4.224 4.225

4.226 4.227

4.228 4.229

4.230 4.231

4.232 4.233

4.234 4.235

Если ,,илии при этом существует действительное числотакое, что, (), тоназываетсябесконечно большой функцией порядка относительно.

В задачах 4.236-4.241 определить порядок роста бесконечно большой функции относительнопри:

4.236 4.237

4.238 4.239

4.240 4.241

В задачах 4.242-4.247 найти односторонние пределы:

4.242. 4.243.

4.244. 4.245.

4.246. 4.247.

§ 4. Непрерывность функций.

Если функция определена всюду в некоторой окрестности точки(левой полуокрестности, правой полуокрестности) и(,), то функцияназываетсянепрерывной в точке (непрерывной слева, непрерывной справа).

Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения и непрерывна слева (справа) в крайней правой (крайней левой) точке области определения.

Если в точке , тоназываетсяточкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:

1) Если , тоназываетсяточкой устранимого разрыва функции .

2) Если в точке функцияимеет конечные односторонние пределыи, но они не равны друг другу, тоназываетсяточкой разрыва 1-ого рода.

3) В остальных случаях называетсяточкой разрыва 2-ого рода .

Функция называетсянепрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой его точке (в точке- непрерывна справа, в точке- непрерывна слева). Функциянепрерывная на отрезкеобладает свойствами:1) ограничена на ;2) достигает на отрезке своего наименьшего значенияи наибольшего значения;3) для любого числа , заключённого между числамии, всегда найдётся точкатакая, что;4) если , то всегда найдётся точкатакая, что.

В задачах 4.248-4.251 установить при каком выборе параметров, входящих в выражение функции, функция будет непрерывной.

4.2484.249

4.250 4.251

В задачах 4.252-4.269 определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек.

4.252 4.253

4.254 4.2554.256. 4.257 4.2584.259

4.260 4.261

4.262 4.263

4.264 4.265

4.266 4.267

4.268 4.269

4.270 Имеет ли корень уравнение

4.271 Имеет ли уравнение корни, принадлежащие отрезку

4.272 Дана функция на отрезке Существует ли на этом отрезке точка, в которой

4.273 Принимает ли функция значениевнутри отрезка

4.274 Доказать, что функция разрывна в точкеи, тем не менее, принимает накак наибольшее, так и наименьшее значения.

§ 5. Комплексные числа.

Комплексным числом называется число вида , где,-действительные числа, символ- мнимая единица, для которой. Число- называетсядействительной частью комплексного числа , число-мнимой частью. Множество всех комплексных чисел обозначается .

Комплексное число изображается на плоскости с системой координат(называемой комплексной плоскостью) точкой, обозначаемой той же буквойи имеющей координаты.

Комплексное число на комплексной плоскости изображается также радиус-вектором точки . Длина радиус-вектора называетсямодулем комплексного числа: , а угол егос осьюназываетсяаргументом комплексного числа: ,.

Аргумент комплексного числа вычисляют, как правило, по формуле:.

Комплексно-сопряжённым числу называется число.

Представление комплексного числа выражением называется алгебраической формой комплексного числа, выражением -тригонометрической формой и выражением - егопоказательной формой.

Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий над многочленами, с учётом того, что :

;

.

Деление комплексных чисел выполняют по формуле: .

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме выполняют по формулам:

;

.

Умножение и деление комплексных чисел в показательной форме выполняют по формулам:;.

Возведение комплексного числа в натуральную степеньвыполняют, используяформулу Муавра: .

Извлечение корня -ой степени из комплексного числа(не равного нулю) выполняют по формуле:

,

(здесь - действительное положительное число). Корень степенииз комплексного числа имеетразличных значений, расположенных на комплексной плоскости на окружности радиуса.

Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида: , где,- некоторые числа (вообще говоря, комплексные), называемые коэффициентами многочлена, причём.

Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида Число, для которогоназываетсякорнем многочлена или уравнения.

Теорема Безу. Число является корнем многочленатогда и только тогда, когдаделится на, т.е. когдапредставляется в виде:, где- многочлен степени.

Число называетсякорнем кратности многочлена , если, где.

Для многочленов имеет место следующая теорема:

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет ровнокорней, если каждый корень считать ровно столько раз, какова его кратность .

Всякий многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение линейных и квадратичных (с действительными коэффициентами) множителей.

Всякий квадратный многочлен с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел всегда можно разложить в произведение только линейных множителей:, где корниимногочлена находятся по формулам:

1) если , то- действительные;

2) если , то- комплексно-сопряжённые.

4.275. Изобразить на комплексной плоскости числа:

а)

;

б)

В задачах 4.276- 4.279 выполнить указанные действия, представив результат в алгебраической форме:

4.276 а);б);в).

4.277 а); б); в).

4.278

а) ; б); в).

4.279

а); б); в).

В задачах 4.280- 4.283 представить в тригонометрической форме комплексные числа, заданные в алгебраической форме:

4.280 а) ; б) ; в) .

4.281 а) ; б) ; в) .

4.282 а) ; б) ; в) .

4.283

а) ; б) ; в) .

4.284 Вычислить:

а) ;

б)

В задачах 4.285-4.286 представить в показательной форме следующие комплексные числа:

4.285 а) ;б);в).

4.286 а) ;б);в)

4.287 Данные числа представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:

а) ;

б)

В задачах 4.288-4.289 используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:

4.288 а) ; б) ; в) .

4.289 а) ; б) ; в).

4.290 Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.

В задачах 4.291-4.293 найти все значения корней:

4.291 а) ; б); в).

4.292 а) ; б); в).

4.293 а) ; б);в).

В задачах 4.294-4.296 найти все корни следующих алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел:

4.294 а); б); в).

4.295 а); б); в).

4.296 а); б); в).