ангем)2 часть.игудесман

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Игудесман К.Б.

ЗАДАЧИ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЧАСТЬ 2.

Учебное пособие к курсу ¾Аналитическая геометрия¿

Казань 2007

Предисловие

Âнастоящем "Пособии"подобраны и методически распределены задачи по аналитической геометрии.

Âначале каждого параграфа приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения последующих задач.

Âконце каждого параграфа приведены (после черты) задачи для повторения. Эта особенность поможет преподавателю в подборе задач для работы в классе и для домашних заданий или для повторений перед контрольными работами.

3

1 Векторное и смешанное произведения векторов

(èëè a£b) вектора a на вектор b (â

случае, если векторы a è b не коллинеарны) называется вектор, модуль которого равен площади параллелограмма, сторонами которого являются векторы a è b, отложенные от одной и той же точки, ортогональный векторам a è b, и направленный так, что упорядоченная

тройка векторов a, b, [a; b] одинаково ориентирована с тройкой век-

торов i, j, k некоторого ортонормированного базиса. Если векторы a è b коллинеарны, то [a; b] = 0 по определению.

Свойства вектороного произведения:

1. [a; b] = ¡[b; a]. 2. [(¸a); b] = ¸[a; b].

3. [a + b; c] = [a; c] + [b; c]. 4. [a; [b; c]] = b(ac) ¡ c(ab). 5. [[a; b]; c] = b(ac) ¡ a(bc).

6. [a; b] [c; d] = (ac)(bd) ¡ (ad)(bc).

Если в ортонормированном базисе a = fX; Y; Zg; b = fX0; Y 0; Z0g,

a, b, c называется число, абсолютная величина которого равна объему параллепипеда, ребрами которого являются эти векторы, отложенные от одной и той же точки; это число положительное, если упорядоченная тройка a, b, c одинаково ориентирована с ортонормированным

4

базисом i, j, k , и отрицательное в противном случае. Если векторы a, b, c компланарны, то (a; b; c) = 0 по определению.

Свойства смешанного произведения:

1. (a; b; c) = a[b; c] = [a; b]c.

2. (a; b; c) = (c; a; b) = (b; c; a) = ¡(b; a; c) = ¡(c; b; a) = ¡(a; c; b).

Если в ортонормированном базисе a = fX; Y; Zg, b = fX0; Y 0; Z0g,

ЗАДАЧИ

2. Показать, что если три вектора a, b, c не коллинеарны, то из равенств [a; b] = [b; c] = [c; a] вытекает соотношение a + b + c = 0, и

обратно.

3. Из одной точки проведены три некомпланарных вектора a, b, c. Показать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов,

перпендикулярна к вектору [a; b] + [b; c] + [c; a].

4. Найти векторное произведение [a; b] в каждом из нижеследующих случаев:

3)a = f¡2; 6; ¡4g; b = f3; ¡9; 6g:

5.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векто-

ðàõ a = f8; 4; 1g; b = f2; ¡2; 1g.

5

ными, если векторы этих троек связаны соотношениями:

(

Пользуясь операциями скалярного векторного умножения, найти векторы b1; b2; b3 тройки, взаимной тройке векторов a1; a2; a3.

9.Вычислить объем параллепипеда, построенного на векторах:

1)a = p ¡ 3q + r; b = 2p + q ¡ 3r è c = p + 2q + r, ãäå p, q, è r

взаимно перпендикулярные орты;

2) a = 3m + 5n; b = m ¡ 2n; c = 2m + 7n, ãäå jmj = 1; jnj = 3; (mnd) = 135±.

10.Показать, что [a; b]2 + (ab)2 = a2b2.

11.Показать, что [a; (b + ¸a)] = [(a + ¹b); b] = [a; b].

12.Показать, что если [a; b] + [b; c] + [c; a] = 0, то векторы a, b è

cкомпланарны.

13.Показать, что если векторы [a; b]; [b; c]; [c; a] компланарны,

то они коллинеарны.

14.При каких условиях [[a; b]; c] = [a; [b; c]]?

15.Даны три некомпланарных вектора a, b è c. Найти вектор x, удовлетворяющий системе уравнений

ax = ®; bx = ¯; cx = °:

16. Для тройки векторов a1 = f2; 1; ¡1g; a2 = f¡3; 0; 2g; a3 = f5; 1; ¡2g найти взаимную тройку.

6

2 Плоскость в аффинной системе координат

Всякая плоскость относительно аффинной системы координат определяется уравнением первой степени относительно координат x; y; z,

т.е. уравнением вида

Ax + By + Cz + D = 0 ;

ãäå A; B; C не равны нулю одновременно. Обратно, всякое такое урав-

нение определяет плоскость. Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

Если плоскость задана своим общим уравнением

Ax + By + Cz + D = 0 ;

то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от нее,

Ax + By + Cz + D > 0 ;

а для координат всех точек, лежащих по другую сторону,

Ax + By + Cz + D < 0 :

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0; y0; z0) параллельно двум неколлинеарным векторам a = fl; m; ng è b = fl0; m0; n0g,

7

Здесь u è v общие декартовы координаты точки M плоскости относительно системы координат с началом в точке M0 и базисными векторами a è b.

Уравнение плоскости в отрезках таково:

xa + yb + zc = 1 ;

ãäå a; b; c отрезки, отсекаемые плоскостью соответственно на осях

Ox; Oy; Oz.

Собственным пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну прямую. Если

Ax + By + Cz + D = 0 ; A0x + B0y + C0z + D0 = 0

две пересекающиеся плоскости, то уравнение

®(Ax + By + Cz + D) + ¯(A0x + B0y + C0z + D0) = 0 ;

ãäå ® è ¯ не равны нулю одновременно, определяет плоскость пучка,

заданного двумя начальными плоскостями. Обратно, любая плоскость этого пучка может быть определена таким уравнением.

Несобственным пучком плоскостей называется множество всех плоскостей параллельных данной плоскости. Уравнение

Ax + By + Cz + ° = 0 ;

ãäå ° произвольно, определяет плоскость пучка, заданного начальной плоскостью Ax + By + Cz + D = 0. Обратно, любая плоскость этого пучка может быть определена таким уравнением.

ЗАДАЧИ

17.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки:

1)M1(2; 3; 1); M2(3; 1; 4); M3(2; 1; 5);

2)M1(2; 0; ¡1); M2(¡2; 4; 1); M3(0; 2; ¡1).

8

18.Составить уравнения плоскостей, проходящих через оси координат и параллельных вектору f2; 1; ¡4g.

19.Даны вершины тетраэдра A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4),

D(4; 0; 6). Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро AB параллельно ребру CD.

20.Составить параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку (2; 3; ¡5) и параллельной векторам f¡5; 6; 4g è f4; ¡2; 0g.

21.В плоскости, проходящей через три точки A(2; 1; 3), B(2; 4; 0),

C(¡3; 0; 4), выбрана аффинная система координат с началом в точке

1)пространственные координаты точки M, имеющей в плоскостной системе координаты u = 5; v = 3;

2)плоскостные координаты u è v точки пересечения данной плоскости

ñîñüþ Oz.

22.Написать общее уравнение плоскости по ее параметрическим уравнениям в каждом из следующих случаев:

1)x = 2 + 3u ¡ 4v; y = 4 ¡ v; z = 2 + 3u;

2)x = u + v; y = u ¡ v; z = 5 + 6u ¡ 4v:

23. Определить положение точек A(¡3; 3; 5), B(0; ¡7; ¡4), C(6; 5; 1), D(¡3; ¡5; 2), E(4; ¡7; 10), F (2; 6; 1) относительно плоскости 2x¡3y +

6z ¡ 1 = 0.

24. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через линию пересечения плоскостей

2x + 5y ¡ 6z + 4 = 0; 3y + 2z + 6 = 0:

25. Через линию пересечения плоскостей

6x ¡ y + z = 0; 5 + 3z ¡ 10 = 0

провести плоскость, параллельную оси Ox.

9

26. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения трех плоскостей

x ¡ y = 0; x + y ¡ 2z = 1 = 0; 2x + z ¡ 4 = 0 è

1)проходящей через ось Oy;

2)параллельной плоскости Oxz;

3)проходящей через начало координат и точку (2; 1; 7).

27.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (3; 7; 2)

èпараллельной векторам f4; 1; 2g è f5; 3; 1g.

28.Даны вершины тетраэдра A(2; 1; 0), B(1; 3; 5), C(6; 3; 4), D(0; ¡7; 8). Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро

AB и через середину ребра CD.

29. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки (1; 7; 8); (2; ¡6; ¡6) и параллельной оси Oz.

30. В плоскости 2x + 3y ¡ 4z + 12 = 0 выбрана аффинная система координат, начало которой находится в точке C пересечения этой плоскости с осью Oz, а концы единичных векторов e1 è e2 соответ- ственно в точках A è B пересечения плоскости с осями Ox è Oy.

1)Найти пространственные координаты точки E, имеющей в плоскостной системе координаты u = 1; v = 1.

2)Написать в плоскостной системе координат уравнения прямых AB; BC

è CA.

3) Написать в плоскостной системе уравнение линии пересечения данной плоскости с плоскостью 5x + 3z ¡ 8 = 0.

31. Даны уравнения трех граней параллепипеда 2x+3y+4z¡12 = 0, x + 3y ¡ 6 = 0, z + 5 = 0, и одна из его вершин (6; ¡5; 1). Составить

уравнениях трех других граней параллепипеда.

32. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (¡3; 1; 0)

10