Bilety_integraly (1) / 1_17

 Свойства несобственного интеграла

Определенный интеграл   называется несобственным интегралом,       •  если нижний предел интегрирования a или верхний предел b (или оба предела) являются бесконечными,       •  или если функция f(x) имеет точки разрыва в интервале [a, b].  Таким образом, несобственный интеграл − это интеграл по неограниченному множеству или от неограниченной функции.

Если f(x) − непрерывная функция на интервале [a, ∞), то несобственный интеграл выражается через предел в виде

Если f(x) − непрерывная функция на интервале [−∞, b), то несобственный интеграл определяется формулой

Примечание: несобственные интегралы в формулах 2,3 являются сходящимися, если верхний или нижний предел существуют и конечны. В противном случае несобственные интегралы являютсярасходящимися.

Несобственный интеграл с бесконечным нижним и верхним пределом. 

Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то несобственный интеграл   также сходится. В противном случаем он расходится.

1. Теоремы сравнения  Пусть f(x) и g(x) − непрерывные функции на интервале [a, ∞). Предположим, что 0 ≤ g(x) ≤ f(x) для всех x на интервале [a, ∞). Тогда справедливы следующие теоремы сравнения для несобственных интегралов от функций f(x) и g(x):       •  Если   сходится, то   также сходится.       •  Если   расходится, то   также расходится.

Абсолютная сходимость  Если   сходится, то несобственный интеграл   является абсолютно сходящимся.

2. Интеграл от разрывной функции (точка разрыва на границе интервала)  Пусть функция f(x) является непрерывной всюду на интервале [a, b), а в точке x = b терпит разрыв. Тогда справедлива следующая предельная формула:

Интеграл от разрывной функции (точка разрыва внутри интервала)  Пусть f(x) является непрерывной функцией для всех действительных чисел x в замкнутом интервале[a, b], исключая некоторую внутреннюю точку c ∈ (a, b). Тогда