§3. Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой называют любое предположение относительно параметров или вида распределения генеральной совокупности (случайной величины). Гипотезы относительно неизвестного значения параметра распределения генеральной совокупности (случайной величины) называютсяпараметрическими и непараметрическими в иных случаях. Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет распределение , в противном случае она называетсясложной. Проверяемая гипотеза называется основной и обозначается . Наряду с гипотезойрассматривают одну из альтернативных гипотез, противоречащих основной. Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметрараспределениянекоторому заданному значению, т.е., то в качестве альтернативной гипотезы, как правило, рассматривается одна из следующих гипотез:,,. Выбор альтернативы определяется конкретной постановкой задачи.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить основную гипотезу , называетсякритериемпроверки гипотезы. Критерий задают с помощью критического множества , где-выборочное пространство (множество всех возможных значений случайной выборки ). Решение принимают на основе выборкинаблюдаемых значений случайной величины, используя для этого подходящую статистику, называемуюстатистикой критерия .При проверке параметрической гипотезы в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и при оценивании параметра.

Решение принимают следующим образом: 1) если выборка , то принимают основную гипотезу;2) если выборка , то основную гипотезуотклоняют и принимают альтернативную гипотезу.

При использовании любого критерия возможны ошибки двух видов:

1) отклонить верную основную гипотезу -ошибка первого рода;

2) принять неверную основную гипотезу - ошибка второго рода.

Вероятности совершения ошибок первого и второго рода обозначают и:,, где- вероятность событияпри условии, что справедлива гипотеза,. Вероятность совершения ошибки первого роданазывают такжеуровнем значимости критерия , а величину, равную вероятности отклонить основную гипотезу, когда она неверна, называютмощностью критерия. Уровень значимости определяет «размер» критического множества. Обычно используются значения, равные,,.

Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, т.е. если выборкапопадает в критическое множествос исключительно малой вероятностью, то естественно предположить, что утверждение, которое привело к этому маловероятному событию, не соответствует истине и отклонить его. Поступая так, мы будем отклонять в действительности верную основную гипотезукрайне редко – не более чем вслучаев. Поэтому за основную гипотезу естественно принять утверждение, отклонение которого, когда оно в действительности является верным, приводит к более тяжёлым последствиям, чем его принятие при справедливости альтернативы.

Общая схема проверки параметрической гипотезы состоит в следующем:1) формулируется альтернативная гипотеза ;2) задаётся уровень значимости ;3) выбирается статистика критерияпроверки гипотезы;4) определяется выборочное распределение статистики при условии, что гипотезаявляется верной;5) по заданным значениям иопределяется критическое множествокритерияв зависимости от формулировки альтернативной гипотезы;

6) по выборке вычисляется наблюдаемое значениестатистики критерия;7) принимается статистическое решение: если , то основная гипотезаотклоняется как не согласующаяся с данными выборки; если, топринимается, т.е. считается, что гипотезане противоречит данным выборки.