4.77 4.784.79

4.80 4.81

В задачах 4.82-4.84 с помощью графического сложения построить графики следующих функций:

4.82 .4.83 .

4.84

§ 3 Предел числовой последовательности и функции

Если каждому натуральному числу по некоторому правилупоставлено в соответствие одно вполне определённое действительное число, то говорят, что заданачисловая последовательность . Кратко обозначают. Числоназывается общим членом последовательности. Последовательность называют также функцией натурального аргумента. Последовательность всегда содержит бесконечно много элементов, среди которых могут быть равные.

Число называетсяпределом последовательности , и пишут, если для любого числанайдётся номертакой, что при всехвыполняется неравенство.

Последовательность , имеющая конечный предел, называетсясходящейся, в противном случае – расходящейся.

Последовательность называетсябесконечно малой, если . Последовательностьназываетсябесконечно большой (сходящейся к бесконечности) и пишут , если для любого числанайдётся номертакой, что при всехвыполняется неравенство.

Число называетсяпределом функции при (или в точке ), и пишут, если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Число называетсяпределом функции при , и пишут , если для любого числанайдётся числотакое, что при всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство.

Рассматривают также односторонние пределы функций: ,,,, гдестремится к,,или только с левой стороны или только с правой стороны.

Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем- или числоили символ):

1) Если - постоянная величина, то.

2) Если существуют конечные пределы ,, то:

а) ;б) ;

в) ;г) , если.

При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точкииз её области определения справедливо соотношение.

Функция называетсябесконечно большой при , если. Функцияназываетсябесконечно малой при , если.

Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :

1) Если, то,если, то

2) Если и, то.

3) Если и, то.

4) Если и, то.

5) Если и, то.

6) Если и, то.

Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.

В задачах 4.85-4.88 , используя определение предела, доказать, что и найти номертакой, чтодля всех:

4.85 ,.

4.86 ,.

4.87 ,.

4.88 ,.

В задачах 4.89-4.111 найти пределы последовательностей:

4.894.904.91

4.92. 4.93. 4.94.

4.95. 4.96.

4.97. 4.98.

4.99. 4.100.

4.101. 4.102. 4.103.

4.104. 4.105.

4.106. 4.107.

4.108.

4.109. 4.110.

4.111.

В задачах 4.112-4.113 пользуясь только определением предела функции доказать, что и заполнить таблицу:

	0.1	0.01	0.001

4.112 а) ; б).

4.113 а) ; б).

В задачах 4.114-4.132 вычислить пределы рациональных выражений:

4.114.4.115.

4.116.4.117.

4.118.4.119

4.1204.121

4.122.4.123.

4.1244.125

4.1264.127.

4.128.4.129 .

4.130.4.131.

4.132.

В задачах 4.133-4.149 вычислить пределы иррациональных выражений:

4.133.4.134

4.1354.136.

4.137 .4.138.

4.139 .4.140 .

4.141.4.142.

4.143.4.144.

4.145.4.146 .4.147.4.148.

4.149.

Первым замечательным пределом называется предел: . Следствиями из него являются пределы:

, ,.

В задачах 4.150-4.170, используя 1-ый замечательный предел, вычислить пределы:

4.1504.151.4.152.4.153.4.154.4.155.

4.156.4.157.

4.158.4.159.

4.160. 4.161

4.162.4.163 .

4.164.4.165.

4.166..4.167..

4.168.4.169.

4.170.

Вторым замечательным пределом называются пределы:

,

где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции, гдеи.

При нахождении пределов следует иметь в виду:

1) Если ,, то.

2) Если ,, товычисляют, учитывая, что:,.

4.171 Доказать пределы:

а);б);в)

В задачах 4.172-4.174 вычислить пределы:

4.172.4.173.4.174.

В задачах 4.175-4.204, используя 2-oй замечательный предел, а также результаты задачи 4.171, вычислить пределы:

4.175 .4.176 .

4.177 .4.178 .

4.179 .4.180.

4.181.4.182.

4.183.4.184.

4.185. 4.186.

4.187.4.188.

4.189.4.190.

4.191.4.192

4.193.4.194.

4.195.4.196.

4.197.4.198.

4.199.4.200.

4.201.4.202.

4.203.4.204.

Бесконечно малые функции иприназываютсяэквивалентными, и пишут ~, если.

Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведенияодну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если~,~при, то:

;

Основные эквивалентности при
~	~	~	~
~	~	~	~
~	~	~

В задачах 4.205-4.222 вычислить пределы с помощью принципа замены эквивалентных бесконечно малых функций:

4.205.. 4.206.

4.207. 4.208.

4.209. 4.210.

4.211. 4.212.

4.213. 4.214.

4.215. 4.216.

4.217. 4.218.

4.219. 4.220.

4.221. 4.222.

4.223 Доказать, что при

а) б) в)

г) д).

Если ,,и при этом существует действительное числотакое, что, тоназываетсябесконечно малой функцией порядка относительно.

В задачах 4.224-4.235 определить порядок малости от-носительно