1.30 .

1.31 .

В задачах 1.32-1.35 умножить матрицы:

1.32 а) ; б).

1.33 а) ; б).

1.34 а) ; б);

в) ; г).

1.35 а); б).

1.36 Выполнить действия над матрицами

а) ;

б) .

1.37 Вычислить а) ; б).

В задачах 1.38-1.40 найти значение многочлена от матрицы

1.38, .

1.39, .

1.40 , .

В задачах 1.41-1.42 вычислить .

1.41 ,.

1.42 ,.

В задачах 1.43-1.44 вычислить для заданных матриц.

1.43 . 1.44.

В задачах 1.45-1.52 найти обратную матрицу для матриц:

1.45 . 1.46. 1.47.

1.48 . 1.49. 1.50.

1.51 . 1.52.

В задачах 1.53-1.58 решить матричные уравнения.

1.53 . 1.54.

1.55 . 1.56.

1.57а) ; б).

1.58а) ; б).

§3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы.

Арифметическим вектором называется всякая упорядоченная совокупность из чисел:и обозначается. Числаназываютсякомпонентами вектора , число компонент называется егоразмерностью.

Векторы иназываютсяравными, если они одной размерности и их соответствующие элементы равны: ,.

Суммой (разностью) векторов иодной размерности, называется вектортой же размерности, для которого:,.

Произведением вектора на число называется вектор той же размерности, для которого:,.

Линейной комбинацией векторов иодной размерности, называется вектортой же размерности (и- произвольные числа), для которого:,.

Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называетсяпространством арифметических векторов (векторным пространством) и обозначается .

Система векторов называетсялинейно зависимой, если найдутся числа , не равные одновременно нулю, такие, что(где- нулевой вектор). Если равенство выполняется, только при, то система называетсялинейно независимой.

Базисом системы векторов называется упорядоченная система векторов, удовлетворяющая условиям:1) ,;2) система линейно независима;3) для любого вектора найдутся числа, такие, что. Коэффициенты, однозначно определяемые вектором, называютсякоординатами вектора в базисе , а формула называетсяразложением вектора по базису.Рангом системы векторов называется число векторов в любом из её базисов и обозначаетсяили. В пространствебазисом является всякая упорядоченная система излинейно независимых векторов:. Ранг пространстваравени называется егоразмерностью.

Координаты одного и того же вектора в двух базисахисвязаны соотношением:, где матрица, столбцами которой являются коэффициентыразложения векторовпо базису:,, называетсяматрицей перехода от базиса к базису.

Минором -ого порядка матрицы называется определительквадратной матрицы порядка, образованной элементами матрицы, стоящими на пересечении произвольно выбранных еёстрок истолбцов. Максимальный порядокотличных от нуля миноров матрицы, называется еёрангом и обозначается или, а любой минор порядка, отличный от нуля –базисным минором.

Основным методом вычисления ранга матрицы является метод элементарных преобразований. Метод основан на том факте, что элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Используя эти преобразования, матрицу всегда можно привести к виду, когда все элементы, расположенные ниже элементов, будут равны нулю. Базисный минор такой матрицы имеет порядок, и, следовательно, ранг матрициравен.

Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной зависимости системы векторов и нахождения её ранга. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, столбцами которой являются координатные столбцы векторов системы. Система векторов будет линейно зависима, если её ранг меньше числа векторов в системе.

В задачах 1.59-1.60 найти линейные комбинации векторов, если заданы арифметические векторы:,