Bilety_integraly (1) / 2_23

№23

Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем линейных ОДУ первого порядка.

Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

 Здесь

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой системы.

Если матрица A(x) неперерывна на [a, b], то общее решение системы Y' = A(x)Y имеет вид

Y(x) = Φ(x)·C ≡ C₁·Y₁(x) + C₂·Y₂(x) + ... + C_n· Y_n(x),

где Φ(x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы,   Y₁(x), Y₂(x), ..., Y_n(x) — столбцы этой фундаментальной матрицы решений, C— произвольный постоянный вектор-столбец.

Рассмотрим неоднородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

 Здесь

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой неоднородной линейной системы ОДУ.

Если матрица A(x) и вектор-функция b(x) неперерывны на [a, b], и пусть Φ(x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A(x)Y , то общее решение неоднородной системы Y' = A(x)Y + b(x) имеет вид:

где C — произвольный постоянный вектор-столбец, x₀ — произвольная фиксированная точка из отрезка [a, b].

Из приведенной формулы легко получить формулу решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ — формулу Коши.

Решением задачи Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x₀) = Y₀ является вектор-функция