Ангем

kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet

iGUDESMAN k.b.

zada~i po analiti~eskoj geometrii. ~astx 1.

u^EBNOE POSOBIE K KURSU aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ

kAZANX | 2003

pREDISLOWIE

w NASTOQ]EM "pOSOBII" PODOBRANY I METODI^ESKI RASPREDELENY ZADA^I PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII.

w NA^ALE KAVDOGO PARAGRAFA PRIWEDENY FORMULY, OPREDELENIQ I DRUGIE KRATKIE POQSNENIQ TEORII, NEOBHODIMYE DLQ RE[ENIQ POSLE- DU@]IH ZADA^.

w KONCE KAVDOGO PARAGRAFA PRIWEDENY (POSLE ^ERTY) ZADA^I DLQ POWTORENIQ. |TA OSOBENNOSTX POMOVET PREPODAWATEL@ W PODBORE ZA- DA^ DLQ RABOTY W KLASSE I DLQ DOMA[NIH ZADANIJ ILI DLQ POWTORE- NIJ PERED KONTROLXNYMI RABOTAMI.

3

1wEKTORY NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE

wEKTOROM NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNAQ PARA TO^EK, T. E. PARA TO^EK, WZQTYH W OPREDELENNOM PORQDKE. pERWAQ TO^KA NAZYWAETSQ NA^ALOM WEKTORA, WTORAQ EGO KONCOM. eSLI OBE TO^KI SOWPADA@T, TO WEKTOR NAZYWAETSQ NULEWYM.

mODULEM WEKTORA ;!AB NE RAWNOGO NUL@, NAZYWAETSQ DLINA OTREZKA AB. mODULX NULX-WEKTORA RAWEN NUL@ PO OPREDELENI@. eSLI MODULX WEKTORA RAWEN 1, TO WEKTOR NAZYWAETSQ EDINI^NYM.

dWA NENULEWYH WEKTORA ;!AB I ;;!C D NAZYWA@TSQ RAWNYMI, ESLI ONI KOLLINEARNY, NAPRAWLENY W ODNU STORONU I IH MODULI RAWNY.

sUMMOJ a+ b WEKTOROW a I b NAZYWAETSQ WEKTOR, KOTORYJ STROIT- SQ TAK: OT PROIZWOLXNOJ TO^KI O OTKLADYWA@T WEKTOR a, OT KONCA OTLOVENNOGO WEKTORA a OTKLADYWA@T WEKTOR b. tO^KA O BUDET NA- ^ALOM WEKTORA a + b, A KONEC WEKTORA b KONCOM WEKTORA a + b.

wEKTOROM ;a, PROTIWOPOLOVNYM WEKTORU a 6= 0, NAZYWAETSQ WEK- TOR, KOLLINEARNYJ WEKTORU a, IME@]IJ TOT VE MODULX I NAPRAW- LENNYJ W STORONU, PROTIWOPOLOVNU@ a. eSLI a = 0, TO

sWOJSTWA SLOVENIQ:

a + (b + c) = (a + b) + c (ASSOCIATIWNOSTX)

a + 0 = a

a + (;a) = 0

a + b = b + a (KOMMUTATIWNOSTX).

pROIZWEDENIEM a ^ISLA 6= 0 NA WEKTOR a 6= 0 NAZYWAETSQ WEK-

TOR, KOLLINEARNYJ WEKTORU a, MODULX KOTOROGO RAWEN j j jaj I KO- TORYJ NAPRAWLEN W TU VE STORONU, ^TO I WEKTOR a, ESLI > 0, I W PROTIWOPOLOVNU@ STORONU, ESLI < 0. eSLI = 0 ILI a = 0, TO

a = 0.

4

sWOJSTWA UMNOVENIQ WEKTORA NA ^ISLO:

1 a = a( a) = ( )a

(a + b) = a + b ( + )a = a + a:

zada~i

1. wEKTORY ;!AC = a I ;;!BD = b SLUVAT DIAGONALQMI PARALLELO- GRAMMA ABCD. wYRAZITX ^EREZ WEKTORY a I b WEKTORY ;!AB ;!BC ;;!C D I ;!DA, QWLQ@]IESQ STORONAMI \TOGO PARALLELOGRAMMA.

2. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENA MEDIANA AD. wYRAZITX WEKTOR ;!AD ^EREZ WEKTORY ;!AB I ;!AC.

3. tO^KI E I P SLUVAT SEREDINAMI STORON AB I CD ^ETYREH-

UGOLXNIKA ABCD. dOKAZATX, ^TO ;!EP = ;;!B C+;;!AD : wYWESTI OTS@DA

2

TEOREMU O SREDNEJ LINII TRAPECII.

4.dOKAZATX, ^TO SUMMA WEKTOROW, IDU]IH IZ CENTRA PRAWILXNOGO MNOGOUGOLXNIKA K EGO WER[INAM, RAWNA 0.

5.w TREUGOLXNIKE NAJTI TAKU@ TO^KU, ^TOBY SUMMA WEKTOROW, IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WER[INAM TREUGOLXNIKA, BYLA RAWNA 0.

6.iZ TO^KI O WYHODQT DWA WEKTORA ;!OA = a ;!OB = b. nAJTI KAKOJ-NIBUDX WEKTOR ;;!OM, IDU]IJ PO BISSEKTRISE UGLA AOB.

7.nA TREH NEKOMPLANARNYH WEKTORAH

;!AB = p ;!AD = q ;;!AA0 = r

POSTROEN PARALLELEPIPED ABCDA0B0C0D0. wYRAZITX ^EREZ p q I r WEKTORY, SOWPADA@]IE S REBRAMI, DIAGONALX@ PARALLELEPIPEDA I DIAGONALQMI GRANEJ \TOGO PARALLELEPIPEDA, DLQ KOTORYH WER[INA

A0 SLUVIT NA^ALOM.

8. dAN TETRA\DR OABC. pOLAGAQ ;!OA = a ;!OB = b ;!OC = c WYRAZITX ^EREZ a b I c WEKTORY ;;!M N ;!P Q I ;!RS, GDE M P

5

I R | SEREDINY REBER OA OB I OC, A N Q I S | SEREDINY SOOTWETSTWENNO PROTIWOPOLOVNYH REBER.

||||||||||||||{

9. tO^KI K I L SLUVAT SEREDINAMI STORON BC I CD PARALLELO-

GRAMMA ABCD. pOLAGAQ ;;!AK = k I ;!AL = l, WYRAZITX ^EREZ WEKTORY k I l WEKTORY ;!BC I ;;!C D.

10.w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENY MEDIANY AD BE I CF . nAJTI SUMMU WEKTOROW ;!AD + ;!BE + ;!C F.

11.wEKTORY ;!AB = p I ;!AF = q SLUVAT DWUMQ SMEVNYMI STO-

RONAMI PRAWILXNOGO [ESTIUGOLXNIKA ABCDEF . wYRAZITX ^EREZ p I q WEKTORY ;!BC ;;!C D ;;!DE ;!EF IDU]IE PO STORONAM \TOGO [ESTI-

UGOLXNIKA.

12.dOKAZATX, ^TO WEKTOR, IDU]IJ IZ PROIZWOLXNOJ TO^KI PLOS- KOSTI W CENTR PRAWILXNOGO MNOGOUGOLXNIKA, ESTX SREDNEE ARIFMETI- ^ESKOE WEKTOROW, IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WER[INAM MNOGOUGOLXNIKA.

13.w PARALLELOGRAMME NAJTI TAKU@ TO^KU, ^TOBY SUMMA WEK- TOROW, IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WER[INAM PARALLELOGRAMMA, BYLA RAWNA 0.

14.w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENA BISSEKTRISA AD UGLA A. wYRAZITX WEKTOR ;!AD ^EREZ WEKTORY ;!AB I ;!AC.

15.w TETRA\DRE ABCD DANY REBRA, WYHODQ]IE IZ WER[INY A:

;!AB = b ;!AC = c ;!AD = d:

wYRAZITX ^EREZ \TI WEKTORY OSTALXNYE REBRA TETRA\DRA, MEDIANU ;;!DM GRANI BCD I WEKTOR ;!AQ, GDE Q | CENTR TQVESTI GRANI BCD.

16.w ^ETYREHUGOLXNIKE ABCD (PLOSKOM ILI PROSTRANSTWEN- NOM) POLOVIM ;!AB = m ;!BC = n ;;!C D = p ;!DA = q: nAJTI WEKTOR ;!EF, SOEDINQ@]IJ SEREDINY DIAGONALEJ AC I BD.

17.nA WEKTORAH ;!OA, ;!OB I ;!OC POSTROEN PARALLELEPIPED. dOKA-

ZATX, ^TO DIAGONALX OD PROHODIT ^EREZ CENTR TQVESTI E TREUGOLX-

6

NIKA ABC.

2rADIUS-WEKTOR

rADIUSOM WEKTOROM r TO^KI M NAZYWAETSQ WEKTOR ;;!OM, GDE O | FIKSIROWANNAQ TO^KA.

zada~i

18.dANY RADIUSY-WEKTORY r1 r2 r3 TREH POSLEDOWATELXNYH WER[IN A B I C PARALLELOGRAMMA. nAJTI RADIUS-WEKTOR ^ETWERTOJ WER[INY D.

19.zNAQ RADIUSY-WEKTORY r1 r2 r3 WER[IN TREUGOLXNIKA, NAJTI RADIUS-WEKTOR TO^KI PERESE^ENIQ EGO MEDIAN.

20.dANY TRI POSLEDOWATELXNYE WER[INY TRAPECII A(r1) B(r2) I C(r3). nAJTI RADIUSY-WEKTORY: r4 ^ETWERTOJ WER[INY D, r0 TO^- KI PERESE^ENIQ DIAGONALEJ I r00 TO^KI PERESE^ENIQ BOKOWYH STORON, ZNAQ, ^TO OSNOWANIE AD W RAZ BOLX[E OSNOWANIQ BC.

21.dOKAZATX, ^TO PRQMYE, SOEDINQ@]IE SEREDINY PROTIWOPO- LOVNYH REBER TETRA\DRA, PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE I DELQTSQ W NEJ POPOLAM. dOKAZATX, ^TO W \TOJ VE TO^KE PERESEKA@TSQ I PRQMYE, SOEDINQ@]IE WER[INY TETRA\DRA S CENTRAMI TQVESTI PROTIWOPO- LOVNYH GRANEJ.

||||||||||||||{

22.zNAQ RADIUSY-WEKTORY r1 r2 r3 TREH POSLEDOWATELXNYH WER- [IN PARALLELOGRAMMA, NAJTI RADIUS-WEKTOR r TO^KI PERESE^ENIQ DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA.

23.zNAQ RADIUSY-WEKTORY rA rB rD I rA0 ^ETYREH WER[IN PARALLELEPIPEDA ABCDA0B0C0D0, NAJTI RADIUSY-WEKTORY ^ETYREH OSTALXNYH EGO WER[IN.

24.rADIUSY-WEKTORY ;!OA = r1 ;!OB = r2 I ;!OC = r3 SLUVAT

7

REBRAMI PARALLELEPIPEDA. nAJTI RADIUS-WEKTOR TO^KI PERESE^ENIQ DIAGONALI PARALLELEPIPEDA, WYHODQ]EJ IZ WER[INY O, S PLOSKOS- TX@, PROHODQ]EJ ^EREZ WER[INY A B I C.

3kOORDINATY WEKTOROW

lINEJNOJ KOMBINACIEJ WEKTOROW a1 a2 : : : ak S KO\FFICIENTAMI

1 2 : : : k NAZYWAETSQ WEKTOR

1 a1 + 2 a2 + : : : + k ak:

lINEJNAQ KOMBINACIQ, WSE KO\FFICIENTY KOTOROJ RAWNY NUL@: 1 =2 = : : : = k = 0, NAZYWAETSQ

wEKTORY NAZYWA@TSQ LINEJNO ZAWISIMYMI, ESLI SU]ESTWUET NETRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ \TIH WEKTOROW RAW- NAQ NUL@:

1a1 + 2a2 + : : : + k ak = 0:

eSLI VE RAWNA NUL@ TOLXKO TRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ WEK- TOROW a1 a2 : : : ak, \TI WEKTORY NAZYWA@TSQ LINEJNO NEZAWISIMY

MI.

uPORQDO^ENNAQ PARA e1 e2 NEKOLLINEARNYH WEKTOROW NAZYWAETSQ

BAZISOM NA PLOSKOSTI.

kOORDINATAMI WEKTORA a PO OTNO[ENI@ K BAZISU e1 e2 NAZY-

WA@TSQ ^ISLA X Y , TAKIE, ^TO a = X e1 + Y e2:

dWA WEKTORA a = fX Y g b = fX0 Y 0g RAWNY TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA RAWNY IH SOOTWETSTWU@]IE KOORDINATY: X = X0 Y =

Y 0:

nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM KOLLINEARNOSTI DWUH WEK-

8

eSLI a = fX Y g b = fX0 Y 0g, TO

a + b = fX + X0 Y + Y 0g a ; b = fX ; X0 Y ; Y 0ga = f X Y g:

uPORQDO^ENNAQ TROJKA e1 e2 e3 NEKOMPLANARNYH WEKTOROW NAZY-

WAETSQ BAZISOM W PROSTRANSTWE.

rAWENSTWO, KOLLINEARNOSTX, PROIZWEDENIE WEKTORA NA ^ISLO, SUM- MA WEKTOROW W PROSTRANSTWE OPREDELQ@TSQ ANALOGI^NO PLOSKOSTI, S TOJ LI[X RAZNICEJ, ^TO W PROSTRANSTWE WEKTOR IMEET NE DWE, A TRI KOORDINATY a = fX Y Zg.

nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM KOMPLANARNOSTI TREH WEK-

zada~i

25.dANY TRI WEKTORA a = f2 4g b = f;3 1g c = f5 ;2g: nAJTI WEKTORY 1) 2a + 3b ; 5c 2) a + 24b + 14c.

26.pREDSTAWITX WEKTOR c KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTOROW a

I b W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW:

9

1) a = f4 ;2g b = f3 5g c = f1 ;7g

2)a = f5 4g b = f;3 0g c = f19 8g

3)a = f;6 2g b = f4 7g c = f9 ;3g:

27.uSTANOWITX, W KAKIH IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW TROJKI WEK- TOROW a b I c BUDUT LINEJNO ZAWISIMY, I W TOM SLU^AE, KOGDA \TO WOZMOVNO, PREDSTAWITX WEKTOR c KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTO- ROW a I b:

TREUGOLXNIK, ESLI NA^ALO WEKTORA b SOWMESTITX S KONCOM WEKTORA a, A NA^ALO WEKTORA c S KONCOM WEKTORA b.

30. dANY TRI WEKTORA a = f5 7 2g b = f3 0 4g c =

f;6 1 ;1g: nAJTI WEKTORY 1) 3a ; 2b + c 2) 5a + 6b + 4c.

31. pREDSTAWITX WEKTOR d KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTOROW a b I c W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW:

10