Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

68.	Дано a1 (3; 1; 7; 4), a2 (1; 5; 0; 6), a3 (1; 1; 3; 0) .						Найдите линейную комбинацию
	3a1 2a2 7 a3 .
69.	Будут ли линейно зависимыми системы векторов:						а) a1 (3; 2; 4), a2 (6; 4; 8) ;
	б)	a1 (1; 2; 3), a2 (2; 5; 7), a3 (4; 9; 13) ;
	в)	a1 (2; 1; 6),	a2	(5; 3; 11), a3 (5; 1; 15) ;
	г)	a1 (2; 3; 1),	a2	(4; 1; 3), a3 (2; 4; 3)
	д)	a1 (1; 4; 3; 2),		a2 (2; 6; 7; 5), a3 (2; 7; 3; 1), a4			(3; 9; 7; 1) ;
	е) a1 (1; 4; 3; 2), a2			(2; 6; 7; 5), a3 (2; 7; 3; 1), a4 (3; 9; 7; 4) ?

70.	Представьте вектор				b	(6; 17; 8) как линейную комбинацию векторов из примера
	69(г).

71.При каком k векторы линейно зависимы, если

а) a (2; 3; 2; 3),

(7; 11; 5; 6), c (4; 2; 14; 8), d

(2; 5; 0; k) ;

a (2; 3; 2; 3),

(7; 11; 5; 6), c (4; 2; 10; 8), d

(2; 5; 2; k) ;

б) a (1; 4; 2; 3),

(3; 10; 5; 6), c (4; 9; 6; 0), d

(2; 5; 6; k) ?

При каком векторы

72.

a (1; 2; 2; 1),

(1; 2; 0; 3), c (1; 3; 2; 2), d

(2; 1; 3; )

линейно зависимы?

73.

Известно, что вектор a (3;1; 8) выражается через векторы

(1; 1; 2) и

c (4; 3;1) .

Найдите коэффициенты этого разложения.

74.Пусть x, y, z – линейно независимая система векторов. Будут ли линейно зависимыми

системы векторов а) x, x y, x y z ; б) x y, y z , x z ; в) x y, y z , z x ?.

75.Пусть L={(x1; x2; x3)| x3=0}. Проверьте, что L – линейное пространство.

76.Образует ли линейное пространство множество многочленов, степени которых меньше или равны n, с обычными операциями сложения и умножения многочленов на число.

77. Докажите, что множество положительных чисел R {x | x 0} с операциями сложе-

ния x y xy и умножения на число x x образует линейное пространство.

78.Образуют ли линейное пространство множества векторов из Rn , удовлетворяющих ус-

ловиям: а) {(x1; x2; …; xn)|x1+x2+…+xn = 0};

б) {(x1; x2; …; xn)| x1+x2+…+xn = 1}.

79.

В каноническом базисе даны четыре вектора

f1 (3; 2; 1), f2 ( 1; 1; 2), f3 (2; 1; 3)

a (3; 5; 6) . Докажите, что векторы

образуют базис. Найдите матрицу пере-

f1,

f2 , f3

хода к новому базису и координаты вектора a в этом базисе.

80.

В каноническом базисе даны четыре

вектора f1 (1; 1; 1), f2 (1; 1; 2), f3 (1; 2; 3)

a (6; 9;14) . Докажите, что векторы

образуют базис. Найдите матрицу пере-

f1,

f2 , f3

хода к новому базису и координаты вектора a в этом базисе.

			2		1		1		1		2
81. В каноническом базисе даны векторы	a1	0;		;		, a2		;		;		,


			5		5		6		6		6

	5		1		2
a3		;		;		. Докажите, что они образуют ортонормированный базис. Най-
a3		;		;		. Докажите, что они образуют ортонормированный базис. Най-
	30		30		30

дите матрицу перехода и координаты вектора x (1; 1; 2) в этом базисе.

§ 6. Ранг матрицы.

Для решения задач необходимо изучить материал § 12 главы 1 теоретического пособия.

	1	2	1 3				1	2	1	3
Пример 6.1. Найдите ранги матриц A1	2	3	9	1	и	A2	2	3	9	1	.
	3	1	0	4			3	1	8	4
	3	1	0	4			3	1	8	4

Решение. Ранг матрицы равен порядку наибольшего отличного от нуля минора матрицы (базисного минора).

а) В матрице существуют ненулевые миноры первого порядка 1 = 1, второго порядка

	1	2	3 4 7				2	1	1	2	1	7	7
						1
						1
				и третьего порядка		2	3	9	0	7	7			56 . Ми-
2	2	3			3	3	1	0	0	5	3	5	3
2					3

норов большего порядка в матрице не существует. Следовательно, r(A1) = 3.

б) В матрице существуют ненулевые миноры первого порядка 1 = 1 и второго порядка

	1	2	3 4 7 . Покажем, что оба минора третьего порядка равны нулю:
2	2	3
2

			1	1	2	1				1 2		3			1	2 1
		1 2	1	1	2	1				1 2		3			1	2 1
		2 3	9	0	7	7	0,		2 3			1			0	7	7	0 . Следовательно,
3		3 1	8	0	5	5		3		3 1		4			0	5 5
		3 1	8	0	5	5				3 1		4			0	5 5
r(A2) = 2.
										1			0	4		10
	Пример 6.2. Найдите ранг матрицы										7		4	8		18
	Пример 6.2. Найдите ранг матрицы									A 17			10	18		40	.
											3		1	7		17
											3		1	7		17

Решение. Ранг матрицы равен порядку наибольшего отличного от нуля минора матрицы (базисного минора). Но перебирать все миноры данной матрицы – процесс трудоемкий. Поэтому используем второе определение ранга матрицы: ранг – это число ее линейно независимых строк и будем искать ранг матрицы с помощью элементарных преобразований строк матрицы. Заметим, что при элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не изменяется.

	1		0	4	10		II 7 I
		7	4	8	18
A 17			10	18	40		III 17 I
		3	1	7	17		IV 3I
		3	1	7	17
1		0	4	10
	0	1	5	13			1	0	4
	0	0	0	0		0		1	5
	0	0	0	0
	0	0	0	0

1		0	4	10		1 0 4				10
	0	4	20	52	II : 4		0	1	5	13	III II
	0	10	50	130	III :10		0	1	5	13	IV II
	0	1	5	13			0	1	5	13
	0	1	5	13			0	1	5	13

1310 . Ранг матрицы равен 2 (r(A) = 2) и базисный минор

1	0	1 расположен в левом верхнем углу.
0	1

	1		2	3	1	1	2
		2	1	1	0	2	2
Пример 6.3. Найдите ранг матрицы	A	2	5	8	4	3	1	.
		6	0	1	2	7	5
		1	1	1	1	2	1
		1	1	1	1	2	1

Решение. Используем второе определение ранга матрицы – это число ее линейно независимых строк. Ранг матрицы будем искать методом элементарных преобразований:

1		2	3	1
	2	1	1	0
A	2	5	8	4
	6	0	1	2
	1	1	1	1
	1	1	1	1

1		2	3	1	1
	0	3	5	2	0
	0	0	1	0	1
	0	0	1	0	1
	0	0	1	0	1
	0	0	1	0	1

1	2	II 2 I
2	2
		III+ 2 I
3	1
		IV 6 I
7	5
		V+ I
2	1

2	1		2	3
2		0	3	5
1		0	0	1
1		0	0	0
1		0	0	0
1		0	0	0

1		2
	0	3
	0	9
	0	12
	0	3

1		1
2		0
0		1
0		0
0		0

Ранг матрицы А равен 3 (r(A) = 3). В матрице

3	1		1
5	2		0
14	6		1
19	8		1
4	2		1
2			2
2	1
1		0	3
0		0	0

0

2
2	III+ 3 II
5	IV 4 II
7	V+ II
1
1
3	1	1	2
5	2	0	2	.
1	0	1	1
1	0	1	1

А есть 3 линейно независимых строки,

		2	3
	1	2	3
так как минор M	0	3	5	0 .
	0	0	1

	1		2	3	1	2
Пример 6.4. При каких значениях а и b ранг матрицы		2	3	1	7	5	равен 2.
Пример 6.4. При каких значениях а и b ранг матрицы	A	3	8	5	b	8	равен 2.
		2	a	13	3	3
		2	a	13	3	3

Решение. Ранг матрицы будем искать методом элементарных преобразований:

	1		2	3	1	2	II 2 I		1		2	3	1	2	III 2 II
		2	3	1	7	5				0	7	7	5	1	III 2 II
A		3	8	5	b	8	III 3I			0	14	14	b 3	2	IV+ II
		2 a 13			3	3	IV 3I			0	a 4	7	5
		2 a 13			3	3				0	a 4	7	5	1
1			2	3		1	2
	0		7	7		5	1
	0		0	0	b 13		0	.
	0		a 11	0		0	0
	0		a 11	0		0	0

Ранг матрицы А равен 2, если третья и четвертая строки матрицы нулевые. Следователь-

но, a + 11 = 0 a = –11 и b – 13 =0 b = 13.
	1	2	1
Пример 6.5. Докажите, что третья строка матрицы A	4	1	2 является линей-
	3	12
	3	12	1

ной комбинацией первых двух.

Решение. Если третья строка матрицы А является линейной комбинацией первых двух,

то строки			матрицы			линейно зависимы. Вычислим определитель матрицы.
		2	1	1	2	1
	1	2	1	1	2	1
det A	4	1	2	0	9	2	0 (строки определителя пропорциональны). Так как минор
	3	12	1	0	18	4

M 1 2 0 , то первая и вторая строки матрицы линейно независимы и третья строка яв-

4 1

ляется их линейной комбинацией. Найдем коэффициенты этой линейной комбинации. Пусть

	4		3,
(3, 12, 1) 1(1, 2, 1) 2 (4, 1, 2) . Это равенство равносильно системе	1	2	12,
	2 1	2	12,
	2		1.
	1	2
	1	2

Сложив первое и третье уравнения, найдем 2 :	22		4 2 2 . Подставим 2 в первое
уравнение 1 42 3 5 . Проверим, что второе уравнение при этих значениях λ верно:
21 2 10 2 12 . Следовательно, (3, 12, 1) 5(1, 2, 1) 2(4, 1, 2) .
Упражнения.
1		3	2	4
82. Докажите, что третья строка матрицы A	3	1	5	2	является линейной комби-
	7	3	11	14

нацией первых двух.
2		1	3	2	4			1		3	5	1
2		1	3	2	4				2	1	3	4
83. Вычислите ранги матриц а)	4	2	5	1	7	;	б)		2	1	3	4	;
	2	1	1	8	2				5	1	1	7
	2	1	1	8	2				7	7	9	5
									7	7	9	5

1			2	3		1	3			2	1	11 2				1		2	1 1		1	1
1			2	3		1	3			1	0	4	1				2	1	1	2	2	3
в)	3		1 4					;		1	0	4	1				2	1	1	2	2	3
в)	3		1 4			7 1		;	г)	11	4	56 5		;	е)		3	2	1	1	1	2	.
	5		5 10			5	5				1	5 6					2	5	1 2		2	2
										2	1	5 6					2	5	1 2		2	2
84. При каких значениях m и n ранг матрицы А равен 2, если
		2		1 3		1 2			4			1 4			1		3 2		5
			1	3 2		1		2	1				1	7	2		4 3		9
а) A			4	5	m	1		2	6	;	б)	A	2	m	7		9	2	22	.
			3	5	4	n		6	7				3	15	0		10	1	n
			3	5	4	n		6	7				3	15	0		10	1	n

§ 7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусс решения систем линейных уравнений.

Для решения задач необходимо изучить материал §§ 9, 13 и 14 главы 1 теоретического пособия.

Пример 7.1. Найдите общее решение и какое-либо частное решение системы линейных

x1		7x2		9x3		4x4		2,
2x1		2x2		3x3		5x4		4,
уравнений (СЛУ) 5x			3x		5x		12x		10,
6x1			2x2		x 3		13x4		12.
	1		2		3		4

Решение. По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений совместна тогда и только когда, когда ранги ее основной и расширенной матриц равны.

Найдем ранг расширенной матрицы системы

1		7	9	4	\|	2	II 2 I	1		7	9	4	\|	2
A	2	2	3	5	\|	4	III 5I		0	12	15	3	\|	0
	5	3	5	12	\|	10	IV 6 I		0	32	40	8	\|	0
	6	2	1	13	\|	12	IV 6 I		0	44	55	11	\|	0
	6	2	1	13	\|	12			0	44	55	11	\|	0

II : ( 3) III : ( 8)

IV : ( 11)

1		7	9	4	\| 2		1		7	9	4	\| 2			9	11				.
	0	4	5	1	\|	0		0	4	5	1	\|	0	1	9	11	0	\|	2
	0	4	5	1	\| 0			0	0	0	0	\| 0		0	4	5	1	\|	0
	0	4	5	1	\|	0		0	0	0	0	\|	0
	0	4	5	1	\|	0		0	0	0	0	\|	0

Ранги основной и расширенной матриц равны r( A) r( A) 2 . По теореме КронекераКапелли система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы равен 2, то два неизвестных являются базисными. В качестве базисных неизвестных возьмем х1 и х4.

Минор, составленный из коэффициентов при этих неизвестных						1	0	1 0 . Общее решение
						0	1
x1	9x2	11x3	2,	x1	9x2				11x3	2,
системы имеет вид 4x	5x	x	0,	x	4x				5x .
2	3	4		4	2				3

Задавая свободные переменные, получим частное решение системы: пусть х2 = 1, х3 = –1, тогда х1 = 0, х4 = 1 и (0; 1; –1; 1) – частное решение системы. Задавая другие значения свободных переменных, получим другое частное решение, например, (–13; 2; –3; 7).

Выполним проверку. Подставим решение						(13; 2; 3; 7) во все уравнения системы
13	14	27	28	2,	2		2,
26	4	9	35	4,	4		4,
65	6	15	84	10,	10		10,
78	4	3	91	12,	12		12.

Получили верные равенства.

Пример 7.2. Найдите общее решение и какое-либо частное решение системы линейных

x1		x2	2x3		5x4		2x5			2,
2x1		3x2	5x3		4x4		x5			7,
уравнений (СЛУ) 3x		5x		3x		x		2x		3,
x	1	2		3		4			5	8.
				6x		7x		x
1				3		4		5

Найдем ранг расширенной матрицы системы:

1		1	2	5	2	\|	2
A	2	3	5	4	1	\| 7
	3	5	3	1	2	\|	3
	1	0	6	7	1	\|	8
	1	0	6	7	1	\|	8

II 2I III 3I IV I

1		1	2	5	2	\|	2	III 2II
	0	1	1	14	5	\|	3	III 2II
	0	2	3	16	4	\|	3	IV II
	0	1	4	2	1	\|	6
	0	1	4	2	1	\|	6

1		0	1	19	7	\|	2		1		0	1	19	7	\|	1
0		1	1	14	5	\|	3
									0		1	1	14	5	\|	3	III : ( 5)
0		0	5	12	6	\|	9
										0	0	5 12 6 \|				9
	0	0	5	12	6	\|	9

1		0	1	19	7		\|	1		I III		1		0	0	21, 4	8, 2	\|	2,8
	0	1	1	14	5		\|	3		II III			0	1	0	11, 6	3,8	\|	1, 2	.
	0	0	1	2, 4	1, 2		\| 1,8						0	0	1	2, 4	1, 2	\|	1,8

Ранги основной и расширенной матриц равны r( A) r( A) 3 . По теореме КронекераКапелли система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы равен 3, то три неизвестных являются базисными. В качестве базисных неизвестных возьмем х1 х2 и х3.

	1	0	0	1 0 . Общее ре-
Минор, составленный из коэффициентов при этих неизвестных	0	1	0	1 0 . Общее ре-
	0	0	1

	x		2,8	21, 4x	8, 2x
шение системы имеет вид		1	1, 2	4	5
шение системы имеет вид	x2		1, 2	11,6x4	3,8x5
		x	1,8	2, 4x	1, 2x
	3			4	5

Задавая свободные переменные, получим частное решение системы: пусть х4 = –5, х5 = 1, тогда х1 = 96, х2 = 53, х3 = –9 и (96; 53; –9; –5; 1) – частное решение системы.

Проверку выполните самостоятельно.

Пример 7.3. Найдите общее решение и какое-либо частное решение системы линейных

				x1		3x2				x3				2x4	2,
				2x1		5x2				7x3				5x4	9,
уравнений				5x			12x				3x			4x		11, .
					1				2		3			4
				3x			7x				13x			12x		15.
					1			2			3			4
	Решение. Найдем ранг расширенной матрицы системы
	1		3	1		2	\|	2		II 2 I		1		3	1	2	\|	2	III 3II
A		2	5	7		5	\|	9		III 5I			0	1	5	9	\|	5	III 3II
		5	12	3		4	\|	11		IV 3I			0	3	2	6	\|	1	IV 2 II
		3	7	13		12	\|			IV 3I			0	2	10	18	\|	9
		3	7	13		12	\|	15					0	2	10	18	\|	9
1			3	1		2	\|		2
	0		1	5		9	\|		5
	0	0		17		21 \|			14 .
	0		0	0		0	\|		1
	0		0	0		0	\|		1

В этой системе ранг основной матрицы равен 3 ( r(A) 3 ), а ранг расширенной матрицы равен 4 ( r( A) 4 ). По теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Пример 7.4. При каком значении параметра λ система линейных уравнений

x1		2x2		3x3			x4		3x5		7,
2x1			3x2		10x3			x4		2x5		1,
3x		4x		17x			3x		7x			9,
	1		2			3		4		5		.
3x			7x		5x			6x		17x
	1		2		3			4		5

совместна. Решите систему при данном значении λ. Решение. Найдем ранг расширенной матрицы системы

		1		2		3	1		3	\|	7	II 2 I	1		2	3	1	3	\|	7	III 2 II
A			2	3		10	1		2	\|	1	III 3I		0	1	4	3	8	\|	15	III 2 II
			3	4		17	3		7	\|	9	IV 3I		0	2	8	6	16	\|	30	IV II
			3	7		5	6		17	\|		IV 3I		0	1	4	3	8	\|
			3	7		5	6		17	\|				0	1	4	3	8	\|	21
1		2		3		1	3	\|		7
	0		1	4		3	8	\|	15
	0		0	0		0	0	\|		0	.
	0	0 0			0		0	\|	36
	0	0 0			0		0	\|	36

В этой системе ранг основной матрицы равен 2 ( r( A) 2 ). Чтобы ранг расширенной мат-

рицы был равен 2, необходимо, чтобы 36 0 . По теореме Кронекера-Капелли система совместна при 36 . При этом значении имеем

1	2	3	1	3 \|	7	1	0	11 5		13 \|	23
A 0	1	4	3	8 \|	15	0	1	4	3	8 \|	15

и общее решение системы имеет вид:

x1	23	11x3	5x4	13x5	,
x	15	4x	3x	8x .
2		3	4	5

Упражнения.

Решите методом Гаусса системы.

	x			3x			2x		x		2,
		1		2x2			2x3		x4		13,
85.	x			2x2			x 3		x4		12,
		1			2		3		4
	x			x			3x				12;
		1		2			3
	x1		x2			2x3		x4		0,
	2x		x			3x		x		2,
86.	4x1				x2		2x3		x4		4,
		1			2		3		4
	2x			2x			5x		x		12;
		1			2		3		4

87.110x18x11

2x13x 88. 9x1

x11

x15x 89. 4x1

2x11

3x12x 90. 7x1

x11

2x12x 91. 2x1

2x11

x12x 92. 7x1

2x11

x1 93. 2x15x1

x1 94. 3x12x1

x1 95. 2x15x1

3x2	4x3	2x4	6,
4x2	2x3	2x4	16,
2x	16x	4x	20,
9x2	5x 3	5x4	28;
2	3	4

7x2		3x3			x4			6,
5x2		2x3			2x4			4,
4x2		x3			7x4			2,
	13x2		6x3				2x4		12;
x2		x3			2x4			7,
	3x2		5x3			2x4			15,
			3x3			5x4			12,
	4x2		2x3			6x4			19;
4x2		x3			2x4			3,
	x2		2x3						4,
	6x2		3x3				2x4		11,
	8x2		11x3				6x4		7;
	3x2		3x3				x4		1,
	3x2		7x3				9x4		11,
			3x3				2x4		0,
	3x2		16x3			14x4			12;
2x2		x3			3x4			4,
	x2		3x3				x4		1,
	4x2		9x3			11x4			10,
4x2		5x3			x4			8;
x2			x3	2x4				x5		3,
x2			x3		x4		3x5			2,
x2		x3					5x5			7;
x2		3x3			2x4				x5	3,
x2		2x3			x4				x5	1,
2x2		x3			2x4			3x5		4;

x2		x3		2x4		x5		3,
	4x2		x3		3x4		x5		2,
	9x2		x3		8x4		x5		1;

96. 3x15x1x1

97. 2x14x5x11

98. 3x12x3x11

x12x 99. 3x1

7x11

x13x 100. 6x15x11

x12x 101. 3x1

6x11

x12x 102. 4x1

3x11

2x13x 103. 4x1

x11

x13x 104. 2x1

x11

2x14x 105. 6x1112x1

x12x 106. 3x1

x11

x12x 107. 5x1

x11

x2		2x3		x4		2,
	2x2		x3		5x4		14,
	3x2		3x3		10x4		25,
			5x3		7x4		10;
2x2		2x3		x4			x5	3,
	3x2		x3		3x4		x5		1,
7x2		3x3		x4			x5	5,
8x2				5x4			x5	1;
x2		2x3		x4			3x5		2,
4x2		2x3		x4			2x5		5,
3x2		x3		2x4			4x5		4,
5x2		3x3		x4			4x5		5;
2x2		2x3		x4			3x5		5,
5x2		3x3		2x4			x5		1,
5x2		2x3		x4			3x5			2,
14x2		9x3		x4			8x5		9;
	x2		x3		2x4		2x5			2,
	2x2		2x3		5x4		4x5			3,
5x2		5x3		11x4			2x5			9,
	3x2		3x3		7x4		5x5			7;
x2		3x3		2x4			3x5		1,
x2		8x3		x4			x5		3,
x2		13x3					5x5		5,
3x2		24x3		3x4			3x5		9;
x2		2x3		5x4			x5		2,
	3x2		7x3		8x4		x5			1,
3x2		11x3		18x4			x5		3,
	x2		12x3		11x4		3x5			4;
	5x2		3x3		2x4		5x5			1,
	8x2		4x3		8x4		9x5			5,
11x2		6x3		11x4		13x5			9,
2x2		2x3		4x4			x5		3;
2x2		2x3		x4			3x5		6,
	5x2		7x3		2x4		x5			1,
3x2		5x3		x4			4x5			7,
	3x2		x3		2x4		13x5			23;

	3x2		x3		2x4		5x5		1,
5x2		4x3		9x4		x5		6,
7x2		6x3		4x4		x5		2,
	15x2		11x3		15x4		5x5		7;

	x2		3x3		2x4		x5		5,
3x2		8x3		5x4		4x5		1,
4x2		9x3		8x4		5x5		9,
	2x2		7x3		2x4		3x5		7;

3x2		2x3		x4		4x5		7,
7x2		x3		5x4		x5		1,
	18x2		x3		16x4		x5		4,
	2x2		5x3		8x4		11x5		20.

108. При каких система уравнений совместна.

		3x				2x			5x						4x		3,
		2x1				3x2			6x3					8x4			5,
	а)	x			1			2			3				4				11,
	а)	x					6x			9x				20x					11,
		4x				x		2	4x					x		4	2;
				1				2			3					4
					1		2				3				4
	Решите систему при = 1;
		2x1				x2			3x3						x4		2,
	б)	x1				x2			x3					2x4			5,
	б)	5x				3x			7x					4x			9,
		5x1				4x2			6x3					7x4					;
					1			2			3				4
		x1				3x2			2x3						x4		3,
	в)	5x1				11x2			7x3						8x4		5,
	в)					11x			5x						2x		3,
			3x			11x			5x						2x		3,
		x			1		x	2			x	3			x4				7.
				1			2				3					4
109.	(*) Решите систему уравнений
	ax1						2x2						3x3						3x4		1,
	2x1					(a 3)x2							6x3						6x4		a 1,
	3x						6x				(a 8)x								9x		a 2,
			1					2						3					4		a 2.
	3x						6x						9x				(a 8)x			4	a 2.
			1					2					3							4
110.	(*) Найдите квадратную матрицу третьего порядка, если
	1					1		1			1			3			0
	A		2			1	, A		2			0	, A		1			1	.
			3			1			1			1			1			0

§ 8. Системы линейных однородных уравнений.

Для решения задач необходимо изучить материал §15 главы 1 теоретического пособия.

Пример 8.1. Найдите фундаментальную систему решений (ФСР) системы линейных однородных уравнений (СЛОУ), если известно ее общее решение

x1	2x3	3x4	7x5	,
x	x	9x	4x .
2	3	4	5

Решение. Решения, входящие в фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений, линейно независимы, и любое решение системы линейных однородных уравнений можно представить, как линейную комбинацию решений из фундаментальной системы решений. Число решений в фундаментальной системе решений равно числу свободных неизвестных. Найдем фундаментальную систему решений, придавая последовательно одной неизвестной значение 1, а остальным 0:

x3	1, x4	0, x5	0 x1	2, x2	1, e1	(2; 1; 1; 0; 0) ;
x3	0, x4	1, x5	0 x1	3, x2 9,		e2	(3; 9; 0; 1; 0) ;
x3	0, x4	0, x5	1 x1	7, x2	4,	e3	(7; 4; 0; 0; 1) .

Эти		решения			линейно независимы. Действительно,		три строки матрицы решений
	2	1	1	0	0
	3	9	0	1	0	линейно независимы, так как минор,	составленный из элементов трех
	4	4	0	0	1

последних столбцов, отличен от нуля: M	1	0	0	0 .
последних столбцов, отличен от нуля: M	0	1	0	0 .
	0	0	1
Общее решение этой системы линейных однородных уравнений имеет вид

x c1e1 c2e2 c3e3 .

Покажем, что произвольное решение системы можно выразить через фундаментальную

систему решений. Пусть	x3 5, x4 2, x5 4 x1 12, x2 3 x (12; 3; 5; 2; 4) .
Коэффициенты разложения	вектора x по векторам e1, e2 , e3 найдем из равенства

(12; 3; 5; 2; 4) c1(2; 1; 1; 0; 0) c2 (3; 9; 0; 1; 0) c3 (7; 4; 0; 0; 1) . Записав это равенство в координатной форме и решив полученную систему уравнений, увидим, что с1 = 5, с2 = –2,

с3 = –4

и (12; 3; 5; 2; 4) 5(2; 1; 1; 0; 0) 2( 3; 9; 0; 1; 0) 4(7; 4; 0; 0; 1) 5e1 2e2

4e3 .

Сводным переменным можно придавать любые значения и

находить коэффициенты

представления решения через ФСР.

Пример 8.2.

Найдите

общее

решение системы линейных

однородных

уравнений

3x2

2x3

5x5

2x1

5x2

4x4

2x5

0, .

13x

Найдите фундаментальную систему решений.

Решение. Составим матрицу систему и преобразуем эту матрицу, получая нули в столбцах:

1		3
	2	5
	3	7
	1	4
	1	4
	10	10

5		II 2 I
2		III 3 I
1
13		IV I
		.
19
8

1		3	2	1
	0	1	5	2
	0	2	10	4
	0	1	5	2
	0	1	5	2

5		I 3 II
8		III 2 II
16		III 2 II
8		IV II
8

1		0	13	7	19
	0	1	5	2	8
	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0

	Ранг матрицы системы равен 2, неизвестные х1					и х2 – базисные, неизвестные х3, х4 и х5 –
					x	13x		7x	19x ,
свободные. Запишем общее решение системы x1							5x 3	2x4	8x 5.
					2		3	4	5
	Найдем фундаментальную систему решений данной системы линейных однородных
уравнений:
x3	1, x4	0, x5	0 x1	13, x2 5,	e1 (13; 5; 1; 0; 0) ;
x3	0, x4	1, x5	0 x1	7, x2 2,	e2 (7; 2; 0; 1; 0) ;
x3	0, x4	0, x5	1 x1	19, x2 8,	e3 (19; 8; 0; 0; 1) .
	Общее решение системы имеет вид x c1e1 c2e2						c3e3 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023282.97 Кб2Ландшафтоведение.-1.pdf
#
05.02.2023283.09 Кб1Ландшафтоведение..pdf
#
05.02.20235.04 Mб12Лекции по аналоговым электронным устройствам..pdf
#
05.02.20232.9 Mб6Лекционный демонстрационный материал «Сети связи»..pdf
#
05.02.20231.35 Mб6Линейная алгебра. Аналитическая геометрия.pdf
#
05.02.20231.22 Mб7Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1.pdf
#
05.02.2023899.42 Кб2Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.pdf
#
05.02.2023583.47 Кб3Линейная алгебра.-1.pdf
#
05.02.2023637.62 Кб3Линейная алгебра..pdf
#
05.02.20231.39 Mб8Линейные программы с графическим интерфейсом в среде Lazarus..pdf
#
05.02.20231.71 Mб2Линейные программы..pdf

1		7	9	4	\| 2		1		7	9	4	\| 2			9	11				.
	0	4	5	1	\|	0		0	4	5	1	\|	0	1	9	11	0	\|	2
	0	4	5	1	\| 0			0	0	0	0	\| 0		0	4	5	1	\|	0
	0	4	5	1	\|	0		0	0	0	0	\|	0
	0	4	5	1	\|	0		0	0	0	0	\|	0

	x			3x			2x		x		2,
		1		2x2			2x3		x4		13,
85.	x			2x2			x 3		x4		12,
		1			2		3		4
	x			x			3x				12;
		1		2			3
	x1		x2			2x3		x4		0,
	2x		x			3x		x		2,
86.	4x1				x2		2x3		x4		4,
		1			2		3		4
	2x			2x			5x		x		12;
		1			2		3		4

1		7	9	4	\| 2		1		7	9	4	\| 2			9	11				.
	0	4	5	1	\|	0		0	4	5	1	\|	0	1	9	11	0	\|	2
	0	4	5	1	\| 0			0	0	0	0	\| 0		0	4	5	1	\|	0
	0	4	5	1	\|	0		0	0	0	0	\|	0
	0	4	5	1	\|	0		0	0	0	0	\|	0

	x			3x			2x		x		2,
		1		2x2			2x3		x4		13,
85.	x			2x2			x 3		x4		12,
		1			2		3		4
	x			x			3x				12;
		1		2			3
	x1		x2			2x3		x4		0,
	2x		x			3x		x		2,
86.	4x1				x2		2x3		x4		4,
		1			2		3		4
	2x			2x			5x		x		12;
		1			2		3		4

1		7	9	4	\| 2		1		7	9	4	\| 2			9	11				.
	0	4	5	1	\|	0		0	4	5	1	\|	0	1	9	11	0	\|	2
	0	4	5	1	\| 0			0	0	0	0	\| 0		0	4	5	1	\|	0
	0	4	5	1	\|	0		0	0	0	0	\|	0
	0	4	5	1	\|	0		0	0	0	0	\|	0

	x			3x			2x		x		2,
		1		2x2			2x3		x4		13,
85.	x			2x2			x 3		x4		12,
		1			2		3		4
	x			x			3x				12;
		1		2			3
	x1		x2			2x3		x4		0,
	2x		x			3x		x		2,
86.	4x1				x2		2x3		x4		4,
		1			2		3		4
	2x			2x			5x		x		12;
		1			2		3		4