§2. Статистические оценки параметров распределения.

2.1 Точечные оценки.

Одной из основных задач математической статистики является оценка неизвестных параметров, характеризующих распределение генеральной совокупности . Совокупность независимых случайных величин, каждая из которых имеет то же распределение, что и случайная величинаназываютслучайной выборкой объёма из генеральной совокупностии обозначают. Любую функциюслучайной выборки называютстатистикой.

Если функция распределения генеральной совокупностиизвестна с точностью до параметра, то еготочечной оценкой называют статистику , значение которойна данной выборке принимают за приближённое значение неизвестного параметра :.

Чтобы точечные оценки давали «хорошее» приближение оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям. «Хорошей» считается оценка, обладающая свойствами состоятельности, несмещённости и эффективности.

Оценка называется:1) состоятельной оценкой параметра , если при неограниченном увеличении объёма выборки она сходится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е.;2) несмещённой (оценкой без систематических ошибок), если её математическое ожидание при любом равно оцениваемому параметру, т.е.;3) эффективной (в некотором классе несмещённых оценок), если она имеет минимальную дисперсию в этом классе.

Пусть распределение генеральной совокупности известно с точностью до вектора параметрови требуется найти значение его оценки по выборке .

Оценкой метода моментов вектора параметров называют статистикузначениекоторой для любой выборкиудовлетворяет системе уравнений:

, ,

где - теоретические начальные моменты-го порядка случайной величины,- эмпирические начальные моменты-го порядка выборки. В систему уравнений метода моментов могут входить и уравнения вида, где- теоретические центральные моменты-го порядка случайной величины,эмпирические центральные моменты-го порядка выборки. Часто для нахождения значения оценки одного параметра используют первый начальный момент, а для нахождения значений оценок двух параметров – первый начальный и второй центральный моменты.

Оценкой метода максимального правдоподобия вектора параметров называют статистикузначениекоторой для любой выборкиудовлетворяет условию:, где- функция правдоподобия выборки,- множество всех возможных значений вектора параметров.

Функция правдоподобия имеет вид:

1) - для дискретной случайной величины;

2) - для непрерывной случайной величины.

Если функция дифференцируема как функция аргументадля любой выборкии максимумдостигается во внутренней точке, то значение точечной оценкимаксимального правдоподобия находят, решая систему уравнений максимального правдоподобия:,. Нахождениеупрощается, если максимизировать не саму функцию правдоподобия, а её логарифм, так как при логарифмировании точки экстремума остаются теми же, а уравнения, как правило, упрощаются и записываются в виде:,.

13.29 По выборке объёма из генеральной совокупностинайдено значение смещённой оценкигенеральной дисперсии. Найти значение несмещённой оценкидисперсии генеральной совокупности, если:а) ; б).

В задачах 13.30-13.34 по выборке объёманайти значения точечных оценок параметров указанных распределений:а)методом моментов; б)методом максимального правдоподобия.

13.30 Биномиальное распределение с параметром (вероятность появления некоторого событияв одном испытании):

,

где - число появлений событияв-ом опыте,- количество испытаний в одном опыте,- число опытов.

13.31 Распределение Пуассона с параметром :

,

где - число появлений события в-ом опыте,- количество испытаний в одном опыте,- число опытов.

13.32 Геометрическое распределение с параметром (вероятность появления некоторого событияв одном испытании):

,

где - число испытаний до появления события.

13.33 Показательное распределение с параметром , функция плотности которого.

13.34 Нормальное распределение с параметрами с функцией плотности.

13.35 Найти методом моментов по выборке объёмазначения оценок параметровиравномерного распределения, плотность которого:().

13.36 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёмазначение оценки параметрараспределения «хи-квадрат», функция плотности которого

.

13.37 Найти методом максимального правдоподобия по выборке объёмазначение оценки параметрагамма-распределения (известно), функция плотности которого

.