стр_343-350_ГЛАВА_14

ГЛАВА 14. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО.

Расширенной (или полной) комплексной плоскостью называется комплексная плоскость переменной с присоединением единственного комплексного числа (независимо от направления), окрестностью которой называется множество точек, удовлетворяющих условию .

Функция однозначна, если каждому значению из некоторой области ставится в соответствие одно, определённое комплексное число .

Функция называется однолистной в некоторой области, если в различных точках этой области она принимает различные значения. Например, функция - однозначна, но не однолистна, так как двум точкам на комплексной плоскости и отвечает одно и тоже значение .

Для расширенной комплексной плоскости множество точек, состоящее из внутренних точек, любые две из которых можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству, называется связной областью.

Функция называется дифференцируемой в точке , если существует , независимый от способа стремления к нулю. Этот предел называется производной функции .

Если функция дифференцируема в точке , то существуют частные производные , и выполняются соотношения, называемые условиями Коши-Римана: , .

Функция , имеющая в каждой точке некоторой области непрерывную производную, называется аналитической в этой области. Например, функция - непрерывна на всей плоскости, но нигде не дифференцируема, т.е. не аналитическая.

Функция , где - однозначная аналитическая в некоторой области , осуществляет отображение этой области на область комплексной плоскости , называемое конформным. Например, показательная функция отображает полосу на плоскости шириной на верхнюю полуплоскость , а функция отображает полуполосу ) на полукруг единичного радиуса в верхней полуплоскости .

Конформное отображение в точке во-первых, сохраняет углы между любыми гладкими линиями, проходящими через точку и угол поворота бесконечно малого элемента равен аргументу производной и, во-вторых растяжение бесконечно малого элемента в точке постоянно и равно модулю производной для любого направления.

Функция , осуществляющая конформное отображение заданной односвязной области на область в плоскости , определяется единственным образом заданием соответствия между тремя различными точками и .

Интеграл от комплексной функции по некоторой кусочно-гладкой линии конечной длины, определяется следующей формулой

,

где , и интегралы в правой части равенства – криволинейные интегралы второго рода. В частности, если - окружность радиуса с центром в точке , обходимая в положительном направлении (против хода часовой стрелки) (), то и не зависит ни от , ни от .

В интегральном исчислении теории функций комплексного переменного основную роль играет теорема Коши: Если - аналитическая функция в некоторой односвязной области , то интеграл , взятый вдоль любого замкнутого контура , равен нулю.

Значения аналитической функции в точке, лежащей внутри замкнутого контура определяется интегралом Коши , а её -ая производная во внутренних точках области равна .

Если функции ( аналитические в некоторой области и ряд равномерно сходится в каждой точке замкнутой области , то - аналитическая в и .

Функция - аналитическая внутри круга может быть представлена в этом круге единственным образом , где , - окружность радиуса с центром в точке .

Ряд вида , сходящийся в кольце к аналитической функции , называется рядом Лорана этой функции. Здесь (), - произвольный замкнутый контур в кольце , содержащий точку внутри.

Точка называется правильной, если существует ряд Тейлора сходящийся к внутри круга сходимости, принадлежащему . Точки не являющиеся правильными называются особыми точками .

Точка называется:

1) устранимой особой точкой функции , если ();

2) полюсом порядка функции , если её ряд Лорана в окрестности содержит членов с отрицательными степенями ;

3) существенно особой точкой функции , если её ряд Лорана в окрестности содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями .

Вычетом аналитической функции в изолированной особой точке называется число равное интегралу , где - замкнутый контур, содержащий изолированную особую точку, взятый в положительном направлении, и обозначается в виде : .

Для полюса -го порядка имеем

.

В частности, для полюса первого порядка .

Если функция аналитическая всюду в замкнутой области , за исключением конечного числа изолированных особых точек (), лежащих внутри области , то , где полная граница области , проходимая в положительном направлении. Ели функция аналитическая в расширенной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек (), включая , то .

Теорию вычетов широко применяют для вычисления интегралов.

§1. Линии и области на комплексной плоскости.

В задачах 14.1-14.12 указать на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих указанным соотношениям:

14.1 14.2 14.3

14.4 14.5 ; 14.6

14.7 ; 14.8 14.9 ;

14.10 14.11 , ,

14.12

§2. Элементарные функции.

14.13 Найти :

a) ; б) ; в) ; г) .

14.14 Доказать формулы

;

14.15 Найти:

a) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

§3. Условия Коши-Римана.

В задачах 14.16-14.22 найти по заданной действительной или мнимой части аналитическую функцию . 14.16 , .

14.17 , .

14.18 , .

14.19 , .

14.20 , .

14.21 .

14.22 .

14.23 Существует ли аналитическая функция, для которой

а) ; б) ; в) ; г) .

14.24 Доказать, что для аналитической функции справедливо равенство: .

§4. Конформные отображения.

14.25 Найти коэффициенты растяжения и угол поворота отображений в заданных точках :

а) , , ; б) , .

14.26 Определить области сжатия и растяжения

а) ; б) ; в) .

14.27 Найти области, для которых коэффициент растяжения : а) ; б) ; в) .

14.28 Найти области, для которых угол поворота :

а) ; б) .

14.29 Проверить конформность отображений указанных областей: а) , ;

б) , ; в) , ;

г) ; .

14.30 Повернуть круг на и увеличить его радиус вдвое.

14.31 Перевести круг на круг .

14.32 Отобразить область на верхнюю полуплоскость с соответствием бесконечно удаленных точек .

14.33 Отобразить плоскость с разрезами ; на верхнюю полуплоскость.

14.34 Отобразить верхнюю полуплоскость на себя с соответствием точек: ; ;.

14.35 Найти ширину полосы, в которую переходит круг при отображении .

14.36 Найти отображение круга на полуплоскость с соответствием точек: ; ; .

14.37 Найти образы линий при отображении

а) ; б) ; в) .

14.38 Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезом на верхнюю полуплоскость.

14.39 Найти образы областей D при заданном отображении :

а);; б);;

в);; г);.

14.40 Отобразить заданную область на верхнюю полуплоскость:

а) ; б) ;

в) ; г) .

14.41 Пусть - комплексный потенциал течения жидкости. Найти эквипотенциальные линии (, линии тока ( и скорость , течения:

а) ; б) .

14.42Найти комплексный потенциал безграничного потока жидкости со скоростью на бесконечности, если в него поместить:

а) источник мощности ; б) вихрь интенсивности Г.

14.43 В задаче 14.42 найти критические точки () и линии раздела течений.

§5. Ряды Лорана, изолированные особые точки, вычеты и их применение.

В задачах 14.44-14.49 найти область сходимости и суммы следующих рядов:

14.44 14.45

14.46 14.47

14.48 14.49

В задачах 14.50-14.53 найти разложения в ряды Лорана на всей плоскости по степеням и определить области сходимости:

14.50 , 14.51 ,

14.52, 14.53 ,

В задачах 14.54-14.59 найти конечные особые точки, выяснить их характер и исследовать поведение на бесконечности:

14.54 14.55 14.56

14.57 14.58 14.59