Прямая и плоскость

В этой теме решаются смешанные задачи геометрии в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Если обозначить угол между прямой и плоскостью , а угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой, очевидно, имеет место связь.

Имея уравнение плоскости и прямой, получаем, откуда следует формула для угла между прямой и плоскостью

.

Отсюда следует условие параллельности прямой и плоскости

,

и условие их перпендикулярности

.

Пересечение прямой с плоскостью

Для решения этой задачи можно использовать общие уравнения прямой

и плоскости , тогда задача сводится к решению системы трех уравнений

.

Можно решить задачу проще, задав прямую параметрически. Имеем

и . Подставляемиз уравнения прямой в уравнение плоскости и получаем одно уравнение относительно параметра. Это уравнение может иметь единственное решение, тогда подставляя в уравнение прямой найденное значение параметра, определяем точку пересечения. Уравнение может не иметь решения, тогда прямая параллельна плоскости, наконец, уравнение может иметь бесчисленное множество решений, тогда прямая лежит в плоскости.

Примеры.

1. Определить общие точки прямой и плоскости

а) ,.

Приведем уравнение прямой к параметрическому виду

откуда следует . Подставляем эти соотношения в уравнение плоскости. Тогда,, и точка пересечения имеет координаты.

Ответ .

в) ,.

Решение. , откуда следует

или . Уравнение не имеет решения. Проверим условие параллельности прямой с плоскостью.

Действительно, прямая параллельна плоскости, следовательно, не имеет с ней общих точек.

с) ,.

Решение.

,

откуда следует , и уравнение имеет решение при любых. Прямая лежит в плоскости.

2. Определить угол между прямыми. Пусть прямые заданы следующими уравнениями ,. Направляющий вектор второй прямой. Направляющий вектор первой прямой определим следующим образом. Нормальные векторы обеих плоскостей, определяющих прямую, ортогональны своим плоскостям. Направляющий вектор прямой лежит как в одной, так и в другой плоскости, следовательно, он ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Очевидно, его можно определить как векторное произведение нормальных векторов, то есть

,

или , поскольку длина направляющего вектора в этом случае несущественна.

Угол между прямыми определяется по формуле

.

Примеры для самоподготовки.

1. Через точу провести прямую, перпендикулярную плоскости.

2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой.

3. Записать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и.

Поверхности второго порядка

В данном параграфе приводятся канонические уравнения наиболее часто встречающихся поверхностей.

Сфера

Общее уравнение сферы радиуса с центром в точкеимеет вид.

Каноническое уравнение .

Рисунок 20.

Эллипсоид

Его каноническое уравнение .

Рисунок 21.

Цилиндр

Круговой цилиндр с образующими, параллельными оси , соответствует уравнению. Если направляющей цилиндра является эллипс, его уравнение.

Рисунок 22.

Цилиндр с образующими, параллельными оси , имеет уравнение, цилиндр с осью вращениясоответствует уравнению.

Конус

Каноническое уравнение кругового конуса с осью вращения имеет вид. Когда направляющей конуса является эллипс, его уравнение.

Рисунок 23.

Если центральная ось конуса – ось , его уравнение, если, то.

Параболоиды

Каноническое уравнение кругового параболоида с осью симметрии имеет вид, эллиптический параболоид.

Рисунок 24.

Аналогично записываются уравнения параболоидов с осями и.

Уравнения гиперболических параболоидов следующие , а такжеи

Рисунок 25.

Гиперболоиды

Однополостный

Уравнение кругового гиперболоида с осью симметрии имеет вид, эллиптического

Рисунок 26.

Однополостный гиперболоид имеет центральную ось, гиперболоидимеет центральную ось.

Двухполостные гиперболоиды имеют уравнения ,,.

Рисунок 27.