3 семестр_1 / Семестр_3_Лекция_17

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Физика

Файл:

ния обыкновенного дифференциального уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

134.8 Кб

Скачать

☆

Семестр 3. Лекция 17

Лекция 17. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом.

Электронная теория дисперсии. Нормальная и аномальная дисперсия.

Закон Бугера. Рассеяние света.

Рассмотрим классическую модель взаимодействия электромагнитного излу-

чения с веществом. Эта модель приводит к качественно верным результатам, но достоинством её рассмотрения является простота описания.

При прохождении электромагнитной волны через вещество на заряженные частицы, входящие в атомы (и молекулы) вещества будет действовать сила Лорен-

ца

F = q (E + (v × B )) .

Найдем отношение величин магнитной и электрической составляющих этой силы

FM	=	qvB	=	vµ0 H	= vµ		ε0	=	v	.
						0	µ0
FЭ		qE		E					c

Движение частиц в атомах ограничено в пространстве (как говорят, движе-

ние является финитным), поэтому его можно представить как колебания вблизи

(усреднённых) положений равновесия. Амплитуда скорости частиц связана с ам-

плитудой колебаний v = ωA0 . Циклическая частота вынужденных колебаний совпа-

дает с частотой волны ω =

2πc

, поэтому

ωA0

2πc

= 2π

λ c

F c c

Из этого соотношения видно, что магнитная сила по величине много меньше элек-

трической, если амплитуда колебаний много меньше длины волны A0 << λ .

При рассмотрении движения заряженных частиц, входящих в состав атомов веще-

ства амплитуда колебаний не превышает размеров атомов, т.е. A0 10−10 м. Следо-

вательно, в случае электромагнитной волны, например, видимого света, для кото-

рой λ 10−7 ÷10−6 м условие	FM	=	v	= 2π	A0	<< 1 можно считать выполненным.
					λ
	F c
	Э

Семестр 3. Лекция 17

Это означает, что можно пренебречь магнитной силой (и сообщаемым ею ускоре-

нием) и рассматривать вынужденные колебания заряженных частиц в неподвиж-

ных атомах как линейные колебания электронов вдоль направления вектора E .

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распро-

страняющуюся вдоль оси X, в которой для вектора напряженности


E = E0 sin (ωt − kx + ϕ) .
Пусть волна линейно поляризована вдоль Y. Тогда вектор напряженности в коор-
	= E0 sin (ωt − kx + ϕ) .
динатах имеет вид E = (0, E ,0) и E
Предположим, что в точке, с координатами r = ( x ,0,0) находится заряженная
	0
частица массы m и зарядом q. Уравнение движения частицы вдоль оси Y
ma = FУПР + FВЫН + FР _ ТРЕН
где

FУПР = −k y - сила упругости, возникающая при смещении частицы от положения

устойчивого равновесия (как следует из лекций предыдущего семестра для квази-

упругой силы k = − d 2WПОТ > 0 );

dx2

FВЫН = qEy = qE0 sin (ωt − kx0 + ϕ) - вынуждающая сила со стороны электромагнитной волны;

2q2

- сила радиационного трения.

4πε

Р_ ТРЕН

3c3 dt

Т.е.

ma = −k y + qE

2q2

3c3

4πε

2q2

Обозначим η = 4πε

3c3 и перепишем уравнение y =

η y

η y −

η Ey .

Проделаем некоторые очевидные преобразования:

- cначала вычтем из обеих частей равенства выражение αy , где α - вещественное число:

Семестр 3. Лекция 17
y − αy =	m	y − αy +	k	y −	q	Ey ;
	η		η		η
	η		η		η

- затем в правой части вычтем и прибавим слагаемое, пропорциональное y :

y − αy =		− α	( y − αy ) +
	m			m

	η			η

Если потребовать выполнение равенства

− α α

y +

−

Ey .

− α

= −α , то можно ввести новую

− α α

переменную s = y − αy , где константа α определяется из кубического уравнения

ηα3 − mα2 − k = 0 . Т.к. это алгебраическое уравнение нечётной степени, то оно обяза-

тельно имеет, хотя бы один, вещественный корень α.

Теперь найдем знаки у коэффициентов дифференциального уравнения.

Т.к.

= −α2 , то

− α = −

< 0 , откуда α >

> 0 , следовательно

− α

ηα

− α α < 0 . Если ввести новые обозначения

− α = −

= −2β < 0 и

ηα

− α

α = −ω0

будет являться решением уравне-

< 0 , то новая переменная s = y − αy

s + 2βs + ω02 s = − µq E0 sin (ωt − kx0 + ϕ) .

Это уравнение вынужденных колебаний. Как известно из предыдущего семестра

(см. лекции 1-го курса), в этом случае общее решение является суммой решения,

затухающего с течением времени sЗАТ = AЗАТ e−βt sin (ωЗАТ t + ϕЗАТ ) , и решения, описы-

вающего вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы

sВЫН = ABЫН sin (ωBЫН t + ϕBЫН ) .

Замечание. Зная какое-либо решение для переменной s, можно найти решение и для переменной y из дифференциального уравнения y − αy = s .

Семестр 3. Лекция 17

Например, для вынужденных колебаний y − αy = ABЫН sin (ωBЫНt + ϕBЫН )

решение имеет вид y = ABЫН sin (ωBЫНt + ϕBЫН + ψ ) ,

где tgψ =

ωBЫН . Таким образом, амплитуда пространственных колебаний такая же

как и амплитуда колебаний величины s. Поэтому эта амплитуда равна

AВЫН =

, где

f0 =

E0 .

(ω2

− ω2

+ 4β2ω2

ВЫН

Фаза вынужденных колебаний отличается фазы вы-

AВЫН

нуждающей силы на величину θ, где

2βωBЫН

tgθ =

ω02 − ωBЫН 2

поэтому общая величина сдвига фазы δ = θ + ψ .

На амплитудно-векторной диаграмме видно, что

проекция вектора амплитуды вынужденных колебаний AВЫН

на направление векто-

ра амплитуды напряженности электрического поля волны E0

равна

(AВЫН )Е0 = AВЫН cos (δ)

Взависимости от частоты эта проекция может как положительной, так и отрица-

тельной, так как δ = θ + ψ тоже зависит от частоты.

При колебаниях электроны движутся с ускорением, поэтому излучают элек-

тромагнитные волны такой же частоты, что и частота падающей волны. Мощность излучения пропорциональна квадрату ускорения. При колебаниях амплитуда уско-

рения равна aMAX = Aω2 . Следовательно, мощность излучения электронов под дейст-

вием падающей волны пропорциональна 4й степени частоты волны. Это излучение называется рассеянным излучением.

Атомы (и молекулы) вещества могут тоже совершать колебания под действи-

ем падающей волны. Кинетическая энергия колебаний пропорциональная квадрату скорости vMAX = ωA , т.е. квадрату частоты колебаний. Увеличение кинетической энергии колебаний приводит к увеличению внутренней энергии тела. Таким обра-

зом, часть энергии волны поглощается веществом.

Семестр 3. Лекция 17

Закон Бугера.

При рассеянии и поглощении энергия падающей волны уменьшается. При прохождении волной расстояния dl интенсивность I уменьшается на величину dI.

Введём коэффициент пропорциональности k, называемый коэффициентом погло-

щения (единицы измерения 1/м)

dI = −k I dl .

Откуда получаем закон уменьшения интенсивности (закон Бугера)

I = I0e−kl

где I0 – величина интенсивности при l=0. При прохождении расстояния, величина которого обратная коэффициенту поглощения, интенсивность излучения уменьша-

ется в е раз.

Так как причиной появления рассеянного излучения и поглощения энергии являются вынужденные колебания электронов и атомов, и вблизи резонансных частот должно наблюдаться резкое увеличение амплитуды колебаний, то коэффи-

циент поглощения k зависит от частоты излучения. Таких частот, вообще говоря,

может быть несколько.

Для веществ, атомы которых слабо взаимодействуют между собой (газы при невысоких давлениях) коэффициент поглощения заметно отличен от нуля только вблизи резонансных частот поглощения (линейчатый спектр поглощения).

Например, результаты опытов показывают, что спектр солнечного излучения непрерывный. Но при прохождении солнечного света через атмосферу Солнца по-

	ω	ω

глощается часть излучения при резонансных частотах, соответствующих газам, на-

ходящихся в составе атмосферы Солнца. Изучая эти частоты, можно определить химический состав атмосферы Солнца (или звёзд).

cos δ

EВНЕШН

Семестр 3. Лекция 17

Для газов при высоких давлениях, жидкостей и твердых тел характерны ши-

рокие полосы поглощения.

Дисперсия.

Рассмотрим вещества, не являющиеся проводниками (или плазмой). В таких телах, когда внешнее поле отсутствует = 0 , усредненноё положение электри-

ческих зарядов является равновесным. Под воздействием внешнего электрического поля более лёгкие электроны смещаются и начинают совершать колебания около положения равновесия. При смещении отрицательно заряженного электрона на вектор y , электрический дипольный момент, равный p = q y , будет направлен противоположно смещению p =↑↓ y . Но из выражения для вектора поляризованно-

сти вещества P =

æE следует, что для определения коэффициента поляризуемости

вещества æ надо рассматривать только проекцию вектора поляризованности P на

направление вектора E :

∑ p

p = n

qy , æ =

nОБ qy

nОБ qAВЫН cos δ

æ =

. Но P =

= n

ОБ

т.е. æ =

cos δ

ОБ

ВЫН

ОБ

(ω0

− ωВЫН )

+ 4β ωВЫН

2 2

(здесь nОБ - концентрация диполей).

Показатель преломления вещества равен n =

µε . Большинство оптически

прозрачных веществ являются парамагнетиками ( µ ≈ 1), поэтому

≈ ε = 1 + æ = 1+

q2 cos δ

ОБ

η (ω2

− ω2

+ 4β2ω2

ВЫН

Это формула получена с помощью классического рассмотрения при различных предположениях. Но она даёт качественно верное представление о явлениях при взаимодействии излучения с веществом. В зависимости от частоты и величины

показатель преломления может быть как больше, так и меньше 1.

Явление зависимости показателя преломления вещества от длины волны из-

лучения называется дисперсией. Нормальная дисперсия – показатель преломления увеличивается при уменьшении длины волны (увеличении частоты).

Семестр 3. Лекция 17

Обратная зависимость носит название аномальной диспер-

сии.

Нормальная дисперсия наблюдается, в частности, в

опыте Ньютона по разложению белого света в спектр при

прохождении его через стеклянную призму. В этом опыте у

красного света, имеющего бóльшую длину волны, меньший

показатель преломления, чем у фиолетового, длина волны которого меньше.

Аномальная дисперсия в веществе наблюдается в области частот, соответст-

вующих сильному поглощению. Действительно, качественно это можно наблюдать

на классической модели рассмотренной выше.

	Величина показателя преломления n ≈ 1 +			n q2	cos δ
				ОБ

			η (ω2	− ω2	)2 + 4β2ω2
			0	ВЫН	ВЫН
зависит от частоты волны. Если частота сильно отличается от резонансной, то
сдвиг фаз δ незначительный ( cos δ ≈ 1 ), поэтому значение дроби положительное и
			показатель преломления больше единицы.
	k	k(ω)	Вблизи резонансной частоты величин дроби
	k		начинает резко возрастать, поэтому при cos δ > 0
			начинает резко возрастать, поэтому при cos δ > 0
n		n(ω)	показатель n увеличивается. Но при некоторой
1			частоте величина cos δ становится отрицатель-
			ной, что приводит к резкому уменьшению по-
			казателя преломления.
			ω
			Если совместить два графика – зависимость ко-
эффициента поглощения и показателя преломления от частоты, то можно увидеть,
что аномальная дисперсия в веществе наблюдается в области частот, соответст-
вующих сильному поглощению. Аномальную дисперсию можно наблюдать, на-
пример, в разреженных газах и парах металлов.
			Групповая скорость.
	Электромагнитные волны, испущенные естественными источниками, не яв-
ляются монохроматичными, но их можно представить в виде волнового пакета –
как суперпозицию монохроматичных волн с близкими частотами. Из-за дисперсии
					7

Семестр 3. Лекция 17

монохроматичные волны, составляющие пакет, будут иметь разные фазовые ско-

рости в веществе. Если вещество является сильно диспергирующим, т.е. показатель преломления сильно меняется даже при небольшом изменении частоты, то разные фазовые скорости волн будут являться причиной распадения пакета – отдельные значительно волны обгонят другие.

Если волновой пакет распространяется в слабо диспергирующей среде, то он будет сохранять целостность длительное время, хотя его «форма» будет меняться.

Пример. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, являющуюся суперпози-

цией двух монохроматических волн с близкими частотами ω и ω+Δω, Δω<<ω и

распространяющуюся в веществе. Частоты волн разные, поэтому им соответству-

ют разные показатели преломления n и n+ n, где

n =

Δω . Поэтому волны име-

d ω

ют разные фазовые скорости v

(ω) =

. Предполагаем, что вещество является

(ω)

слабо диспергирующим при данной частоте:

n =

Δω << 1,

т.е. если даже частота

d ω n

изменится в несколько раз Δω = N ω , то изменение показателя преломления будет

малым n =

ω N << 1. Демонстрацией этого понятия является дисперсия белого

d ω n

света в опыте Ньютона. Хотя частота фиолетового света практически в два раза

больше частоты красного света, но относительное изменение показателя прелом-

ления среды невелико.

Уравнение плоской волны, которая движется вдоль оси X: A = A0 cos (ωt − kx ) .

(В качестве величины А можно взять либо Е либо Н). Но k =

= ω n , поэтому

vФ

уравнения волн можно записать в виде A1 = A0

ωt −

ωn

cos

x ,

(ω + Δω) n +

Δω

ωn + ω

+ n Δω +

(Δω)

d ω

= A cos

(ω + Δω)t −

x = A cos (ω + Δω)t −

Отбросим величину

(Δω)2 , считая её малой, и найдём суперпозицию волн

d ω

Семестр 3. Лекция 17

ωn

ωn +

+ n

Δω

d ω

= A + A

= A cos

ωt −

+ A cos

ωt −

1 2

Δω

Δω t −

+ n Δω

Δω t −

ωn +

+ n

d ω

= 2 A cos

x cos

ω +

Мы получили уравнение, описывающее в каждой фиксированной точке оси Х бие-

ния. Эти биения тоже распространяются вдоль оси Х. Можно считать, что величи-

на амплитуды 2А0 биений является плоской волной

				dn
		Δω t −	ω		+ n	Δω
			ω	d ω	+ n	Δω
A	= 2 A cos			d ω			x , движущейся вдоль оси с фазовой скоростью
A	= 2 A cos						x , движущейся вдоль оси с фазовой скоростью
Б	0	2		2c
		2		2c

Δω

vГР =

+ n

Δω

+ n

d ω

. Эта скорость является характеристикой группы

волн, одновременно распространяющих в одной области пространства, поэтому её принято называть групповой скоростью. Учитывая условие слабой дисперсии

dn ω

ω dn

c ω dn

ω dn

<< 1

, получаем vГР

−

+ ...

≈

−

= v − v

d ω n

ω dn

n d ω

+ n

n n n d ω

n 1

d ω

n d ω

(Здесь использована формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии

с малым показателем и определение фазовой скорости v = c .)

Так как

= −c

1 dn

= −

c 1 dn

= −

v dn

, то vГР

= v − ω

v dn

= v + ω

d ω

n n d ω

n d ω

d ω

d ω n

Перейдём в этом выражении от циклической частоты ω к длине волны λ.

Т.к. ω =	2π	=	2πv	, то при фиксированной скорости v d ω = −	2πv	d λ , поэтому
			λ
	T				λ2

Семестр 3. Лекция 17

vГР

= v +

2πv

= v −

2πvλ2 dv

= v − λ

.♣

−

2πv

d λ

λ 2πvd λ

d λ

Итак, групповая скорость группы волн, одновременно распространяющихся в одной области пространства (волнового пакета), связана с фазовой скоростью волн

формулой Рэлея	vГР	= v − λ	dv	. В веществе электромагнитный сигнал распространя-
			d λ

ется именно с групповой скоростью.

При аномальной дисперсии показатель преломления среды уменьшается с увеличением частоты, т.е. с уменьшением длины волны. Поэтому фазовая скорость

с уменьшением длины волны тоже уменьшается, следовательно dv > 0 . В случае,

d λ

когда n < 1 фазовая скорость становится больше чем скорость в вакууме v = c > c , но

групповая скорость vГР	= v − λ	dv	< c , поэтому противоречия с СТО нет.
		d λ

Замечание. Опыт показывает, что если средой является металл или плазма, то су-

ществует определенная частота ωР, называемая плазменной частотой, такая, что электромагнитные волны с меньшей частотой ω<ωР полностью отражаются от те-

ла, для волн с большей частотой ω>ωР металл или плазма являются полностью прозрачными.

Например, очень тонкий слой золота, нанесённый напылением на поверх-

ность стекла, пропускает видимый свет полностью, а инфракрасное излучение не проходит.

Расчёты показывают, что величина критической частоты ωР зависит от кон-

центрации заряженных частиц.

Верхние слои атмосферы Земли представляют собой ионизированную плазму и образуют ионосферу. (Ионизация происходит под действием солнечных и кос-

мических лучей.). Опыт показывает, что радиоволны длиной более 10 метров пол-

ностью отражаются от ионосферы, что широко используется в радиосвязи.

Волны меньшей длины волны, наоборот, свободно проходят сквозь ионосферу.

Соседние файлы в папке 3 семестр_1

#
10.02.2015162.65 Кб18Семестр_3_Лекция_11.pdf
#
10.02.2015164.56 Кб17Семестр_3_Лекция_12.pdf
#
10.02.2015157.69 Кб18Семестр_3_Лекция_13.pdf
#
10.02.2015193.92 Кб17Семестр_3_Лекция_14_15.pdf
#
10.02.2015131.55 Кб16Семестр_3_Лекция_16.pdf
#
10.02.2015134.8 Кб16Семестр_3_Лекция_17.pdf
#
10.02.2015284.87 Кб15Семестр_3_Лекция_18_19.pdf
#
10.02.2015107.83 Кб16Семестр_3_Лекция_20.pdf
#
10.02.2015190.91 Кб17Семестр_3_Лекция_21.pdf
#
10.02.2015144.99 Кб16Семестр_3_Лекция_22_23.pdf
#
10.02.2015116.65 Кб27Семестр_3_Лекция_24.pdf