Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1

ны, если их скалярное произведение равно нулю. Имеем

n1 n2 3k (k 3)(k 1) 9 0 . Ре-

шим квадратное уравнение 3k k2 3k k 3 9 0 k2

k 12 0 k

3, k

2

4 . Итак,

1

торам a (1; 2; 1)

и

b

( 3; 1; 5) .

пендикулярно плоскости

3x 2x 5z 2 0 .

217.

При каких значениях k и m будут параллельны плоскости

а) 2x ky 3z 5 0 и mx 6 y 6z 2 0 ;

б) mx 3y 2z 1 0 и

5x 15y kz 7 0 .

218.

При каких значениях k будут перпендикулярны плоскости

а) 5x y 3z 1 0 и 2x ky 3z 4 0 ;

б) 7x 2 y kz 0 и kx 5y 3z 1 0 ;

в) kx 2y 3z 5 0 и (k 2)x 3y kz 0 .

219.

Будут ли перпендикулярны плоскости 3x 3y 5z 4 0

и 3x 7 y 6z 1 0 ?

220.

Вычислите расстояние от точки

P(–1; 1; –2) до плоскости, проходящей через точки

M1(1; –1; 1), M2(–2; 1; 3) и M3(4; –5; –2).

221.

Найдите объем куба, две грани которого лежат в плоскостях 2x 2 y z 1 0 и

2x 2 y z 5 0 .

222.

Докажите, что плоскости

x 2y z 7 0, 2x y z 2 0, x 3y 2z 11 0 имеют

одну общую точку. Найдите координаты этой точки.

223.

Найдите угол между плоскостями

5x 2 y 6z 13 0 и

6x 3y 4z 2 0 .

x 5

y 1

z

.

а) параллельно вектору

l

(2; 3; 4) , б) параллельно прямой

4

2

3

параллельно вектору

x x0

y y0

z z0

. Для искомой прямой получим

l

(m; n; p) :

m

n

p

каноническое уравнение

x 5

y 2

z 4

.

2

3

4

б) Прямая

x 5

y 1

z

задана каноническим уравнением и ее направляющий вектор

4

2

3

(4; 2; 3) . Тогда каноническое уравнение искомой прямой имеет вид

x 5

y 2

z 4

.

l

4

2

3

ходящей через эту точку (аксиома стереометрии). В условии задачи пря-

мая задана как линия пересечения двух плоскостей. Для каждой из плос-

l

костей задан ее нормальный вектор: для плоскости 1 : n1

(2; 4; 1) и для

n2

плоскости 2 : n2 (3; 2; 4) . Так как прямая l лежит в

плоскости 1, и

n1

i

j

k

4

1

2

1

2

4

l

n n

2

4

1

i

j

k

18

i

5

j

16

k

( 18; 5;16) .

1

2

3

2

4

2

4

3

4

3

2

x 4

y 2

z 5

Запишем каноническое уравнение искомой прямой

.

18

5

16

Пример 17.3. Составьте параметрическое уравнение прямой 3x y 4z 1 0, .

2x

2y z 7 0.

Решение.

1 способ. Направляющий вектор прямой найдем так, как это было сделано в

предыдущем примере. Имеем n1 (3; 1; 4), n2

(2; 2; 1) . Тогда

i

j

k

1

4

3

4

3

1

l

n n

3

1

4

i

j

k

9

i

11

j

4

k

(9; 11; 4) .

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

Чтобы написать уравнение прямой, нужно еще задать на прямой точку. Для этого доста-

точно найти частное решение системы уравнений

3x y 4z 1 0,

Пусть z = 1. Тогда сис-

2x 2y z 7 0.

3x y 5 0,

y 3 x,

y 3 x,

y 2,

тема примет вид

2x

2 y 6 0. 3x (3

x)

5 0, 2x 2 0, x 1. На прямой

x x

mt,

0

nt, где М0(x0; y0; z0) – точка, ле-

Параметрическое уравнение прямой имеет вид y y0

z z

pt,

0

жащая на прямой,

l

(m; n; p) – направляющий вектор прямой, t R .

x 1 9t,

Запишем параметрическое уравнение искомой прямой: y 2

11t,

z 1

4t.

2 способ. Воспользуемся аксиомой, через две точки всегда можно провести единствен-

3x y 11 0,

y 5 x,

y 13,

гда система примет вид

2x 2 y

10 0. 3x

(5 x)

11 0, x 8. На прямой лежит

точка

M1(–8; 13; –3).

Запишем

уравнение

прямой, проходящей

через

две точки

x x0

y y0

z z0

. Имеем

x 1

y 2

z 1

x 1

y 2

z 1

.

Умножим все

x x

y

z

13 2

3 1

9

y

z

0

8 1

11

4

1

0

1

0

1

x 7

z 1

2(z 1)

2z 33

,

x

7,

x

,

2

5

5

5

Откуда

1)

7

ний y 2

z 1

3(z

3z

.

y

2,

y

.

3

5

5

5

Подставим найденные значения х

и у в уравнение плоскости

4

2z 33

3

3z 7

5z 9 0

8z 132 9z 21 25z 45

0 26z 156 0 z 6 .

5

5

5

5

Тогда x

2z 33

12 33

9,

y

3z 7

18 7 5 . Точка пересечения прямой и

5

5

5

5

плоскости M (9; 5; 6) .

x 7 2t,

2 способ. Запишем параметрическое уравнение заданной прямой

y 2 3t, и подста-

z 1 5t.

Пример 17.5. Найдите угол между прямыми

x 1

y 1

z

1

и

x 5

y 2

z

3

.

1

2

4

5

2

45

(2; 4;

(2; 1;

ми. Имеем

l1

5),

l2

45) . По свойствам скалярного произведения

l1

l2

2 2

4 (1) 5 45

5

3 5

3

cos

0, 3 2 . Тогда угол

| |

5

|

l1

l2

|

50

5

2

22

42

(

5)2

22 ( 1)2 (

45)2

лельно а) вектору a (2; 5; 4)

б) прямой

x 3

y 1

z 2

.

7

2

3

228.

а) Составьте каноническое уравнение прямой x 3y 2z 6 0,

б) Составьте кано-

2x y

3z 2

0.

ническое уравнение прямой, проходящей через точку M1(4; –3; 5)

параллельно найден-

ной в пункте а) прямой.

229.

Составьте каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M1(–3; 1; 2) пер-

пендикулярно плоскости 3x 7 y 2z 17 0 .

230.

Найдите точку пересечения прямой

x 1

y 1

z

и плоскости

2x 3y z 3 0 .

2

1

6

231.

Найдите точку пересечения прямой

x 3

y 2

z 1

и плоскости x 2y z 10 0 .

3

2

5

x 4

y 1

z 5

x y z 26 0,

232.

Проверьте, будут ли параллельны прямые

и

x y 5z 2 0.

3

2

1

233.

При каких значениях А и D прямая

x 3 4t, y 1 4t, z 3 t лежит в плоскости

Ax 2y 4z D 0 .

234.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей

x 2 y z 6 0 и 3x y 2z 4 0 и точку М(1; 1; 1).

235.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей

2x y 3z 6 0 и x 2 y z 2 0

параллельно вектору a (2; 1; 2) .

236.

Найдите угол между прямыми

x 3

y 2

z 1

и

x 5

y 2

z 3

.

2

2

1

4

3

5

Пример 18.1. Докажите, что уравнение x2 y2

6x 8 y 11 задает окружность, найдите

ее центр и радиус.

Решение. Уравнение окружности с центром в точке

А(х0;у0)

радиуса R имеет вид

(x x )2

( y y )2

R2 .

0

0

Выделим

в

уравнении

полные

квадраты

относительно

переменных

х

и у:

x2 6x 9 y2 8 y 16 11 9 16 (x 3)2 ( y 4)2 36 .

Центр окружности находится в

точке А(3; –4), а ее радиус равен R = 6.

Пример 18.2.

Запишите уравнение окружности, проходящей через точку

В(5; –1), если

центр ее совпадает с точкой А(–3; 2).

Решение. Уравнение окружности с центром в точке

А(х0;у0)

радиуса R имеет вид

(x x )2

( y y )2

R2 .

0

0

Найдем радиус окружности R | AB |

(5 3)2 ( 1 2)2

73 .

Запишем уравнение окружности (x 3)2 ( y 2)2

73 .

Пример 18.3.

Запишите уравнение окружности, проходящей через три точки А(–3; 7),

В(4; 8) и С(5; 1).

Решение. Уравнение окружности с центром в точке

О(х0;у0) радиуса R имеет вид

(x x )2

( y y )2

R2

или, что тоже, расстояния от точек А,

В и

С до точки О одинако-

0

0

вы и равны радиусу окружности. Запишем уравнения окружности для точек А,

В и С:

( 3 x )2 (7 y )2

R2 ,

( 3 x )2

(7 y )2

R2 ,

0

0

II I

0

0

(4 x0 )

2

(8 y0 )

2

2

2

( 3 x0 )

2

(8 y0 )

2

y0 )

2

R

,

III I (4 x0 )

(7

0,

(5 x )2 (1 y )2

R2 ,

(5 x )2

( 3 x )2

(1 y )2 (7 y )2

0,

0

0

0

0

0

0

( 3 x )2 (7 y )2

R2 ,

2

20

0

2

49 14 y0

2

0,

16 8x0

x0

9 6x0 x0 64 16 y0

y0

y0

25 10x x2 9 6x x2

1 2 y y2 49 14 y

y2

0,

0

0

0

0

0

0

0

0

( 3 x )2 (7 y )2

R2 ,

y

0

11 7x ,

y

4,

0

0

132 84x0

0

0

22 14x0

2 y0

0,

16x0

32,

x0

1,

32 16x

12 y

0,

2

2

2

R

5.

0

0

R ,

( 3 x0 ) (7 y0 )

Запишем уравнение окружности (x 1)2 ( y 4)2

25 .

Пример 18.4.

Запишите уравнение эллипса,

фокусы которого лежат на оси абсцисс,

Решение.

Уравнение эллипса имеет вид

x2

y2

1

, где а – большая полуось эллипса, а

a2

b2

b – его меньшая полуось, расстояние между фокусами равно

2с, причем

b2 a2 c2 . В на-

шем примере

a 4, b 3 , следовательно,

c

a2 b2

42 32 5 . Уравнение эллипса

имеет вид

x2

y2

1. Эксцентриситет эллипса равен

c

5

1, 25 .

16

9

a

4

Пример 18.5. Дан эллипс 36x2 121y2 4356 . Найдите его полуоси и фокусы.

Решение.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду

x2

y2

1 . Для этого

a2

b2

разделим обе части уравнения на 36 121 4356 . Получим

x2

y2

1.

Полуоси эллипса

121

36