
Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1
.pdfПокажите, что вектора e1, e2 , e3 линейно независимы и произвольное решение системы можно выразить через фундаментальную систему решений.
Упражнения.
Найдите общее решение системы линейных однородных уравнений. Запишите ее фундаментальную систему решений.
|
2x |
4x |
|
5x |
|
3x |
0, |
|||||
111. |
3x1 |
6x2 |
|
4x3 |
|
2x4 |
0, |
|||||
4x |
|
8x |
2 |
|
17x |
|
11x |
|
0, |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
3x1 |
6x2 |
|
18x3 |
|
12x4 |
0; |
|||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
3x |
4x |
|
|
x 2x |
|
3x |
0, |
||||
112. |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
0, |
|
5x1 |
7x2 |
x3 |
3x4 |
4x5 |
||||||||
|
7x |
10x |
|
|
x |
6x |
|
3x |
0; |
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
2x14x 113. 2x1
6x11
x13x 114. 4x1
3x11
6x19x 115. 6x1
3x11
x12x 116. 4x13x11
x12x 117. 4x1
2x11
x12x 118. 4x1
2x11
x12x 119. 3x1
2x11
x12x 120. 3x1
x11
x2 |
5x3 |
7x4 |
0, |
|
2x2 |
7x3 |
5x4 |
0, |
|
x2 |
x3 |
5x4 |
0, |
|
3x2 |
9x3 |
3x4 |
0; |
|
2x2 |
2x3 |
4x4 |
0, |
|
5x2 |
6x3 |
4x4 |
0, |
|
5x2 |
2x3 |
3x4 |
0, |
|
8x2 |
24x3 |
19x4 |
0; |
|
2x2 |
2x3 |
3x4 |
5x5 |
0, |
4x2 |
3x3 |
5x4 |
7x5 |
0, |
6x2 |
5x3 |
7x4 |
9x5 |
0, |
2x2 |
4x3 |
4x4 |
8x5 |
0; |
9x2 |
3x3 |
5x4 |
14x5 |
0, |
7x2 |
4x3 |
5x4 |
7x5 |
0, |
4x2 |
8x3 |
5x4 |
4x5 |
0, |
5x2 |
7x3 |
5x4 |
6x5 |
0; |
2x2 |
x3 |
2x4 |
x5 |
0, |
3x2 |
x3 |
5x4 |
2x5 |
0, |
5x2 |
3x3 |
9x4 |
x5 |
0, |
7x2 |
3x3 |
21x4 |
5x5 |
0; |
x2 |
x3 |
2x4 |
x5 |
0, |
3x2 |
x3 |
5x4 |
x5 |
0, |
5x2 |
3x3 |
9x4 |
x5 |
0, |
x2 |
3x3 |
3x4 |
5x5 |
0; |
x2 |
3x3 |
x4 |
2x5 |
0, |
3x2 |
x3 |
3x4 |
4x5 |
0, |
5x2 |
5x3 |
5x4 |
10x5 |
0, |
x2 |
13x3 |
x4 |
12x5 |
0; |
3x2 |
x3 |
2x4 |
5x5 |
0, |
8x2 |
5x3 |
3x4 |
x5 |
0, |
13x2 |
9x3 |
8x4 |
7x5 |
0, |
x2 |
2x3 |
9x4 |
16x5 |
0; |
31

|
x1 |
x2 |
3x3 |
2x4 |
2x5 |
0, |
|||||
121. |
3x1 |
4x2 |
7x3 |
x4 |
3x5 |
0, |
|||||
x |
|
3x |
|
2x |
|
9x |
|
4x |
0, |
||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
0. |
|
4x |
3x |
11x |
12x |
5x |
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
122. |
(*) Докажите, |
что если ранг однородной системы линейных уравнений на единицу |
меньше числа неизвестных, то любые два решения этой системы пропорциональны.
§ 9. Линейные операторы. Собственные числа и собственные вектора линейного оператора.
Для решения задач необходимо изучить материал §§ 18, 19 и 20 главы 1 теоретического пособия.
Пример 9.1. Оператор А действует в R3 по закону Ax (2x1 x3; x2 3x3; x1 2x2 ) . Пока-
жите, что оператор А линейный. Найдите матрицу оператора А. Найдите образ вектора a (5; 2; 6) двумя способами.
Решение. 1) Оператор А линейный, если выполнены условия A(x y) Ax Ay и A( x) Ax ( x, y R3 , R ).
Пусть x (x1; x2 ; x3 ), y ( y1; y2 ; y3 ), x y (x1 y1; x2 y2 ; x3 y3 ) . Тогда Ax Ay (2x1 x3; x2 3x3; x1 2x2 ) (2 y1 y3; y2 3y3; y1 2 y2 )
(2x1 2 y1 x3 y3; x2 y2 3x3 3y3; x1 y1 2x2 2 y2 )
(2(x1 y1) (x3 y3 ); (x2 y2 ) 3(x3 y3 ); (x1 y1) 2(x2 y2 )) A(x y) ;
A( x ) (2 x1 x3; x2 3 x3; x1 2 x2 ) ( (2x1 x3 ); ( x2 3x3 ); (x1 2x2 ))
(2x1 x3; x2 3x3; x1 2x2 ) Ax .
2)Построим матрицу оператора. Для этого найдем образы базисных векторов и запишем их в столбцы матрицы3:
Ae1 (2 1 0; 0 3 0; 1 2 0) (2; 0; 1), |
Ae2 (2 0 0; 1 3 0; 0 2 1) (0; 1; 2) , |
||||
Ae3 (2 0 1; 0 31; 0 2 0) (1; 3; 0) . |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
Матрица оператора будет иметь вид |
A |
0 |
1 |
3 |
. |
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
3) Найдем образ вектора a (5; 2; 6) . |
|
|
|||||||||||
Первый способ. Подставим координаты |
вектора в формулу, задающую оператор: |
||||||||||||
Aa (2 5 (6); 2 3 (6); 5 2 2) (4; 20; 9) . |
|||||||||||||
Второй способ. Найдем произведение матриц |
|||||||||||||
2 |
0 |
1 |
5 |
|
2 5 6 |
|
|
4 |
|
||||
Aa |
0 |
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
1 2 3 ( 6) |
|
|
20 |
. |
|
1 |
2 |
0 |
|
|
6 |
|
|
1 5 2 2 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 Если не оговорено особо, то считаем, что векторы заданы в каноническом базисе e1 (1; 0; 0), e2 (0; 1; 0), e3 (0; 0; 1) .
32

Заметим, что результат не зависит от способа, которым он был получен (подстановка в формулу или умножение матриц).
Пример 9.2. Образ вектора a (1; 4; 7) при действии оператора А равен
Aa (4; 16; 28) . Найдите собственное число линейного оператора, отвечающее этому вектору.
Решение. 1) Так как Aa 4a , то собственное число линейного оператора, отвечающее
вектору a равно |
4 . |
|
|
|
|
Пример 9.3. |
Докажите, что число |
1 является собственным числом линейного |
|||
|
1 |
3 |
1 |
||
оператора, заданного матрицей A |
3 |
2 |
5 |
. Для = –1 найдите собственный вектор. |
|
|
|
5 |
2 |
3 |
|
|
|
|
Решение. 1 способ. Число λ является собственным числом оператора А, если существу-
ет вектор x такой, что |
Ax x . В нашем случае, нужно доказать, что |
Ax x для некото- |
|||||||||||||
рого вектора |
x . Пусть x (x1, x2 , x3 ) . Тогда |
|
|
|
|||||||||||
1 |
3 |
1 |
x1 |
|
x1 |
3x2 |
x3 |
|
x1 |
|
|
|
|||
Ax |
3 |
2 |
5 |
|
x |
|
|
3x |
2x |
5x |
|
x |
|
. Запишем соответствующую систему |
|
|
5 |
2 |
3 |
|
x2 |
|
|
5x1 |
2x2 |
3x3 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
2 |
3 |
3 |
|
|
x |
3x |
x |
|
x , |
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
уравнений 3x1 |
|
2x2 |
|
5x3 |
|
x2 , |
|
||
5x |
2x |
3x |
|
x , |
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
Решим систему методом Гаусса: |
3 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
13x /14, |
|
Следовательно x2 |
11x1 |
/14. |
3 |
1 |
|
2x13x15x1
1 5 2
|
3x2 |
|
|
x3 |
|
0, |
|
|
|
x2 |
|
|
5x3 |
|
0, |
|
|
|
2x2 |
|
|
4x3 |
|
0. |
|
|
2 |
3 |
1 |
11/14 |
0 |
1 |
. |
||
13 |
14 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
13/14 |
1 |
0 |
|
|
13 |
14 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Запишем собственный вектор, отвечающий = –1: c (14; 13; 11) . Любой вектор,
коллинеарный вектору c также будет собственным вектором для = –1. |
|
|
|
||||||||||
1 |
3 |
1 |
14 |
14 39 11 |
14 |
|
|||||||
Выполним проверку. Имеем Ac |
3 |
2 |
5 |
|
13 |
|
42 |
26 55 |
|
|
13 |
|
c , то |
|
5 |
2 |
3 |
|
|
|
70 |
26 33 |
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
есть вектор c |
собственный и = –1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 способ. Число λ |
является собственным числом оператора А, если определитель матри- |
|||||||||||||||
цы A E |
равен нулю ( | A E | 0 )4. Вычислим этот определитель для = –1: |
|||||||||||||||
|
1 1 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
2 3 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||||
| A E | |
|
3 |
2 1 |
5 |
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
13 |
14 |
0 |
|
0 . Следовательно, 1 является |
|
|
5 |
2 |
3 1 |
|
5 |
2 |
4 |
|
|
|
13 |
14 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собственным числом этого оператора.
Пример 9.4. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора
Ax (3x1 2x2 ; x1 4x2 ; 5x1 3x2 x3 ) .
4 Это утверждение вытекает из правила вычисления собственных чисел линейного оператора.
33
Решение. 1) Построим матрицу оператора. Для этого найдем образы базисных векторов и
запишем их в столбцы матрицы: |
Ae1 (3; 1; 5), Ae2 |
(2; 4; 3), |
Ae3 (0; 0; 1) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Матрица оператора будет иметь вид |
A |
1 |
|
4 |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2) Найдем собственные числа линейного оператора. Для этого решим характеристиче- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ское уравнение | A E | 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
(1 ) (3 )(4 ) 2 0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
| A E | |
|
1 |
4 |
|
|
0 |
|
(1 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(1 )( 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
2, 5 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7 10) (1 )( 2)( 5) 0 . Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3) Для каждого собственного числа λ найдем собственный вектор. Для этого решим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
x1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнение ( A E)x 0 или |
1 |
|
4 |
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 = 5. Решим уравнение |
|
2 |
2 |
|
|
0 |
x1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
0 |
. |
Запишем матричное уравнение в |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
4 |
|
x2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
виде системы уравнений и решим эту систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2x1 |
2x2 |
|
|
|
|
|
0, |
|
|
x2 x1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0, x |
0,5x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5x |
|
3x |
4x 0, |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Собственный вектор, отвечающий числу 3 = 5, имеет вид c3 |
(2; 2; 1) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
0 |
2 |
|
|
6 4 |
|
|
10 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
Выполним проверку. |
Ac3 |
|
1 |
|
4 |
|
0 |
2 |
2 |
|
8 |
|
10 |
5 |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 = 2. Решим уравнение |
|
1 |
2 |
|
0 |
x1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
б) |
|
1 |
2 |
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
0 |
. Запишем матричное уравнение в |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
виде системы уравнений и решим эту систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
2x |
|
|
|
|
0, |
|
|
x 2x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x1 |
2x2 |
|
|
|
0, x |
1 |
13x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5x |
|
3x |
|
x |
|
|
0, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Собственный вектор, отвечающий числу 2 = 2, имеет вид c2 |
(2; 1; 13) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
0 2 |
|
|
|
6 2 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
Выполним проверку. |
Ac2 |
|
1 |
|
4 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
10 3 13 |
|
|
|
|
|
13 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
0 x1 |
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
в) 1 = 1. Решим уравнение ( A E)x 0 |
|
или |
1 |
|
3 |
0 |
x |
|
|
0 |
. Запишем матрич- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 0 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
ное уравнение в виде системы уравнений и решим эту систему
34
2x |
|
2x |
|
0x |
||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
x1 |
|
3x2 |
|
0x3 |
||
|
5x |
|
3x |
|
0x |
|
|
||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
0, |
x1 |
x2 |
0, |
|
|
|||
0, |
x R. |
|||
|
0, |
|
3 |
|
|
|
|
|
Собственный вектор, отвечающий числу 1 |
= 1, имеет вид c1 (0; 0; 1) . |
||||||||||||
|
|
3 |
2 |
0 0 |
0 |
0 |
|||||||
Выполним проверку. Ac1 |
|
1 |
4 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
0 |
. |
|
|
5 |
3 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1 1 c1 |
(0; 0; 1), 2 |
2 c2 (2; 1; 13), 3 5 c3 (2; 2; 1) . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
123. |
Оператор А действует в |
R3 по закону |
Ax (2x1 3x2 |
x3; x1 2x2; x2 3x3) . Найдите |
|||||||||||
|
|
|
(3; 1; 6) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Aa, Ab |
, если a (1; 4; 2), |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
124. |
Оператор |
А действует в R3 по закону |
Ax (x1 2x2 ; x1; x2 |
x3 ) . Покажите, что опе- |
|||||||||||
|
ратор А |
линейный. Найдите |
матрицу |
оператора |
А. |
Найдите |
образ вектора |
||||||||
|
a (2; 4; 5) двумя способами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
125. |
Оператор |
А действует в |
|
R3 по закону |
Ax [x; c ] , где c (3; 1; 2) . Покажите, что |
||||||||||
|
оператор А линейный. Найдите матрицу оператора А и образ вектора |
a (1; 3; 2) . |
|||||||||||||
126. |
Оператор |
А действует в R3 по закону |
Ax (x1 x2 x3; x1 |
2x2 1; x1 x2 3x3 ) . Яв- |
|||||||||||
|
ляется ли оператор А линейным? Найдите образ вектора a (3; 4;1) . |
|
127.Вектор a (1; 4; 2) является собственным вектором оператора, отвечающим собст-
венному числу 3. Найдите образ вектора a .
128.Образ вектора a (2; 4;1) при действии оператора А равен (8; 16; 4) . Найдите собственное значение оператора, которому отвечает вектор a .
129.Вектор a отвечает собственному числу 2 и его образ при действии оператора А равен (4; 6; 12) . Найдите вектор a .
130. Докажите, что 2 является собственным значением линейного оператора, заданного
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицей A |
4 |
5 |
1 |
. Найдите собственный вектор, отвечающий 2 . |
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
131. |
Найдите собственные числа и собственные векторы оператора |
А, если задана его мат- |
||||||||||||||||
|
|
A 3 |
|
4 ; |
|
1 0 |
4 |
4 |
1 |
2 |
2 |
3 3 |
||||||
|
рица: а) |
|
б) A |
2 2 |
1 ; |
в) A |
2 |
1 |
2 |
; |
г) A |
1 |
1 |
5 . |
||||
|
|
5 |
|
2 |
|
|
2 0 |
3 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|||||||
132. |
Найдите |
собственные |
числа |
и |
собственные |
векторы |
линейного |
оператора |
||||||||||
|
Ax (x1 2x2 ; 2x1 x2 ; 2x1 2x2 x3 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
133. |
Найдите |
собственные |
числа |
и |
собственные |
векторы |
линейного |
оператора |
||||||||||
|
Ax (3x1 5x2 7x3; 2x2 4x3; 3x2 2x3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
134. |
Найдите |
собственные |
числа |
и |
собственные |
векторы |
линейного |
оператора |
||||||||||
|
Ax (4x1 5x2 2x3; 5x1 7x2 3x3; 6x1 9x2 4x3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
35

135. |
Найдите |
собственные |
числа |
и |
собственные |
векторы |
линейного |
оператора |
|
Ax (3x1 4x2 ; x1 x2 ; 3x1 4x2 2x3 ) . |
|
|
|
||||
136. |
Найдите |
собственные |
числа |
и |
собственные |
векторы |
линейного |
оператора |
|
Ax (3x1 x2 ; 5x1 x2 ; 2x1 4x2 x3 ) . |
|
|
|
|
|||
137. |
Найдите |
собственные |
числа |
и |
собственные |
векторы |
линейного |
оператора |
|
Ax (4x1 3x2 x3; 4x2 ; 2x1 3x2 x3 ) . |
|
|
|
|
|||
138. |
Найдите |
собственные |
числа |
и |
собственные |
векторы |
линейного |
оператора |
|
Ax (4x1 3x2 x3; 2x2 ; 2x1 3x2 x3 ) . |
|
|
|
|
|||
139. |
Найдите |
собственные |
числа |
и |
собственные |
векторы |
линейного |
оператора |
|
Ax (x1 2x2 x3; 2x1 x2 4x3; x1 8x2 11x3 ) . |
|
|
|
||||
140. |
Найдите |
собственные |
числа |
и |
собственные |
векторы |
линейного |
оператора |
|
Ax (3x1 2x2 ; x1 4x2 ; x1 2x2 2x3 ) . |
|
|
|
|
§ 10. Действия с векторами.
Для решения задач необходимо изучить материал §§ 1, 2 и 3 главы 2 теоретического пособия.
|
|
Пусть в пространстве R3 задана декартова система координат. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Даны векторы a (1; 4; 3) |
|
|
|
|
(5; 3; 2) 5. Найдите длину вектора |
|||||||
|
|
Пример 10.1. |
и |
b |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3a 2 |
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Решение. Вычислим координаты вектора |
3a 2 |
b |
3(1; 4; 3) 2(5; 3; 2) (13; 6; 13) . |
|||||||||||||||
Длина вектора равна |
корню |
квадратному из |
суммы квадратов его координат, то есть |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
| ( 13)2 |
62 |
132 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
| 3a 2 |
b |
169 36 169 |
374 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Пример 10.2. |
Найдите |
координаты точки |
А, если известны координаты |
вектора |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
AB (4; 5; 7) и точки В(–1; 7; 5). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Решение. Координаты вектора равны разности координат его конца и начала, |
то есть |
AB (x; y; z) (xB xA; yB yA; zB zA) . Тогда
xA xB x 5, yA yB y 2, zA zB z 12 и координаты точки А(–5; 2; 12).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (3; 5; n) |
|
||||||
|
|
Пример 10.3. При каких значениях m |
и n |
векторы |
и |
b |
(6; m; 14) |
||||||||||||
коллинеарны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Решение. Два вектора коллинеарны, если их |
координаты пропорциональны, то есть |
||||||||||||||||
|
x1 |
|
y1 |
|
z1 |
. Для заданных векторов имеем |
3 |
5 |
|
n |
|
. Решая эту пропорцию, получим |
|||||||
|
x |
y |
|
z |
|
|
14 |
||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
6 |
m |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
m = –10, n = 7 и a (3; 5; 7), |
b |
(6; 10; 14) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Пример 10.4. В параллелограмме ABCD известны координаты трех вершин А(4; –3; 2), |
|||||||||||||||||
B(5; 9; 4), |
C(8; 5; –6). Найдите координаты вершины D. |
|
|
|
|
5 Все векторы в разделах «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия» заданы в декартовой системе координат.
36

Решение. 1 способ. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов. Пусть Q – точка пересе-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
A |
x |
|
|
|
y |
A |
y |
|
|
|
|
z |
A |
z |
|
|
|
|
|
|
||||||
чения |
диагоналей параллелограмма. Тогда |
Q |
|
C |
; |
|
|
|
C |
; |
|
|
|
C |
|
, |
то |
|
есть |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 8 |
|
3 5 |
|
2 (6) |
|
|
|
|
|
x |
B |
x |
D |
|
|
|
y |
B |
y |
D |
|
|
z |
B |
z |
D |
|
|
||||||||
Q |
|
; |
|
; |
|
|
; Q(6; 1; 2) |
. С другой стороны |
Q |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
. То- |
||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
гда |
|
xD 2xQ xB , yD 2 yQ yB , zD 2zQ zB |
|
|
и |
|
|
|
|
xD 12 5 7, yD 2 9 7 , |
||||||||||||||||||||||||||
zD 4 4 8. Итак, |
D(7; –7; –8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 способ. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. Это оз-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начает |
равенство |
векторов AB DC, |
AD BC . |
Найдем |
координаты вектора |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
BC (3; 4; 10) . |
Тогда AD (xD 4; yD 3; zD 2) и |
xD 4 3; yD 3 4; zD 2 10 . |
|||||||||||||
Итак, |
D(7; –7; –8).6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример 10.5. Даны координаты вершин |
А(1; –2; 5), |
B(3; 4; 2), |
C(4; 10; 1) треугольника |
АВС. Найдите координаты точки D, основания биссектрисы АD.
Решение. Найдем координаты векторов, на которых как на сторонах построен треуголь-
ник АВС и вычислим их длины: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 62 ( 3)2 7 , |
|||
|
AB (3 1; 4 ( 2); 2 5) (2; 6; 3) | AB | |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
32 122 ( 4)2 13 . |
|||
|
AC (4 1;10 ( 2);1 5) (3;12; 4) | AC | |
Из курса школьной геометрии известно, что биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника в отношении, равном отношению прилежащих сторон. Значит, отрезок
BC делится в отношении = 7:13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
По формулам деления отрезка в данном отношении имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
52 70 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
xB xc |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
|
yB yc |
|
|
4 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122 |
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
13 |
|
|
13 |
|
|
|
|
3,35, y |
D |
|
13 |
|
13 |
|
|
|
|
6,1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
20 |
|
|
|
|
|
1 |
|
7 |
|
|
|
20 |
|
20 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
zB zc |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
D |
|
|
|
13 |
|
13 |
|
|
|
1, 65 . Итак, координаты точки D(3,35; 6,1; 1,65). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
141. |
Векторы |
|
a и |
|
|
|
|
|
|
образуют угол 60º, длины векторов равны 5 и 8. Определите длины |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
векторов |
a |
b |
и a |
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a 2 |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
142. |
Даны два единичных вектора a , |
b |
, причем (a , |
b |
) 60 |
. Постройте вектор |
|
d |
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
найдите его длину. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, c ) 45 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
143. |
Даны три компланарных единичных вектора a , b , c , |
причем (a , |
b |
) 30 |
, ( |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Постройте вектор |
|
d |
2a 2 |
b |
и найдите его длину. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 Заметим, что ответ не зависит от способа решения задачи.
37

144.Три силы F, G, T приложены в одной точке и попарно перпендикулярны. Определите величину их равнодействующей, если известно, что | F | 3, | G | 12, | T | 4 .
145.На плоскости даны точки А(–4; 3), В(1; 5), С(9; –4). В начале координат приложены си-
лы OA, OB, OC . Постройте равнодействующую силу, найдите ее модуль и проекции на оси координат.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) | a |
|
| | a |
|
| ; |
||||||
146. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) | a |
b |
| | a |
b |
| ; |
в) | a |
b |
| | a |
b |
| ; |
|
г) a |
b |
a |
b |
; |
д) a |
b |
|| a |
b |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
е) | a |
b |
| | a | | |
b |
| ; |
ж) | a |
b |
| | a | | |
b |
| ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
147.Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы вектор a b делил пополам угол между векторами a и b ?
148. |
В |
равнобедренной |
|
трапеции |
|
|
|
ABCD |
BAD 60 , |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
AB = BC = CD = 2, точки M и N – середины сторон BC и CD со- |
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ответственно. Выразите векторы AM , AN , MN через единич- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
Рис. 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ные векторы e1, e2 (рис. 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149. |
Определите координаты вектора AB , если А(4; –1; 5) и B(6; 2; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
150. |
Даны точки А(3; –1; 7) |
и В(5; 4; –9). Найдите координаты векторов |
AB |
|
|
и |
|
BA . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
151. |
Найдите координаты точки N, если |
|
MN (3; 1; 7) и M(2; –5; 9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
152. |
Дано |
|
a (2; 1; 5), |
b |
(1; 4; 3) . Найдите координаты векторов |
a |
b |
, |
a |
b |
, |
3a , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2a 3 |
b |
, 3a 2 |
b |
, 5a 4 |
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
153. |
Дано a (3; 5; 8), |
b |
(1; 1; 4) . Найдите | a |
b |
|, |
| a |
b |
| . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154.Проверьте, являются ли точки вершинами трапеции ABCD, если а) А(3; –1; 2), B(1; 2; –1), C(–1; 1; –3), D(3; –5; 3);
б) А(–1; 5; –10), B(5; –7; 8), C(2; 2; –7), D(5; –4; 2).
155.В параллелограмме ABCD известны координаты трех вершин А, B, C. Найдите коорди-
наты вершины D, если |
|
а) А(3; 1; 2), B(7; 5; 11), C(5; 15; –8); |
б) А(7; –2; 9), B(1; 5; –4), C(5; 8; –3). |
156.Даны вершины А(2; –1; 4), B(3; 2; –6), C(–5; 0; 2) треугольника АВС. Найдите длину медианы АМ.
157.Центр тяжести однородного стержня находится в точке A(5; 9; 3), а один из его концов в точке C(–1; 5; –3). Найдите координаты второго конца стержня.
158.Отрезок AB, где А(–1; 8; 3), B(5; –1; 12) разделен на 3 равные части. Найдите координаты точек деления.
159.(*) Векторы a (2; 3; 6), b (1; 2; 2) приложены к одной точке. Найдите вектор p ,
лежащий на биссектрисе угла между этими векторами, если | p | 342 .
38

§ 11. Скалярное произведение векторов.
Для решения задач необходимо изучить материал § 4 главы 2 теоретического пособия.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3. |
|||||||||||
Пример 11.1. Векторы a и b образуют угол 135º, длины векторов | a | |
8 , | |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислите a 2 , |
|
|
2 , |
a |
|
, (2a 5 |
|
, 4a |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. По определению скалярного произведения a |
b |
|
| a | | |
b |
| cos(a , |
b |
) . Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a 2 | a |2 8, b 2 | b |2 9, a b | a | | b | cos135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 3 |
|
|
|
|
|
|
2 2 3 |
|
|
|
|
|
|
6 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(2a 5 |
|
|
) (4a |
|
|
) 8a 2 2a |
|
20 |
|
a 5 |
|
2 64 12 120 45 89 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Даны |
вектора a (3; 5; 6), |
|
|
Вычислите |
|
a 2 , |
|
2 , a |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 11.2. |
|
b |
(1; 2; 5) . |
|
|
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(3a 2 |
b |
, 2 |
|
5b |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Обозначим |
координаты векторов |
|
a (x1, y1, z1), |
|
|
Скалярное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
(x2 , y2 , z2 ) . |
|
произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат. Следовательно,
a2 x2 |
y2 |
z2 |
32 ( 5)2 62 9 25 36 70 , |
||
1 |
1 |
1 |
|
||
|
|
2 x2 |
y2 |
z2 |
( 1)2 ( 2)2 52 1 4 25 30, |
b |
|||||
2 |
2 |
2 |
|
a b x1x2 y1 y2 z1z2 3 (1) (5) (2) 6 5 3 10 30 37 .
Скалярное произведение (3a 2b , 2a 5b ) можно найти двумя способами.
1) (3a 2b , 2a 5b ) 6a 2 15a b 4a b 10b 2 6 70 11 37 10 30 527 ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
Найдем |
|
|
координаты |
векторов |
3a 2 |
b |
(11; 11; 8), |
2a 5 |
b |
(1; 20; 37) . |
Тогда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(3a 2 |
b |
, 2a 5 |
b |
) 111 (11) (20) 8 37 527 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 11.3. |
Вектор a |
образует с осями OX и OY углы 60 и 120 |
соответственно. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдите угол, который вектор a образует с осью OZ, если известно, что он тупой. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Обозначим угол с осью абсцисс 60 |
, с осью ординат – 120 , с осью ап- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
пликат |
|
– |
|
. По |
свойствам |
направляющих |
косинусов cos2 cos2 cos2 1. |
Тогда7 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
cos |
1 cos |
|
|
cos |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Угол 135 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 11.4. |
При каких значениях параметра |
k |
вектор |
a (k;1; k 1) |
перпендикуля- |
рен вектору b (k; 7; 3) .
Решение. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
|
y y |
z z |
k2 7 3(k 1) k2 |
3k 10 . Решим уравнение k 2 3k 10 0 . |
|||||||
Тогда a |
b |
x x |
|||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
||||||||||
Его корни k1 = –2, k2 = 5. Следовательно, a |
b |
|
при k = –2 и k = 5. |
7 Косинус тупого угла отрицателен.
39

|
|
|
|
|
|
Найдите проекцию вектора a ( 1; 7;1) на ось вектора |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 11.5. |
|
b |
(3; 4; 12) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
. Тогда |
||||||||
|
|
Решение. |
По |
свойству |
проекции |
вектора |
на |
ось имеем |
pr |
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| b | |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
x1x2 y1 y2 |
z1z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
pr |
|
, где |
a (x , y , z ), |
b |
(x , y |
2 |
, z |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
b |
|
|
x2 y2 |
z2 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Значит, pr |
|
a |
( 1) |
( 3) ( 7) 4 1 12 |
|
|
|
3 28 12 |
|
13 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3)2 |
42 122 |
|
|
|
|
9 16 144 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Пример 11.6. Докажите, что треугольник с вершинами в точках |
А(–4; 5; 2), B(2; –1; –5), |
C(4; 3; –6) – прямоугольный.
Решение. Найдем координаты векторов, на которых как на сторонах построен треуголь-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ник |
АВС: |
|
|
AC (8; 2; 8), BC (2; 4; 1) . Имеем |
|
AC BC 16 8 8 0 , |
следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
AC BC |
и треугольник АВС – прямоугольный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a | 3, |
| |
|
|
| 4 . Вычислите |
|||||||||||||||||||||||||||
160. |
Векторы |
|
a |
и b |
образуют угол 120º, |
длины |
векторов |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a 2 , |
|
2 , a |
|
, (a |
|
|
)2 , (3 a 2 |
|
|
, a 2 |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
b |
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
161. |
(*) Векторы a , b , c |
удовлетворяют условию |
a |
b |
c |
0 |
. Найдите |
a |
b |
|
b |
|
c c a , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
если |
| a | 3, | |
b |
| 1, | c | 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ka 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
162. |
При каких k |
|
|
векторы 2a kb |
b |
перпендикулярны, |
если | a | 2 2, | |
b |
| 1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
векторы |
a и |
b образуют угол 45º. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 , |
|
|
|
2 , |
|
|
|
(a |
|
)2 , (a |
|
, 2a |
|
) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
163. |
Дано |
|
a (4; 2; 3), |
b |
(6; 3; 2) . Вычислите |
b |
ab , |
b |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(3a 2 |
b |
, a 2 |
b |
), (4a 3 |
b |
, 3a 4 |
b |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
164. |
При каких k |
перпендикулярны векторы, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) a (2k; 3; 7), |
b |
(3; 5; k) ; |
|
|
б) a (k; 2; k), |
b |
(k; 3; 5) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
165. |
Найдите направляющие косинусы вектора |
a (3; 12; 4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
166. |
Найдите |
|
направляющие косинусы вектора |
a , если |
| a | 4 , |
он |
образует |
углы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
45 , 60 c осями OY и OZ соответственно и острый угол с осью OX. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
167. |
Существует |
|
|
|
|
ли |
|
вектор, |
|
образующий |
|
с |
|
|
|
|
|
осями |
координат |
углы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) 135 , 60 , 120 ; |
б) 60 |
, 120 , |
30 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
168. |
Вершины |
|
|
четырехугольника |
находятся |
в |
точках |
|
|
A(1; 2; 2), |
B(1; 4; 0), C(4;1;1) , |
D(5; 5; 3) . Докажите, что его диагонали AC и BD перпендикулярны.
169.Вычислите проекцию вектора a (5; 2; 1) на ось вектора b (2; 1; 2) .
170.Вычислите проекцию вектора a (3; 2; 5) на ось вектора b (2; 6; 3) .
171. Даны три вектора a (4; 3; 1), b (3; 2; 5), c (3; 2; 6) . Найдите pr c (3a 2b ) .
40