3 семестр_1 / Семестр_3_Лекция_14_15
.pdf
Семестр 3. Лекции 14_15
поэтому можно написать, что FZ=pSZ . За малый промежуток времени dt импульс этой силы бу-
|
|
wSZ vdt |
|
dW |
|
|
дет равен |
FZ dt = pSZ dt = |
|
= |
|
, где dW = wSZ vdt |
- величина энергии волны, поглощен- |
v |
|
|||||
|
|
|
v |
|
||
ной площадкой за время dt, а v – фазовая скорость волны. Импульс силы, действующей на пло- |
||
щадку, равен изменению импульса этой площадки вдоль оси Z: dP = |
dW |
. |
|
||
Z |
v |
|
|
||
Если предположить, что импульс площадки до падения на неё электромагнитной волны был равен нулю, то, спустя некоторый промежуток времени, у площадки появится импульс, ве-
личина которого прямо пропорциональна величине энергии, поглощенной за этот промежуток времени:
P = W . v
Если рассматривать систему волна-площадка как замкнутую, то в этой системе импульс сохра-
няется, следовательно, изменение импульса площадки равно изменению импульса волны. Та-
ким образом, электромагнитной волне следует приписать величину импульса P, величина кото-
рого связана с энергией W, переносимой волной с фазовой скоростью, соотношением
P = W . v
Тогда единице объёма волны можно приписать величину удельного импульса
P |
= |
|
P |
= |
W |
= |
w |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
УД |
V |
|
|
|
vV |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но из выражения Π = wv следует, что w = |
Π |
|
|
. Поэтому единичный объём электромагнитной |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
v |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
волны обладает импульсом, величина которого PУД = |
|
|
Π |
|
|
. Поэтому в векторном виде |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
v2 |
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
Π |
= |
|
E × H |
. |
|||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
УД |
|
|
v |
2 |
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Замечание. Из результатов, полученных в СТО, следует соотношение между энергией W, им-
пульсом P и массой покоя m0 материальных тел
W 2 − P2c2 = m02c4 .
В вакууме скорость электромагнитной волны равна c, поэтому для импульса и энергии некото-
рого объёма волны
P = W . c
Следовательно, масса покоя электромагнитного поля в этом объёме волны равна нулю m0 = 0 .
11
Семестр 3. Лекции 14_15
За малый промежуток времени dt изменение импульса ориентированной площадки SZ,
полностью поглощающей электромагнитную волну, равно dPZ = dW . Но, при отсутствии теп- v
ловыделения (по закону Джоуля-Ленца) из теоремы Пойнтинга следует равенство
|
dW |
|
|
− |
= ∫∫ (Π,dS ). |
||
dt |
|||
|
S |
||
|
|
Здесь S – это замкнутая поверхность, внутри которой находится рассматриваемая площадка SZ.
В случае полного поглощения электромагнитной волны вектор Пойнтинга отличен от нуля только на площадке SZ, поэтому
|
|
∫∫ (Π ,dS ) = ∫∫(Π ,dS ). |
|
S |
SZ |
При этом вектор Пойнтинга перпендикулярен к площадке SZ, т.к. по условию он направлен вдоль оси Z: Π = (0,0,ΠZ ) . Следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫∫ (Π,dS ) = ∫∫(Π,dS ) |
|
|
|||||||
= ∫∫ΠZ cos (Π ,dS )dS . |
|||||||||
S |
|
SZ |
|
|
|
|
SZ |
|
|
Если вектор Пойнтинга представить в виде сумме координатных векторов |
|||||||||
Π = Π X + ΠY + Π Z , где Π X = (Π X ,0,0) , ΠY |
= (0,ΠY ,0), ΠZ = (0,0,ΠZ ) , |
||||||||
то будет справедливым соотношение |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ (Π Z ,dS ) = ∫∫(ΠZ ,dS ) = ∫∫ΠZ cos (Π,dS )dS . |
|||||||||
S |
|
SZ |
|
|
|
|
SZ |
|
|
поэтому в данном случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∫∫ (Π ,dS ) = ∫∫ (Π Z ,dS ) . |
||||||||
|
S |
|
|
|
|
S |
|
||
Поэтому изменение импульса площадки вдоль оси Z равно |
|||||||||
|
|
dP |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
Z |
|
= − |
|
∫∫ (ΠZ ,dS ) . |
|||
|
|
dt |
v |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
Слева стоит мгновенное изменение импульса площадки вдоль оси Z. Так как система отсчёта инерциальная, то справа, по второму закону Ньютона, должна стоять проекция суммы сил, дей-
ствующих на площадку со стороны электромагнитной волны, на это же направление Z:
FZ = − 1v ∫∫S (Π Z ,dS ),
где v – фазовая скорость волны (в вакууме v=c), S – ориентированная (наружу) замкнутая по-
верхность, внутри которой находится площадка.
Пример. На поверхность шара радиуса R, находящегося в вакууме, падает плоская электромаг-
нитная волна. Длина волны много больше радиуса шара λ>>R. Найти силу, действующую на
12
Семестр 3. Лекции 14_15
шар в случае полного поглощения им волны. Максимальная напряженность электрического по-
ля в волне равна Е0.
Введём ось Z вдоль направления падения волны. Тогда
π−α
вектор Пойнтинга Π = Π Z = (0,0,Π ) .
dS |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
α |
Z |
Величина |
Π |
= |
E × H |
= EH . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
|
В вакууме у плоской электромагнитной волны |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dα |
H = |
E |
, где Z |
0 |
≈ 377 Ом – волновое сопротивление. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Π |
|
= |
|
|
0 |
cos2 (ωt − kz + ϕ) . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Скорость света в вакууме v=c, поэтому проекция силы на ось Z равна FZ = − |
|
∫∫ (Π Z ,dS ). |
|||||||||||||||||
с |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
Вводим угловую координату α. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∫∫ (Π Z ,dS ) = ∫∫ Π Z cos (π − α ) dS . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
S |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Угол α и величина ПZ одинаковые на участках поверхности dS, образующих кольцо радиусом r = R sin α и шириной dl = Rd α . Площадь этого кольца dSK = 2πr dl = 2πR sin α Rd α , поэтому
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − ∫ ΠZ cos (α ) 2πR sin α Rd α . |
||||||||||
∫∫ (Π Z ,dS ) = ∫∫ Π Z cos (π − α )dS = ∫∫ ΠZ cos (π − α ) dSK |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
S |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Т.к. λ>>R, то на поверхности шара величину |
Π |
|
= |
|
0 |
|
cos2 (ωt − kz + ϕ) |
в данный момент вре- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Z0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
мени можно считать постоянной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫∫ (ΠZ ,dS ) = − ∫ ΠZ 2πR2 |
sin α d (sin α ) |
= − |
Π |
πR2 |
sin2 α |
|
0 |
= − |
Π |
πR2 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
S |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
πR |
2 |
|
|
|
|
|
πR |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Π |
|
|
|
|
|
Π |
|
|
|
|
|
|
πR |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
F = − |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
E0 |
cos2 (ωt − kz + ϕ) .♣ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Интенсивность волны - средняя мощность, переносимая волной через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.
Интенсивность электромагнитной волны - усреднённое значение модуля вектора Пойн-
тинга.
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
I =< |
|
Π |
|
>= |
E0 |
< cos2 (ωt − kz + ϕ) >= |
E0 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Z0 |
2Z0 |
||
|
|
|
|
|||||
Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости магнитного поля.
13
Семестр 3. Лекции 14_15
Волна, в которой вектор E (и, соответственно, H ) колеблется в одной плоскости, назы-
вается линейно-поляризованной. В рассмотренном примере вектор E = ( ЕX ,0,0) совершает ко-
лебания в плоскости, образованной осями X и Z. Такая плоскость называется плоскостью поля-
ризации волны.
В волне, соответствующей суперпозиции волн для векторов E1 = (EX ,0,0) , E2 = (0, EY ,0) ,
колебания векторов происходят с одинаковой частотой, но в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Конец вектора E = E1 + E2 будет описывать в плоскости (X, Y) фигуру Лиссажу,
являющуюся, в зависимости от разности фаз этих колебаний, либо эллипсом, либо отрезком прямой.
Если фигура является эллипсом, то говорят, что волна имеет эллиптическую поляриза-
цию, а если – отрезок прямой, то – поляризация линейная.
Интерферируют между собой поперечные волны одинаковой линейной поляризации.
14