Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

если все ее главные миноры положительны. Имеем 13 0,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

172.Даны две точки A(3; 4; 22), B(2; 5; 2) . Найдите проекцию вектора AB на ось,

образующую с осями ОХ и ОY углы 60 , 120 и тупой угол с осью OZ.

173.Точки А(–1; 1; 4), B(–4; 2; 0), C(3; 5; 1) – вершины треугольника АВС. Найдите внутренний угол при вершине В и внешний угол при вершине С.

174.Даны точки А(–4; 2; 7), B(2; 5; –1), C(1; –1; 2), D(3; 2; –4). Найдите pr CD( AC BD) .

175.Для трапеции, заданной в задаче 148, найдите угол между векторами AM и AN .

176.Найдите вектор c , если он перпендикулярен векторам a (2; 3;1) и b (1; 2; 3) и

удовлетворяет условию c (i 2 j 7k ) 10 .

177.Точка М под действием силы F (5; 4; 7) переместилась на расстояние S (2; 9; 5) . Найдите работу этой силы и угол между направлением силы и направлением перемещения.

178.Найти работу, которую производит сила F (1; 3; 4) , когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А(–2; 5; –3) в точку B(–7; 9; –1).

§ 12. Векторное произведение векторов.

Для решения задач необходимо изучить материал § 5 главы 2 теоретического пособия.

Пример 12.1.

Векторы a

и b образуют угол 120º, длины векторов | a | 2 ,

| 3.

Вычислите

| a

| (2a 5

) (4a

) | .

Решение. По определению

векторного произведения | a

| | a | |

| sin(a,

) . Тогда

| a

| 2

3 sin120 2 3

3 .

Вычислим векторное произведение (2a 5b ) (4a b ) 2a a 2a b 5b a 5b b .

По свойствам векторного произведения 2a a b b 0, a b b a . Следовательно,

| (2a 5b ) (4a b ) | | 2a b 5a b | 7 | a b | 21.

Пример 12.2.

Векторы a и b заданы своими координатами a (2; 5; 1),

(4; 7; 3) .

Вычислите a

a , (2a 3

) (3a 2

) .

Решение. Если вектора заданы своими координатами, то векторное произведение вычис-


															i			j			k
ляется через определитель a											b			x1			y1			z1		. Вычислять этот определитель будем, раскла-
														x2			y2			z2
дывая его по первой строке. Итак,

				i		j	k		5	1			2			1					2	5
				i		j	k
a			b	2	5		1	i				j							k				8	i	10	j	34	k	(8;10; 34) ;
				4	7		3		7	3			4			3					4	7
				4	7		3
							(8; 10; 34) ;
	b	a a				b	(8; 10; 34) ;

(2a 3b ) (3a 2b ) 6a a 4a b 9b a 6b b 4a b 9a b 13a b13(8;10; 34) , так как a a b b 0 .

Чтобы вычислить векторное произведение можно также найти координаты векторов 2a 3b и 3a 2b и вычислить векторное произведение найденных векторов.

Пример 12.3. Даны вершины А(–4; 5; 2), B(1; –2; 5), C(–1; 7; 8) треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АВС и длину высоты BD.

Решение. По свойству векторного произведения площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов, на которых как на сторонах построен треуголь-


ник АВС:				Найдем координаты этих векторов:												AB (5; 3; 3), AC (3; 2; 6) .

																				i		j	k					3		3						5	3				5				3
																				i		j	k
	Вычислим векторное произведение														AB AC					5	3		3		i										j				k
																				3	2		6					2		6						3	6				3				2
																				3	2		6

24			21			19		(24; 21; 19)																						( 24)2 ( 21)2 192
24		i	21		j	19	k	(24; 21; 19)					и		его модуль								\| AB AC \|							( 24)2 ( 21)2 192

																																	1378				.
	576 441 361									1378 . Итак, площадь треугольника АВС равна S																							1378
	576 441 361									1378 . Итак, площадь треугольника АВС равна S
																															2
	Из школьного курса геометрии известно, что площадь треугольника равна половине про-
изведения						его			основания			на		высоту,				то				есть				S			1	AC BD .								Так								как
изведения						его			основания			на		высоту,				то				есть				S				AC BD .								Так								как
																								2

														1378			1		7 BD . Следовательно, BD																			1378							.
			32	22 62
\| AC \|											9 4 36 7 , то
\| AC \|											9 4 36 7 , то
														2		2																						7
																						и их модули равны \| a \| 3																								\| 2 .
	Пример 12.4. Векторы a и b образуют угол 45																					и их модули равны \| a \| 3																		2, \|			b			\| 2 .

Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах																											2a					b		и n 3a 2								b		.
Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах																										m	2a					b		и n 3a 2								b		.
	Решение. По свойству векторного произведения площадь параллелограмма равна моду-

лю векторного произведения векторов, на которых как на сторонах построен параллелограмм.

Модуль векторного произведения векторов m и n равно | m n | | (2a b ) (3a 2b ) |

| 6a a 4a

a 2

| | 7a

| 7 | a

| 7 3

2 2 sin 45 42 2

42 .

Площадь искомого параллелограмма равна 42.

Упражнения.

| a | 3, |

| 5 .

179.

Векторы a и b образуют угол

30º, длины векторов

Вычислите

(2a

) (3a 2

)

180.

Дано a (4; 2; 3),

(1; 3; 2) .

Вычислите

(

a ) (2a ), (2a

)

(3a 4

) (2a 3

) .

181.Известно, что | a | 3, | b | 26, (a, b ) 72 . Найдите | [a, b ] | .

182.Известно, что | a | 3, | b | 17, | [a, b ] | 45. Найдите (a, b ) .

183.Даны вершины А(1; –1; 2), B(5; –6; 2), C(1; 3; –1) треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АВС и длину высоты BD.

184.Даны вершины А(1; 2; 0), B(3; 0; –3), C(5; 2; 6) треугольника АВС. Найдите площадь треугольника и длину высоты AH.

185.Даны вершины А(2; –1; 4), B(3; 4 –1), C(–1; 3; 1) треугольника АВС. Найдите площадь треугольника АВС и длину высоты BD.

186. Векторы m и n образуют угол 60º, длины векторов | m | 2, | n | 3 . Вычислите пло-

щадь параллелограмма, построенного на векторах p 3m n, q 2m 5n .

§ 13. Смешанное произведение векторов.

Для решения задач необходимо изучить материал § 6 главы 2 теоретического пособия.

Пример 13.1. Угол между векторами

a и b равен 45 , вектор c перпендикулярен

плоскости векторов a и b . Вычислите

смешанное

произведение этих векторов, если

| a |

2, |

| 3, | c | 2 .

Решение. По определению смешанного произведения

abc ([a , b ], c ) . Вектор d [a , b ]

перпендикулярен плоскости векторов a и b , следовательно, он параллелен вектору c . Име-

3 . Значит,

ем

2 3

abc (d , c ) | d | | c | . Но | d | | [a, b ] | | a | | b | sin 45

abc | d | | c | 3 2 6 . Смешанное произведение положительно, если вектора c и

сонаправлены, и отрицательно, если вектора c

и d противоположно направлены.

Пример 13.2. Даны векторы a (3; 5; 1),

(7; 1; 2), c (2; 4; 3) . Вычислите

abc .

Решение. Применим формулу для вычисления смешанного произведения векторов, когда

												x1	y1	z1
они заданы своими координатами										a b c		x1	y1	z1	. Тогда для заданных векторов
они заданы своими координатами										a b c		x2	y2	z2	. Тогда для заданных векторов
												x3	y3	z3
				5	1		3	5	1		1	11
			3
			3
a	b	c	7	1	2		1	11	0	1			( 11 121) 132 .
			2	4	3		11	11	0		11	11
			2	4	3		11	11	0
		Пример 13.3. Докажите, что точки А(3; 1; –4),												B(4; 4; –6), C(6; –3; 2) и D(5; 5; 1) лежат
в одной плоскости.

		Решение. Точки				А, B, C и			D лежат в одной плоскости, если вектора AB, AC, AD ком-

планарны. Условие компланарности трех векторов – равенство нулю их смешанного произ-


ведения. Найдем координаты векторов:					AB (1; 3; 2), AC (3; 4; 9), AD (2; 4; 10) .				Их
		3	2	1		3	2
	1	3	2	1		3	2
смешанное произведение	3	4	9	0		5	3	0 , следовательно, точки А, B, C и	D
	2	4	10	0		10	6

лежат в одной плоскости.

Пример 13.3. Даны вершины тетраэдра А(3; 1; –4), B(4; 4; –6), C(0; –3; 5) и D(1; 5; 6).

Найдите длину высоты, опущенной на основание из вершины D.

		Решение. Вычислим															объем тетраэдра:												V		1								.	Координаты						векторов:
																															1		( AB, AC,			AD)
																																	( AB, AC,			AD)
																													6
																													6

	AB (1; 3; 2), AC (3; 4; 6), AD (2; 4; 5)																													и				их			смешанное							произведение
											3		2						1		3	2
								1			3		2						1		3	2
	AB AC AD							3			4		6						0		13	12				117 24							93 .			Тогда				объем						тетраэдра
								2			4		5						0		2	9
V			93			15,5 .
V			6			15,5 .
			6
		Из школьного курса геометрии известно, что объем тетраэдра равен одной трети произ-
																												1													1
ведения площади основания на высоту V																												1	S h . Площадь основания S												1		\| AB AC \| . Так
ведения площади основания на высоту V																													S h . Площадь основания S														\| AB AC \| . Так
																							3																		2

										i		j		k							3	2					1		2				1	5
										i		j		k
как				AB AC						1	3		2							i						j						k			(4; 11; 19) , то
										3	4		6								4	6					3		6				3	4
										3	4		6

			1											498				. Высота тетраэдра равна																	3V		93					3			.
	S		1		16 121 361									498																				h	3V		93			31		3
	S		2		16 121 361								2																					h						31
			2										2																						S		498				166
																									Упражнения.

187.				Вектор c перпендикулярен векторам a и b , угол между которыми равен 30º. Зная, что

				\| a \| 6, \|			b		\| 3, \| c \| 5 , вычислите
				\| a \| 6, \|			b		\| 3, \| c \| 5 , вычислите															abc .

188.				Дано a (1; 1; 3),											b	(2; 3; 5),							c (3; 1; 4) . Вычислите
188.				Дано a (1; 1; 3),											b	(2; 3; 5),							c (3; 1; 4) . Вычислите															abc .

189.Докажите, что точки А(1; 2; –1), B(0; 1; 5), C(–1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

190.Докажите, что точки А(2; 5; 7), B(3; 2; 5), C(5; 1; –4) и D(4; 0; 2) лежат в одной плоскости.

191.Даны вершины тетраэдра А(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(–5; –4; 8), D(6; 3; 7). Найдите длину высоты, опущенной на основание АВD из вершины С.

192.Даны вершины тетраэдра А(–4; 1; 7), B(2; 5; –1), C(3; 2; 4), D(5; 6; 1). Найдите длину высоты, опущенной на основание из вершины D.

§ 14. Квадратичные формы.

Теоретический материал изложен в § 21 главы 1 теоретического пособия.

Пример 14.1. Запишите в матричном виде квадратичную форму

L(x1, x2 , x3 ) 3x12 7x22 x32 2x1x2 4x1x3 8x2x3 .

Решение. Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, то есть 3, 7, –1, а другие – половине соответст-

вующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому матрица квадратичной формы имеет

		3	1	2
вид	A	1	7	4 и квадратичную форму можно записать
		2	4
		2	4	1
					3	1	2	x1
L(x , x , x ) (x , x , x )					1 7		4	x	.
1 2 3			1 2 3		2 4		1	x2
								3
Пример			14.2.		Приведите			к каноническому виду			квадратичную форму
L(x , x ) 4x2			x2	4x x .		Найдите ортонормированный базис,				в котором эта квадратичная
1	2	1	2	1	2
форма имеет канонический вид.
Решение.			Запишем матрицу квадратичной формы A 24							12	и найдем собственные

числа и собственные векторы этой квадратичной формы. Решим характеристическое уравне-

ние \| A E \| 0 :					4			2				0 (4 )(1 ) 4 0 2 5 0 0, 5 .
ние \| A E \| 0 :					4			2				0 (4 )(1 ) 4 0 2 5 0 0, 5 .
					2		1															1	2
																						1	2

Для каждого λ решим уравнение																( A E)x				0	.
			= 0. Тогда					4		2 x						2x1 x2 0 x2 2x1 и c1 (1; 2) .
								4		2 x
Пусть 1								2		1 x1				0
													2
			= 5. Тогда					1			2		x
								1			2		x
Пусть 2								2			4 x1				0 x1 2x2							0 x1 2x2 и c2 (2; 1) .
														2
Вектора c1				и c2 линейно независимы и попарно ортогональны. Действительно, опреде-
литель		2		5 0		и скалярное произведение c c 1 2 (2) 1 0 . Нормируем вектора:
литель	1	2		5 0
	2	1																1				2
																		1				2
\| c1 \| \| c2	\|					1			2							2		1


		5		и e1				;				,	e2				;		. Векторы e1 и e2 образуют ортонормирован-

						5										5
						5				5						5		5
ный базис и квадратичная форма в каноническом виде задается матрицей A 00																								50 .

Пример 14.3. Приведите к каноническому виду (главным осям) квадратичную форму L(x1, x2 , x3 ) 3x22 3x32 2x1x2 2x1x3 4x2 x3 . Найдите ортонормированный базис, в котором эта квадратичная форма имеет канонический вид.

	0	1	1
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы A	1	3	2	и найдем собствен-
	1	2	3
	1	2	3

ные числа и собственные векторы этой квадратичной формы. Решим характеристическое

		1	1
		1	1
уравнение	1	3	2	0
	1	2	3
((3 )2	4) ( 3 2) ( 2 3 ) 0 ( 2 6 5) ( 5) ( 5) 0

( 5)( 1) 2( 5) 0 ( 5)( 2 2) 0 1 1, 2 2, 3 5 .

Пусть = –1:

	1 1 1		x			x		x		x		0, x			x		x	0,
				1			1		2		3		1		2		3			x		x ,
				1			1		2		3		1		2		3			x		x ,
	1 4 2		x2		0 x1				4x2		2x3	0,	0		3x2		3x3		0, x3		2x2
	1	2 4		x		x		2x		4x		0, 0			3x		3x		0,	1			2
	1	2 4		x		x		2x		4x		0, 0			3x		3x		0,
				3			1		2		3				2		3
и c1 (2; 1; 1) .
		Пусть = 2:
	2	1 1	x			2x		x		x		0, 2x			x		x		0,
				1			1		2		3			1		2		3			x		x ,
				1			1		2		3			1		2		3			x		x ,
	1 1 2		x2		0		x1		x2		2x3	0,		3x1		3x2			0, x2			x		1
	1	2 1		x			x	2x		x		0,		3x	3x				0,		3		1
	1	2 1		x			x	2x		x		0,		3x	3x				0,
				3			1		2		3			1		2

иc2 (1; 1; 1) .

Пусть = 5:

5		1	1 x1			5x1		x2			x3	0, x1		x2	x3		0,	x1	0,
	1	2	2	x2			x1		2x2		2x3		9x1				0,
					0							0,						x3	x2
	1	2	2	x			x		2x	2x		0, 9x				0,
				3			1		2		3		1

и c3 (0; 1; 1) .

Векторы c1 (2; 1; 1), c2 (1; 1; 1), c3 (0; 1; 1) линейно независимы (проверьте, что оп-

ределитель, составленный из координат этих векторов отличен от нуля) и попарно ортого-

нальны		c1c2 2 11 0, c1c3									0 11 0, c2c3							1 1 0 . Нормируем вектора:
															2			1			1
				22 12 ( 1)2																											12 ( 1)2 12
	\| c1 \|																										\|						3 , тогда
									6 ,		тогда		e1				;		;				;		\| c2

															6			6
															6			6			6
	1		1			1																		1			1
										2	2	2
										2	2	2
e2		;			;		;	\| c3 \|	0		1	1		2 , тогда e1						0;						;			.

			3																					2
	3		3			3																		2				2
	Векторы e1, e2 , e3							образуют ортонормированный базис.
	Пример 14.3. Дана квадратичная форма															L(x , x ) 13x2										5x2				6x x . Докажите, что она
																		1		2				1			2				1	2
является знакоопределенной (то есть положительной или отрицательной).
																								13				3			.
	Решение. Запишем матрицу квадратичной формы																					A 3					5				.

1 способ. Найдем собственные числа этой квадратичной формы. Решим характеристическое уравнение | A E | 0 :

13	3	0 (13 )(5 ) 9 0 2 18 58 0 4, 14 .
13	3	0 (13 )(5 ) 9 0 2 18 58 0 4, 14 .
3	5	1	2
		1	2

Так как корни характеристического уравнения положительны, то квадратичная форма положительно определена.

2 способ. Согласно критерию Сильвестра квадратичная форма положительно определена,

Значит, квадратичная форма положительно определена.

Упражнения.

193.Запишите в матричном виде квадратичную форму

а) L(x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22 9x32 6x1x2 8x1x3 12x2 x3 ;

б) L(x1, x2 , x3 ) x12 3x22 5x32 16x1x2 4x1x3 2x2x3 ; в) L(x1, x2 , x3 ) 5x12 4x22 7x32 5x1x2 9x1x3 18x2x3 .

194.Приведите к каноническому виду (главным осям) квадратичную форму. Найдите ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, если

а) L(x1, x2 , x3 ) 2x12 x22 4x1x2 4x2 x3 ; б) L(x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32 4x1x2 4x2x3 ; в) L(x1, x2 , x3 ) x22 2x32 4x1x2 4x2 x3 .

195.Дана квадратичная форма. Докажите, что она является знакоопределенной (то есть положительной или отрицательной), если

а) L(x1, x2 , x3 ) 3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2x3 ;

б) L(x1, x2 , x3 ) 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3 ; в) L(x1, x2 , x3 ) 5x12 6x22 4x32 4x1x2 4x1x3 ;

г) L(x1, x2 , x3 ) 4x12 4x22 3x32 10x1x2 4x1x3 ; д) L(x1, x2 , x3 ) x12 4x22 6x32 2x1x2 4x1x3 .

§ 15. Уравнения прямой на плоскости.

Для решения задач необходимо изучить материал § 2 главы 3 теоретического пособия.


Пример 15.1. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(5; –2)
а) параллельно прямой х + 3у – 11 = 0	б) перпендикулярно прямой 2х – 3у + 32 = 0.
Решение. а) Так как искомая прямая параллельна данной, то нор-
мальный вектор исходной прямой будет нормальным вектором и для
искомой прямой. Имеем n (1; 3) . Тогда уравнение искомой прямой		n

имеет вид 1(х – 5) + 3(у + 2) = 0 или х + 3у + 1 = 0 (общее уравнение прямой).

б) Так как искомая прямая перпендикулярна данной, то нормальный вектор исходной прямой для искомой прямой будет направляющим вектором. Имеем n (2; 3) . Запишем

каноническое уравнение искомой прямой	x 5	y 2	и приведем дроби к общему знамена-
	2	3

телю: –3(х + 5) = 2(у + 2). Тогда общее уравнение прямой имеет вид 3х + 2у + 19 = 0.

Пример 15.2. Вычислите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки М(3; 7)

и N(–1; 4).

Решение.

Воспользуемся

уравнением прямой, проходящей через две точки:

x 3

y 7

x 3

y 7

(x 3) y 0, 75x 4, 75 . Угловой коэффициент ис-

1 3

4 7

комой прямой равен k = 0,75.

Пример 15.3. Точки M(4; –9), N(2; 4) и K(10; 1) – вершины

∆KMN. Напишите уравнения высоты NH и медианы NT.

T H K47

Решение. Высота NH перпендикулярна основанию MK, поэтому вектор MK будет для высоты NH нормальным вектором. Имеем MK (6; 10) и уравнение высоты имеет вид 6(x – 2) + 10(y – 4) = 0 или 3x + 5y – 26 = 0. Точка Т – середина стороны MK и ее координаты равны T(0,5(4 + 10); 0,5(–9 + 1)) = (7; –4). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две

точки	x 2	y 4		x 2	y 4	8(x 2) 5( y 4) . Тогда общее уравнение медианы
	7 2	4 4			8
			5

имеет вид 8x + 5y – 36 = 0.

Пример 15.4. При каком значении параметра k прямые 2x 7 y 1 0 и kx 14 y 9 0 а) параллельны, б) перпендикулярны?

Решение. Прямые заданы общими уравнениями и нормальные векторы этих прямых равны n1 (2; 7) и n2 (k; 14) .

а) Если прямые параллельны, то их нормальные векторы тоже параллельны. Условие па-

раллельности двух векторов пропорциональность их координат	2	7	. Следовательно,
	k	14

k = –4.

б) Если прямые перпендикулярны, то их нормальные векторы тоже перпендикулярны. Условие перпендикулярны двух векторов – равенство нулю их скалярного произведения n1 n2 2k 14 7 0 . Следовательно, k = 49.

Пример 15.5. Найдите проекцию точки P(–2; –2) на прямую, проходящую через точки

A(3; 4) и B(9; 8) .

Решение. Проекция точки Р на прямую АВ – это основание перпендикуляра PQ, опущенного из точки Р на прямую.

Запишем уравнение прямой АВ, проходящей через две точки A(3; 4) и B(9; 8):

x 3

y 4

x 3

y 4

2(x 3) 3( y 4)

и общее уравнение

9 3

8 4

прямой, проходящей через точки

А и В имеет вид

2x – 3y + 6 = 0.

Нормальный

вектор

этой

прямой

n (2; 3)

будет

направляющим

вектором для прямой PQ ( n AB, PQ AB n

PQ ).

Запишем каноническое уравнение прямой			PQ:	x 2		y 8	3(x 2) 2( y 8) и об-
Запишем каноническое уравнение прямой			PQ:			3	3(x 2) 2( y 8) и об-
					2	3
щее уравнение прямой PQ имеет вид 3x + 2y + 22 = 0.
Точка Q – точка пересечения прямых АВ и PQ. Найдем ее координаты. Для этого решим
систему уравнений
2x 3y 6	0,	x 1,5y 3,	x		1,5y 3,		x	6,
3x 2 y 22	0,	3(1,5y 3) 2y 22,	6,5y		13, y			2.
Координаты точки		Q(6; 2) .

Упражнения.

196.Определите точки пересечения прямой 2x 3y 12 0 с осями координат. Начертите эту прямую.

197. Дана прямая 2x 3y 4 0 и точка Mo(4; 1). Напишите уравнения прямой, проходящей через точку Mo а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно данной прямой.

198.Напишите уравнение прямой, проходящей через точки M1(2; –5) и M2(3; 2). Найдите ее угловой коэффициент.

199.Точки M(2; 1), N(5; 3) и K(3; –4) – середины сторон ∆PQT. Напишите уравнения его сторон.

200.В параллелограмме ABCD известны координаты вершин А(3; 1), B(7; 5), C(5; –3). Напишите уравнения сторон и диагоналей.

201.Точки M(7; 2), N(–1; –1) и K(3; 8) – вершины ∆KMN. Напишите уравнения его высот.

202.Из точки Mo(4; 6) под углом α к оси OX направлен луч света. Известно, что tg 3. Дойдя до оси OX, луч отразился от нее. Напишите уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи.

203.Даны две смежные вершины A(–3; –1) и В(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Напишите уравнения его сторон.

204.(*) Составьте уравнения сторон KMN, зная его вершину M(4; –1) и уравнения высоты NH 2x 3y 12 0 и медианы NP 2x 3y 0 , проведенных из вершины N.

205.Даны две противоположные вершины квадрата M(–1; 3) и P(6; 2). Напишите уравнения его сторон.

206.	Две стороны квадрата лежат на прямых 5x 12 y 26 0 и	5x 12 y 65 0 . Найдите
	площадь квадрата.
207.	Найдите проекцию точки P(–8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; 3) и
	B(5;1) .

208.Найдите точку, симметричную точке P(8; –9) относительно прямой, проходящей через точки A(3; –4) и B(–1; –2).

209.(*) Точки K(1; –1), M(–2; 1) и N(3; 5) – вершины ∆KMN. Напишите уравнения перпендикуляра, опущенного из вершины K на медиану, проведенную из вершины M.

210. Найдите угол между прямыми 5x y 7 0

и 3x 2y 1 0 .

§ 16. Уравнения плоскости.

Для решения задач необходимо изучить материал § 3 главы 3 теоретического пособия.

Пример 16.1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(–5; 2; 3) пер-

пендикулярно вектору n (2; 3; 7) .
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0			перпендикулярно вектору
n имеет вид	A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 , где (А; В; С) –		координаты вектора n , а
(x0 , y0 , z0 ) –	координаты точки М0. Итак, 2(x 5)	3( y 2) 7(z 3) 0 . Раскрыв скобки,
получим общее уравнение плоскости 2x 3y 7z 5		0 .

Пример 16.2. Точка М(3; –2; 4), принадлежащая плоскости, является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Напишите уравнение плоскости.

Решение.	Уравнение плоскости, проходящей через точку М0	перпендикулярно вектору
n имеет вид	A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 , где (А; В; С) –	координаты вектора n , а

(x0 , y0 , z0 ) – координаты точки М0. Вектор ОМ = (3; –2; 4) является ее нормальным векто-

ром. Имеем 3(x 3) 2( y 2) 4(z 4) 0 . Раскрыв скобки, получим общее уравнение плос-

кости 3x 2y 4z 29 0 .

Пример 16.3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(–5; 2; 3),

М2(2; –3; 11) и М3(4; 1; –2).

Решение.

Воспользуемся

уравнением

плоскости,

проходящей

через

три

точки:

x x1

y y1

z z1

0 .

x (5)

y 2

z 3

x 5

y 2

z 3

Для искомой плоскости

(5)

0 .

(5)

1 2

2 3

Разложим определитель по первой строке

(x 5)

( y 2)

(z 3)

0 33(x 5) 107( y 2) 38(z 3) 0 .

Раскрыв скобки, получим общее уравнение плоскости

33x 107 y 38z 163 0 .

Пример 16.4. Найдите расстояние от точки Р(2; –4; 7) до плоскости, проходящей через

три точки М1(–1; 2; 1), М2(2; 3; –1) и М3(–3; 1; 2).

Решение.

Воспользуемся

уравнением

плоскости,

проходящей

через

три

точки:

x x1

y y1

z z1

0 .

x 1

y 2

z 1

x 1

y 2

z 1

Для искомой плоскости

2 1

1 1

0 .

3 1 1

2 1

Разложим определитель по первой строке

1 2

( y 2)

(x 1)

(z 1)

0 (x 5) 7( y 2) 5(z 1) 0 .

Раскрыв скобки, получим общее уравнение плоскости

x 7 y 5z 14 0 .

Расстояние

от

точки

P(x0 ; y0 ; z0 )

до

плоскости

М1М2М3

находится

по формуле

| Ax0 By0 Cz0

D |

| 2 7 (4) 5 7 24 |

. Следовательно,

3 .

A2 B2 C 2

12 72 52

75 5 3

Пример 16.5.

При каких значениях параметра k

плоскости 3x (k 3) y z 11 0 и

kx (k 1) y 9z 4 0 будут перпендикулярны?

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023282.97 Кб2Ландшафтоведение.-1.pdf
#
05.02.2023283.09 Кб1Ландшафтоведение..pdf
#
05.02.20235.04 Mб12Лекции по аналоговым электронным устройствам..pdf
#
05.02.20232.9 Mб6Лекционный демонстрационный материал «Сети связи»..pdf
#
05.02.20231.35 Mб6Линейная алгебра. Аналитическая геометрия.pdf
#
05.02.20231.22 Mб7Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1.pdf
#
05.02.2023899.42 Кб2Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.pdf
#
05.02.2023583.47 Кб3Линейная алгебра.-1.pdf
#
05.02.2023637.62 Кб3Линейная алгебра..pdf
#
05.02.20231.39 Mб8Линейные программы с графическим интерфейсом в среде Lazarus..pdf
#
05.02.20231.71 Mб2Линейные программы..pdf