Прямая и обратная задача головной преломленной волны для двухслойной среды с плоской наклонной границей раздела.

1. Образование головной преломленной волны. При критическом угле паде­ния α = i, когда угол преломления β равен 90^о, вдоль границы начнет сколь­зить преломленная волна, которая возникает при V₂ > V₁, так как sin(i) = V₁/V₂ < 1.

При падении прямой сферической волны под критическим углом i в точке R образуются две волны: одна отраженная, движущаяся по лучу RS cо скоростью V₁, и вторая, скользящая вдоль границы раздела со скоростью V_г (V_г, как правило, равно V₂). Чтобы показать, как эта скользящая преломлен­ная волна выходит на линию наблюдений (ось х), воспользуемся принципом Гюйгенса.

Природа образования сейсмических волн: 1, 2 - фронт и луч прямой волны; 3, 4 - фронт и луч отраженной волны; 5, 6 - фронт и луч преломленной проходящей волны; 7, 8 - фронт и луч головной преломленной волны

Согласно принципу Гюйгенса, любая точка фронта волны является источником колебаний. В частности, из точки R начнет распространяться фронт отраженной волны со скоростью V₁, который через время t₁ после начала отражения достигнет точки S₁. За это же время в среде V₂ фронт проходящей преломленной волны, перпендикулярный границе раздела, достигнет точки F₁. Соответственно за время t₂ фронты этих волн достигнут точек S₂ и F₂, за время t₃ – S₃ и F₃ и так далее. Поскольку V₂ > V₁, прелом­ленная волна распространяется быстрее отраженной.

Фронт проходящей преломленной волны, скользя вдоль границы разде­ла, возбуждает в верхнем слое колебания, которые и вызывают появление так называемой головной преломленной волны. В точке S, где возникает голов­ная волна, фронты отраженной и головной волн выйдут на поверхность одно­временно, а далее отраженная волна, поскольку она имеет меньшую ско­рость, начнет отставать от головной.

Фронты головной преломленной волны будут плоскостями, наклонен­ными под углом i к границе раздела, а лучи, перпендикулярные фронту, будут наклонены под постоянным углом е к поверхности наблюдений. Фронт головной волны будет скользить вдоль линии наблюдений с кажущейся скоростью V_k = Δx/Δt. Из треугольника SBK легко получить выражение для кажущейся скорости (закон кажущихся скоростей, закон Бенндорфа). В самом деле, ΔS = V₂Δt =Δxcos(e), отсюда V_k = V₁/cos(e), т.е. для данной среды V_k = const. Т.к. угол е равен i – φ (как углы со взаимноперпендикулярными сторонами), то V_k = V₁/sin(i±φ), где знак плюс взят по падению пласта, а знак минус - по восстанию пласта.

2. Уравнение годографа преломленной волны.

Пусть под однородной покрываю­щей средой со скоростью распро­странения упругих волн V1 рас­положена плоская граница второго слоя с V2 > V1. Требуется получить уравнение годографа головной пре­ло­мленной волны, т.е. установить зависимость времени прихода вол­ны (t) от расстояния (x), скорости распространения упругих волн (V1 и V2), глубины залегания (H) и угла нак­лона (φ) преломляющей границы.

Первой точкой профиля наблюдений, в которой начинает регистриро­ваться преломленная волна, является точка S (x_н, t_н), называемая начальной точкой головной волны. Так как все лучи головной преломленной волны параллельны, то углы е и V_k = Δx/Δt постоянны, а это значит, что линейный годограф преломленной волны имеет постоянный наклон к оси x. Наклон к оси х остается постоянным лишь у прямой линии. Таким образом, годограф головной преломленной волны над плоской границей является прямой лини­ей, начинающейся в точке S’ с координатами (x_н, t_н) и накло­ненной к оси x под углом tg(α) = Δt/Δx = 1/V_k.

Отсюда можно получить уравнение годографа преломленной волны. По восстанию пласта Δt/Δx = (t-t_н)/(x-x_н) = 1/V_kв, где t и x - координаты любой точки годографа. Очевидно, для получения уравнения необходимо опре­де­лить t_н и x_н.

Возьмем мнимый пункт взрыва O’ и опустим перпендикуляры на О'S и ось x. Из треугольника OKS x_н = OK / sin(e), из треугольника OO'K OK = 2Hsin(i). Учитывая, что e_в = 90^o – (i – φ), получим , . Из треугольников О'AS и OO'A можно получить O’S = O’A/cos(i - φ) и O’A = 2Hcos(φ). Откуда t_нв = 2Hcos(φ)/V₁cos(i – φ). Для точек по падению границы x_нп = 2Hsin(i)/cos( i+ φ), t_нп = 2Hcos(φ)/V₁cos(i + φ).

Учитывая, что V_кв = V₁/sin(i – φ), получаем уравнение годографа преломленной волны:

Знак "-" берется для годографа по восстанию границы (здесь волна приходит быстрее), знак "+" берется для годографа по падению границы от пункта взрыва. Из уравнений годографов видно, что при х = 0, t₀ = 2Hcos(i)/V₁, где t₀ - время на пункте взрыва.

Для горизонтальной преломляющей границы (φ = 0) t = [xsin(i)+2Hcos(i)]/V₁.

Выражение для годографа преломленной волны можно записать в таком виде: t = t₀ + xsin(i + φ)/V₁ = t₀ + x/V_k.

При φ >i V_кв <0, что означает приход волны сначала к удаленным, а затем к близким к пункту взрыва точкам наблюдения. При i + φ > 90^o, V_кп <0 и t_нп < 0, что соответствует случаю, когда головная преломленная волна не сможет выйти на поверхность и работы методом МПВ невозможны. Поэтому этот метод может применяться для изучения не очень крутых структур, т.е. при углах падения, меньших 45.

Преломленная волна на удалении x > x_н от пункта взрыва всегда приходит раньше отраженной и прямой волн и ее удобно регистрировать в области первых вступлений.

Годограф волны, преломленной на плоской границе двух сред, прямо­линеен. Однако, если преломляющая граница криволинейна, то и годограф приобретает криволинейную форму. Это объясняется тем, что угол выхода сейсмической радиации е = 90о – (i   ) и кажущаяся скорость Vk = V1/sin(i   ) меняется при изменении угла наклона границы () по профилю наблю­де­ний, что приводит к изменению угла наклона годографа.

3. Обратная задача метода преломленных волн. Обратная задача метода преломленных волн (МПВ) над наклонной границей двух сред сводится к определению скоростей в верхнем (V₁) и нижнем (V₂ = V_г) слоях и геометрических параметров разреза (Н, , i). Ее решают различными способами, основанными на анализе уравнения годографа. Как показывает практика интерпретации МПВ, наиболее надежно решить обратную задачу можно, имея встречные годографы (Г1 и Г2), которые получаются из двух точек взрыва О1 и О2, находящихся на концах изучаемого профиля (рис. 4.8).

Определение граничной скорости с помощью разностного годографа и построение преломляющей границы способом t₀.

А. Определение граничной скорости по разностному годографу. Имея два встречных годографа, можно построить разностный годограф: (x) = t₁(x) –t₂(x) + T, где t₁(x) и t₂(x) - время прихода головной преломленной волны в точку х по первому и второму (встречному) годографу, T - время во взаимных точках, т.е. время прихода волны из О₁ в О₂ или из О₂ в О₁. Путь головной волны из пункта взрыва О₁ в точку О₂ и, наоборот, из пункта взрыва О₂ в точку О₁ одинаков, а значит, время во взаимных точках по встречным годографам одинаково и постоянно для данного интервала О₁О₂.

Взяв производную от уравнения разностного годографа, получим d/dx = dt₁/dt – dt₂/dx, где d/dx = /x - угловой коэффициент разностного годографа, равный обратной скорости, т.е. dt₁/dx = t₁/x = 1/V_кв и dt₂/dx = t₂/x = 1/V_кп. Отсюда /x = 1/V_кв + 1/V_кп = [sin(i+) + sin(i-)]/V₁ = 2cos()/V₁.

Таким образом, граничная скорость может быть определена по наклону разностного годографа V_г = 2cos()x/. При углах наклона, меньших 10 – 15^o, V_г  2x/.

Б. Определение скорости в перекрывающем слое. Скорость упругих волн в перекрывающем слое (толще) может быть оценена по точкам пересечения годографов прямой и головных преломленных волн: V₁  V_ср  x_тп/t_тп , где x_тп и t_тп - координаты точек пересечения.

Однако более точно V_ср  V_эф получается по данным метода отраженных волн.

В. Построение преломляющей границы способом нулевого времени. Одним из простых и точных способов определения H,  и построения преломляющей границы является способ нулевого времени (t₀).

Для любой точки S, где имеются два встречных годографа можно найти некоторую функцию t₀ = t₁ + t₂ - T, которая равна времени на пункте взрыва t₀ = 2Hcos(i)/V₁. Практически применение способа t₀ сводится к следующему. Для любой точки х определяется величина t = T – t₂. От значения t₁по первому годографу измерителем откладывается t вверх (получаем точку разностного годографа  = t₁ + t = t₁ – t₂ +T) и вниз (получаем t₀ = t₁ - t = t₁ + t₂ - T). Сделав подобные построения в нескольких (3 - 5) точках оси х и соединив точки  и t₀, получаем разностный годограф (x) и линию t₀(x). По наклону разностного годографа находится граничная скорость V_г  x/ (при  < 15^o). Если угол  > 15^o, то ее можно определить по формуле, приведенной выше (V_г = 2cos()x/). Зная t₀ в каждой точке можно рассчитать эхо-глубину H.

Проведя из нескольких точек х дуги радиусами H и соединив их плавной касательной, получим искомую преломляющую криволинейную границу раздела. Для криволинейной границы не имеет смысла говорить об угле наклона , поскольку он разный в разных точках преломляющей границы.