составляющей вектора относительно ортогональной системы векторов называется вектор , где().

Процессом ортогонализации системы векторов называется построение ортогональной системы ненулевых векторов по формулам:,,,…,, где- ортогональные составляющие векторовотносительно ортогональных систем векторов(). Если система векторов линейно зависима, то число векторов в ортогональной системе будет меньше .

1.123 Выяснить будут ли ортогональными следующие системы векторов.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.124 Проверить ортогональность систем векторов и дополнить их до ортогональных базисов.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.125 Найти координаты вектора в ортогональном базисе:,,,.

1.126Найти координаты вектора в ортогональном базисе: , , .

1.127Найти ортогональную составляющую вектора относительно ортогональной системы векторов .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В задачах 1.128-1.133 применяя процесс ортогонализации построить ортогональную систему векторов.

1.128 .

1.129 .

1.130 .

1.131 .

1.132 .

1.133 .

§ 6. Линейные операторы.

Оператором в (преобразованием пространства ) называется закон, по которому каждому векторуставится в соответствие единственный вектор, и пишутОператорназываетсялинейным, если для любых векторов и действительных чиселвыполнено условие:.

Если - базис, то матрицей линейного оператора в базисе называется квадратная матрицапорядка, столбцами которой являются столбцы координат векторов.Каноническим базисом называется базис, где,,-единичные векторы. Между линейными операторами, действующими ви квадратными матрицами порядка, существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет операторпредставлять в матричном виде, где- матрицы-столбцы координат векторов,- матрица операторав базисе .

Для линейных операторов вводятся операции: 1) сложение операторов:;2) умножение оператора на число: ;3) умножение операторов:.

Обратным к оператору называется оператортакой, что, где-единичный (тождественный) оператор, реализующий отображение . Обратный операторсуществует только для невырожденных операторов(операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.

Пусть число и вектор,, таковы, что выполняются равенства:или. Тогда числоназываетсясобственным числом линейного оператора (матрицы), а вектор-собственным вектором оператора (матрицы), соответствующим собственному числу . Равенствоможет быть записано и в виде, где- единичная матрица порядка,- матрица-столбец координат собственного вектора, соответствующего собственному числу,- нулевая матрица-столбец.

Характеристическим уравнением оператора (матрицы) называется уравнение:.

Множество собственных чисел оператора (матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: , амножество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения:.

Если квадратная матрица порядкаимеет собственные числакратности, где, то онаприводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда выполнены условия:(). Если нарушается хотя бы одно из условий, то матрица к диагональному виду неприводима.

Приведение матрицы к диагональному видуосуществляется преобразованием:, где- матрица, столбцами которой являютсялинейно независимых собственных векторов матрицы, отвечающих собственным числам(каждому собственному числукратностиотвечаетлинейно независимых собственных векторов, образующих фундаментальную систему решений уравнения:). Матрицапри этом будет иметь диагональный вид, причём на главной диагонали будут стоять собственные числа матрицы.

В задачах 1.134-1.138 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов в себя являются линейными операторами, и выписать их матрицы в каноническом базисе.

1.134 .

1.135 .

1.136 .

1.137 .

1.138 .

В задачах 1.139-1.143 в пространстве заданы линейные операторы и . Найти матрицу линейного оператора , гдеи его явный вид в каноническом базисе .

1.139,

.

1.140 ,

.

1.141,

.