Bilety_integraly (1) / 2_22

№22

Системы линейных ОДУ первого порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где a_ij(x) и b_i (x) — известные, а y_j (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n,   j = 1,2, … , n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.

 

При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим

Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что то же самое, в виде

Матрица A называется матрицей системы, а вектор–функция b(x) — неоднородностью системы.

Система   Y' = A(x)Y + b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а система   Y' = A(x)Y— однороднойлинейной системой.

 

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений.

Если A(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a, b] , то какова бы ни была начальная точка (x₀, Y₀) из R^{n + 1}, задача Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x₀) = Y₀,

имеет единственное на [a,b] решение Y = Y(x) .

 

Важно отметить, что для линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость задачи Коши глобальная: решение существует всюду, где непрерывны коэффициенты и неоднородность системы.

Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица

Вектор-функции x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) являются линейно зависимыми на интервале [a, b], если найдутся такие числа c₁, c₂, ..., c_n, одновременно не равные нулю, что выполняется тождество

Если указанное тождество выполняется лишь при условии

то вектор-функции x_i (t) называются линейно независимыми на заданном интервале.  Любая система n линейно независимых решений x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) называется фундаментальной системой решений.  Квадратная матрица Φ(t), столбцы которой образованы линейно независимыми решениямиx₁(t), x₂(t), ..., x_n(t), называется фундаментальной матрицей системы уравнений. Она имеет следующий вид:

где x_ij (t) − координаты линейно независимых векторных решений x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t).  Заметим, что фундаментальная матрица Φ(t) является невырожденной, т.е. для нее всегда существует обратная матрица Φ ⁻¹(t). Поскольку фундаментальная матрица содержит n линейно независимых решений, то при ее подстановке в однородную систему уравнений получаем тождество

Умножим это уравнение справа на обратную функцию Φ ⁻¹(t):

Полученное соотношение однозначно определяет однородную систему уравнений, если задана фундаментальная матрица.  Общее решение однородной системы выражается через фундаментальную матрицу в виде

где C − n-мерный вектор, состоящий из произвольных чисел.  Упомянем один интересный частный случай однородных систем. Оказывается, если произведение матрицыA(t) и интеграла от этой матрицы коммутативно, т.е.

то фундаментальная матрица Φ(t) для данной системы уравнений имеет вид

Такое свойство выполняется в случае симметрических матриц и, в частности, в случае диагональных матриц.

Определитель Вронского и формула Лиувилля-Остроградского

Определитель фундаментальной матрицы Φ(t) называется определителем Вронского или вронскианомсистемы решений x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t):

Определитель Вронского удобно использовать для проверки линейной независимости решений. Справедливы следующие правила:

• Решения x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) однородной системы уравнений являются фундаментальной системойтогда и только тогда, когда соответствующий вронскиан отличен от нуля в какой-нибудь точке tинтервала [a, b].

• Решения x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) являются линейно зависимыми на интервале [a, b] тогда и только тогда, когда вронскиан тождественно равен нулю на этом интервале.

Для определителя Вронского системы решений x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) справедлива формула Лиувилля-Остроградского:

где tr (A(τ)) − след матрицы A(τ), т.е. сумма всех диагональных элементов:

Формула Лиувилля-Остроградского может применяться для построения общего решения однородной системы, если известно одно частное решение этой системы.