Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

42. (*) Не вычисляя определитель

докажите, что он делится на 17.

42. (*) Не вычисляя определитель

докажите, что он делится на 17.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

28.	а)			ab ac				;								б)			a b					b				;							в)					a b										b					;					г)				8 x3						(x2 3x 9) 1													;


				bd		cd														b				a	b															2a b							a b																	x3	27					(x2 2x 4) 1
					1										x2 / 3
					1
	д)																			;
	д)			x2 / 3 3							x4 / 3 9									;
					1						x4 / 3 9
		(1 t2 ) (1 t2 )																		2t (1 t2 )																					1										x2 / 7 3																5								3									6


29.	а)																													;				б)					x2 / 7			3																			;			в)		(2 x)2									x2 4					x 2						;
29.	а)			2t (1				t			2	)						(1 t			2	) (1			t		2	)		;				б)					x2 / 7			3																			;			в)		(2 x)2									x2 4					x 2						;
				2t (1				t				)						(1 t				) (1			t			)												x2 / 7										x6 / 7 27																						x							(x 2)2
																										log3 25														x2 / 7										x6 / 7 27																						x							(x 2)2


				loga b							1														3																	1																						234					137
30.	а)		1					logb a									;			б)			log6 log5									6		5					(1/ 4)						log2					5		;								в)				235					136					.
								logb a															log6 log5											5					1			2								3				5


31.	Запишите разложение определителя																																						a				b							c					d			по второй строке.
																																							4			1						2						1
																																							2			3								5				2
	Вычислите определители
																							2 1 3																							3						2 1																		2 4 1
		1 3 2																					2 1 3																							3						2 1																		2 4 1
32.	а)			2		4					2		;							б)			4		3					2			;								в)					1						5				2			;									г)		4				7		5			;
		5 5 8																					1 5 3																							2						4 3																	5						3 11
				1 1 2																			1 2 3																								3 5 1																							1				9				8
				1 1 2																			1 2 3																								3 5 1																							1				9				8
33.	а)	3			5					7			;							б)			4		10				21					;							в)					1						5						2				;						г)	7						11			5			.
				4 1 3																			3 5							9																	2 17 4																							6				4			11
	Решите уравнение или неравенство
				x 1			2						0 ;										x 7							4							16 ;													x 1						3								1;							2x 3					x 3						9 ;
34.	а)			x 1			2			3			0 ;							б)			x 7							4							16 ;							в)						x 1						3						4		1;					г)		2x 3					x 3						9 ;
		4				x				3													2x 5							x 2																				x		2						x				4											x	1		x		4
				x 3			1																	2x 1								1																					2x 1											1
				x 3																				2x 1																													2x 1

35.	а)			x 3											0 ;					б)				x 3															0 ;										в)					x 7														0 ;
35.	а)			x 3			x 1								0 ;					б)				x 3							x					3			0 ;										в)					x 7									x		3			0 ;
			1				x 1																		1						x					3																		1									x		3

							x 4																								x 1																																x 1
							x 4																								x 1																																x 1
36.	а)			sin x cos x																1					0 ;							б)					log2 x														3							0				;		в)				log1/ 2 x								4								0	;
				sin x cos x																1																	log2 x														3																	log1/ 2 x								4
					1											sin x				cos x																			1						log					2	(16x)																		2						log			(4x)
																																																		2																								1/ 2
					1						2														1					2									3																		1							7						3
			2		1						2														1					2									3																		1							7						3
37.	а)		3		5						3						0 ;						б)		1				3 x										3			0 ;											в)					2						2x	1				x 1					4 .
				1 6 x										5											1 2													5 x																			3							2					x			6
	Вычислите определители
					1		1							1													1				1					2					2																	1						2			2			3
			1		1		1							1													1				1					2					2																	1						2			2			3
38.	а)		1		2		3							4				;						б)			3				4					9					7	;											в)					5						8			3			6					;
38.	а)		1		3		6							10				;						б)			2					3				5					6	;											в)					3						2			1			1					;
			1		4		10							20													4			1						3					3																6							2			12			21
					3				2					2											1					2						3					4															1						2			3				4
				1	3				2					2											1					2						3					4															1						2			3				4
39.	а)			0	2					2				2				;					б)			1				0					3						8		;									в)				2						1				4			3			.
39.	а)			1	2					1				1				;					б)			1				1						0					3		;									в)				3						4				1			2			.
				1	1					3				0											2					3						5					15															4						3				2			1
40.	(*) Упростите определитель																												am bp												an bq								.
																													am bp												an bq
																													cm			dp									cn		dq

41.(*) Дано

a71 a72 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a41 a42 a51 a52 a61 a62

a11	a12	a13	a14	a15	a16	a17
a21	a22	a23	a24	a25	a26	a27
a31	a32	a33	a34	a35	a36	a37	a . Чему равен определитель
a41	a42	a43	a44	a45	a46	a47	a . Чему равен определитель
a51	a52	a53	a54	a55	a56	a57
a61	a62	a63	a65	a65	a66	a67
a71	a72	a73	a74	a75	a76	a77
a73	a74	a75	a76	a77
a73	a74	a75	a76	a77
a13	a14	a15	a16	a17
a23	a24	a25	a26	a27	?
a33	a34	a35	a36	a37	?
a43	a44	a45	a46	a47
a53	a55	a55	a56	a57
a63	a64	a65	a66	a67

43.(*) Чему равен определитель, у которого сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами.

44.(*) Известно, что если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Справедливо ли обратное утверждение: если определитель равен нулю, то

две строки его пропорциональны?

45. (*) Как изменится определитель порядка n, если а) у всех его элементов изменить знак на противоположный; б) его строки записать в обратном порядке; в) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец; г) из каждой строки, кроме последней, вычесть следующую строку, а из последней вычесть прежнюю первую строку.

§3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений.

Для решения задач необходимо изучить материал §§ 4, 5 и 6 главы 1 теоретического пособия.

			5	1	2	1	2,5	0,5	будет об-
Пример 3.1. Какая из матриц			B 8	2 , C 8		5 или D	4	1	будет об-
	2	1
ратной для матрицы	A 8	5 ?

Решение. По определению обратной матрицы, если А – матрица обратная матрице А, то произведение А А = Е, где Е – единичная матрица. Выполним умножение

2	1	5	1		2 ( 5) ( 1) 8	2 1 ( 1) 2	2 0
A B 8	5 8		2 8 ( 5) ( 5) 8			8 1 ( 5) 2 0			2 E ;
2	1	2	1	2 2 ( 1) ( 8)		2 1 ( 1) 5	12	3
A C 8	5 8		5 ( 8) 2 2 ( 8)			8 1 ( 5) 5	16	13 E ;
2	1	2,5	0,5		2 2,5 1 4	2 ( 0,5) 1 ( 1)		1	0
A D 8	5 4			1	8 2,5 2 4	8 ( 0,5) 5 ( 1)		0	1 E .

Следовательно, обратной для матрицы А является матрица D.

	1	2	1
Пример 3.2. Докажите, что матрица A	4	5	2	имеет обратную.
	3	7	1
	3	7	1

Решение. Матрица А имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля (матрица невырожденная).

		2	1	1	2	1		13	2
	1
	1
det A	4	5	2	0	13	2	1			52 2 54 0 .
	3	7	1	0	1	4		1	4
	3	7	1	0	1	4

Так как матрица А невырожденная, то для нее существует обратная.

1		5	1
Пример 3.3. Вычислите матрицу, обратную матрице A	1	3	3 .
	2	8
	2	8	1

Решение. Обратную матрицу будем вычислять двумя способами:

а) По определению A 1 det1 A Aij T . Найдем определитель матрицы А:

					5		1			1		5		1		2			4								det A 0, то матрица
			1
			1
det A			1		3		3			0		2		4							2 . Так как																А имеет об-
			2		8		1			0		2		3		2				3
			2		8		1			0		2		3
ратную.
	Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
					3		3												1		3									1			3
A	( 1)1 1				3		3		21,			A ( 1)1 2							1		3	5,		A		( 1)1 3				1			3	2 ,
11					8		1					12						2			1				13				2				8
11												12													13

A	( 1)2 1						1		13,			A		( 1)2 2						1	1		3,		A	( 1)2 3					1		5		2 ,
A	( 1)2 1					5	1		13,			A		( 1)2 2						1	1		3,		A	( 1)2 3					1		5		2 ,
21						8	1					22								2	1				23						2		8
21												22													23
							1													1
								18,									1											1		5
A	( 1)3 1					5		18,			A		( 1)3 2				1				4, A				( 1)3 3			1		5		2 .
31						3	3					32					1		3		33							1		3
31												32									33
	Составим присоединенную матрицу (она состоит из алгебраических дополнений), транс-
																																	21			5	2
понируем					ее		и		разделим						на		определитель								матрицы:						A* 13					3	2	Тогда
																																				4	2
																																	18			4	2
A 1		1		21			13		18			10,5			6,5					9
				5			3		4				2,5		1,5				2		.
				5			3		4				2,5		1,5				2		.
		2		2			2		2					1		1			1
		2		2			2		2					1		1			1

б) Вычислим обратную матрицу методом Жордана-Гаусса. Для этого припишем справа к матрице А единичную матрицу и с помощью элементарных преобразований матрицы перегоним единичную матрицу справа налево. Получившаяся справа матрица будет обратной для матрицы А.

1		5 1 \| 1				0	0	II I		1			5		1	\| 1			0	0
	1	3		3	\| 0	1	0	II I			0		2		4	\|		1	1	0	II : (2)
	2	8		1 \| 0		0	1	III+ 2 I			0			2	3 \| 2				0	1
	2	8		1 \| 0		0	1				0			2	3 \| 2				0	1
1		5	1	\|	1		0	0	I 5 II			1		0	9		\|	1, 5		2, 5			0	I 9 III
	0	1	2	\|	0, 5	0, 5		0	III 2 I				0	1	2		\|	0, 5		0,		5	0	II 2 III
	0	2	3 \| 2				0	1	III 2 I				0	0	1		\|		1		1		1	II 2 III
	0	2	3 \| 2				0	1					0	0	1		\|		1		1		1

1		0	0	\|	10, 5	6, 5	9
	0	1	0	\|	2, 5	1, 5	2	.
	0	0	1	\|	1	1	1
	0	0	1	\|	1	1	1

Выполним проверку.
A A 1	1		5	1	10,5		6,5	9
A A 1		1	3	3		2,5	1,5	2
		2	8			1	1	1
		2	8	1		1	1	1

1 (6, 5) 51, 5 (1) 1

1 (6, 5) 31, 5 31(2) (6, 5) (8) 1, 5 (1) 1

	10,5 12,5 1	6,5 7,5 1
	10,5 7,5 3	6,5 4,5 3
	21 20 1	13 12 1
	21 20 1	13 12 1


1 (10, 5)	5		2, 5 (1) 1					(9) 1 5 2 (1) 1
1 (10, 5)		5	2, 5		(1) 1			(9) 1 3 2 31
1 (10, 5)		5	2, 5 (1) 1
1 (10, 5)		5	2, 5 (1) 1					(9) (2) ( 8) 2 (1) 1
9 10 1			1		0	0
9 6 3				0	1	0	E .
18 16 1				0	0	1
18 16 1				0	0	1

Вывод: Вид обратной матрицы не зависит от способа ее вычисления.

																															2	4
	Пример 3.4. Решите матричные уравнения A X = B и Y A = B, если A 1																															3 ,
		5	3	.
B 2			7	.
	Решение. Если матрица А имеет обратную, то Х = А–1 В,																								Y = В А–1. Вычислим матрицу,
обратную матрице А:
	2	4	\|	1		0		1		2		\|	0,5 0		1	2		\|		0,5		0			1		0	\|	1,5		2
	1 3 \|			0		1		1		3		\|	0	1	0		1	\|		0,5		1			0		1	\|	0,5		1 .
	Итак, A 1				1,50,5			12 .
						1,5		2		5	3			1,5 5 2 2			1,5 3 2 ( 7)								11,5				9,5
	Тогда			X 0,5				1	2		7		0,5 5 1			2	0,5 3 1 ( 7)									4,5			5,5 ,
		Y 5		3			1,5		2		5 1,5 3 0,5					2	5 2 3 1								9		13 .
			2	7			0,5		1		2 1,5			( 7) 0,5		2	2	( 7) 1						0,5			3
																	1			2		3						3	3
	Пример 3.5. Решите матричное уравнение																	2		5		3		X			2		4	.
																		3		3								1	2
																		3		3		1						1	2
											1		2	3			1		2
Решение. Обозначим									A		2		5	3 ,	B		2		1 . Уравнение имеет вид А Х = В. Если
													3
										3			3	1			1 1
матрица			А невырожденная,									то она имеет обратную и решение уравнения ищется в виде
Х = А–1 В. Найдем матрицу, обратную матрице А:
1		2		1 \| 1 0					0		1 2 1 \| 1						0 0			1 2 1						\| 1 0 0
	2	5		3 \| 0 1					0			0	1 1 \|		2		1 0				0 1 1					\|	2		1 0
	3	3	1 \| 0 0						1			0 3 2 \| 3					0 1				0 3 2					\| 3 0 1
	3	3	1 \| 0 0						1			0 3 2 \| 3					0 1				0 3 2					\| 3 0 1
1		0 1		\| 5 2					0		1		0 1 \| 5				2			0		1 0				0 \| 4 1						1
	0 1 1			\|		2		1	0			0	1 1 \|		2		1			0			0 1			0 \| 7				2		1 .
	0	0 1		\| 9 3					1			0	0 1 \| 9										0 0			1 \| 9 3
	0	0 1		\| 9 3					1			0	0 1 \| 9				3 1						0 0			1 \| 9 3						1

		A 1	4		1	1
Следовательно,		A 1		7	2	1 .
				9	3
				9	3	1
4		1	1		1	2	( 4) 1 1 ( 2) ( 1) 1		( 4) 2 1 ( 1) ( 1) ( 1)
Тогда X	7	2	1		2	1		7 1 ( 2) ( 2) 1 1	7 2 ( 2) ( 1) 1 ( 1)	и
	9	3			1			( 9) 1 3 ( 2) ( 1) 1	( 9) 2 3 ( 1) ( 1) ( 1)
	9	3	1		1	1		( 9) 1 3 ( 2) ( 1) 1	( 9) 2 3 ( 1) ( 1) ( 1)

	7	4
X	12	15	.
	16	20
	16	20

Уравнение Y А = B не имеет решения, так как строки и столбцы матриц

гласованы.
Пример 3.6. Решите матричное уравнение 52			73 X 94		83 1335	3011 .
Решение. Обозначим A 52	73 , B 94	83 , C	1335	3011 . Уравнение имеет

А–1 и В не со-

вид А Х В = С.

Если матрицы А и В невырожденные, то они имеют обратные и решение уравнения ищется в виде Х = А–1 С В–1. Найдем матрицы, обратные матрицам А и В:

det A	2	3	14 15 1 0 , значит, матрица А имеет обратную. Вычислим алгебраиче-
	5	7

ские дополнения								A ( 1)1 17 7, A														( 1)1 2 5 5, A									( 1)2 13 3, A					( 1)2 2 2 2 и
								11													12									21				22
запишем обратную матрицу												A 1					1			7			5 T				7			3	.
запишем обратную матрицу												A 1								7			5 T				7			2	.
																1					3		2					5		2
					3
det B				4	3	32 27 5 0 ,						значит, матрица В имеет обратную. Вычислим алгебраические
				9	8
дополнения							A ( 1)1 18 8, A										( 1)1 2 9 9, A													( 1)2 13 3, A				( 1)2 2 4 4					и за-
							11							12														21				22
											1			1				8				9	T		1			8		3
пишем обратную матрицу										B					3							4					9			4 .
пишем обратную матрицу										B				5	3							4			5		9			4 .
														5											5
							7	3		13			11				1				8		3				1	(7) 13 3 35				(7) 11 3 30					8		3
		Тогда			X 5			2		35			30						9				4					513 (2) 35				511 (2) 30					9		4
		Тогда			X 5			2		35			30				5		9				4				5	513 (2) 35				511 (2) 30					9		4
																	5										5
	1		91105				77 90			8			3					1			14		13				8		3
			65 70				55 60		9				4								5		5 9							4
	5		65 70				55 60		9				4					5			5		5 9							4
	5																	5							112 117						42 52			5	10 1					.
	1		14 8 13 ( 9)							14 ( 3) 13 4														1									1						2
			( 5) 8 ( 5) ( 9)						( 5) ( 3) ( 5) 4
	5		( 5) 8 ( 5) ( 9)						( 5) ( 3) ( 5) 4														5			40			45		15 20	5		5		5	1	1
																						Упражнения.
									2 5																				2		5	7 5				7 5
46.		Дана матрица						A 3		7	. Какая из матриц B 3																				7 , C	3		2 ,	D 3		2			или
			F		7		5
			F		3		2 будет обратной матрице А?
47.		Имеет ли матрица А обратную, если

1		3	1		1		1	2		2		1	3
а) A	2	4	1	;	б) A	3	4	1	;	в) A	5	2	1	.
	3	5	2			1	5	3			1	4	7

48.	При каких значениях									матрица А имеет обратную, если
				0				0								0		1		0
	а) A 1					0		5		;	б) A						2		5	2		.
				1		0 3										8			3
				1		0 3										8			3	4
	Вычислите матрицы, обратные данным
		1		2								3	2		;					7		8					12			7
49.	а)	A 3		5 ;				б)		A 5			4		;				в) A 4			5 ;			г) A			4		3 ;
		1 5				3					3		4			5					1 2			2
50.	а)	A	2	7		3	;	б)		A		2	3			1	;		в)	A		2	1	2	;
			3 9			4						3	5									2 2		1
			3 9			4						3	5			1						2 2		1
		1 2					3					1			2 3						1		2	1					1		2		1
51.	а)	A	3		5		11 ;		б)		A		3		4 10			;	в)	A		3	4	1 ; г)			A			3	4	1 ;
			2		1 2									1			2					5 5								5	5	4
			2		1 2							2		1			2					5 5		0						5	5	4
		1 1				1 1								1				2	1 1						1				2 1 1
		1		1		1		1								2		5	0	1						2			5		3	3
52.	а)	A 1		1		1		1	;		б)		A			3	3		8	7	;			в)	A	3			4		2	4	.
				1		1										1	2									1			4 3 0
		1		1		1		1								1	2		8 9							1			4 3 0

53.Чему равен определитель целочисленной матрицы А, если матрица А-1 также целочисленная.

54.Решите матричные уравнения АХ=В и YА=В, если

	а) A 3				2 , B 1							2 ;		1			1 1							1			1	3
	а) A 3				2 , B 1							2 ;		б) A	2		1 0				, B				4 3			2	.
				5	4					5		8			1		1			4					1		2	5
															1		1			4					1		2	5
	Решите матричные уравнения
55.	а)		3	1 X 5				6 14				16 ;		б)		2			1 X 3				2			2		4		;
		5		2		7 8					9 10					3 4					5		4				3	1
		1 2			3				1		3 1					1				3	2					8		5
56.	а)		3	1	4		X			3	1	3	;	б)			2			1	1	X					6	2		;
			2	1	0					6	2 8										2						2	6
			2	1	0					6	2 8					5 5					2						2	6
		2 1			1			7			2						1 2				1			4			1			3	;
57.	а)		3	2	1	X			4		1	;		б)		X			3	3		1		4			1			3	;
			1 2		2				1		6								2	1		4				7	3		2
			1 2		2				1		6								2	1		4
			1		2	1			3		2	1 ;					1			2	3		1				6	2 .
58.	а)	X		2	3	3			3		2	1 ;		б)		X		3		1	5		1				6	2 .
				3	7 4			1 5 2										1		1 0					3		2 4
				3	7 4													1		1 0

Решите матричным методом системы линейных уравнений

	3x	4 y	5z	3,
59.	а) 2x	3y	z	0,	б)
	3x	5 y	z	2;

	x	y	z	9,
60.	а) x	y	z	1,	б)
	x	y	z	5;

4x	3y		2z		1,
	2 y		3z		5,
3x	2 y		3z		5,
5x		4 y		z		1;

x		3y		z		4,
		y		2z		9,
3x		y		2z		9,
2x		4 y		z		1.

Решите матричные системы уравнений

			X		Y			1	1 ,					2 X		Y	0	1	,
61.	(*) а)							0	1		б)						1	0
61.	(*) а)							1	0 ;		б)						0	2	;
		2 X			3Y			1	0 ;				4 X			2Y	0	2	;
								0	1								2	0
				2	1 X			3	1 Y				2		8 ,
62.	(*) а)		1		1			2	1					0	5	;
62.	(*) а)		3		1			2	1					4	9
		1			1	X		1	1 Y			1			4

	1			1 X			3 1 Y			3	5 ,
		1		1			1	1		1	1
	б)		1 X				1 1 Y			1	1 .
	1		1 X				1 1 Y			1	1 .
		1	1				1	3		5	3

§ 4. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Для решения задач необходимо изучить материал § 7 главы 1 теоретического пособия.

Пример 4.1. Докажите, что система уравнений имеет единственное решение и решите ее

					x		2 y		z		4,
методом Крамера							5 y		3z		6,
методом Крамера					2x		5 y		3z		6,
					2x		y		4z		15.

Решение. Вычислим определитель матрицы системы
		2	1	1	2	1		1	5
	1						1			6 25 31 0 . Так как определитель матрицы сис-
	1
	2	5	3	0	1	5
	2	1	4	2	5	6		5	6
	2	1	4	2	5	6

темы отличен от нуля, то по теореме Крамера система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители, заменив соответствующий столбец столбцом

свободных членов:

				4	2	1			4		2		1									( 1)1 3				6	11


x				6	5	3			6		11			0			( 1)											( 42 11) 31 ,
				15	1	4			1		7			0												1	7
				15	1	4			1		7			0
					4	1		1			2	1							14			5
				1											1								84 115 31,
				1
	y			2	6	3		0		14			5
				2	15	4		2		23			6						23			6



					2	4	1				2	1			1					1		14		23 70 93 .
				1
				1
				2 5		6	0 1					14
	z			2	1	15	2			5		23								5		23
	z
																									y

По формулам Крамера											x				x			31			1, y						31	1,	z	z	93	3 .
															x															z
																		31									31				31
																		31									31				31
		Выполним проверку.
1					2	3 4,								4						4,
			5								6,									6,
2			5			9					6,					6				6,
2					1	12					15,			15								15.

Получили верные равенства, значит, решение системы найдено.

Упражнения.

Докажите, что системы линейных уравнений имеют единственное решение. Найдите это решение методом Крамера. Сделайте проверку.

	x	2 y	z	5,
63.	а) 2x	y	z	6,
	x	y	3z	3;

	x	y	z	9,
64.	а) x	y	z	1,
	x	y	z	5;

3x	y	2z	12,
б) x	y	z	0,
2x	3y	4z	17;

3x	y	2z	12,
б) x	y	z	0,
2x	3y	4z	17.

65. Докажите, что системы линейных уравнений имеют единственное решение. Найдите это решение по формулам Крамера:

а) x

x11

	3x2			2x3	2x4		8,	x1		2x2		x3			x4		3,
2x2			2x3		2x4	8,		2x1	2x2		x3			x4		6,
2x			x		x	8,		б) x	x		2x					2,
		2		3	4			1		2			3
	x			3x			13;	x		3x		x			x		0.
	2			3				1		2		3			4

§5. Линейная зависимость векторов. Линейные пространства.

Для решения задач необходимо изучить материал §§ 9, 10 и 11 главы 1 теоретического пособия.

Пример 5.1.	Проверьте, будет ли система векторов a1 (1; 2; 1),	a2 (4; 5; 2) ,
a3 (2; 10; 11)	линейно зависимой?

Решение. По определению система векторов линейно зависима, если существуют такие числа 1, 2 , 3 , не равные одновременно нулю, что 1a1 2a2 3a3 0 . Для заданной системы векторов имеем 1(1; 2; 1) 2 (4; 5; 2) 3 (2; 10; 11) 0 . Запишем это равенство в

							4		2				0,
					1		2		3
координатной форме: 2 1							5 2		10 3				0,
							2		11				0.
					1		2				3
					1		2				3
Решим		систему		методом			Крамера.		Вычислим					определитель матрицы				системы
	1	4 2				1 4 2				1	4 5				3	6


A	2	5	10 :	det A		2	5	10		0		3	6				27 36 9 0 .	По тео-
															6	9
	1	2	11			1 2		11		0	6		9
	1	2	11			1 2		11		0	6		9
реме Крамера система имеет единственное решение и 1 2																3 0 (однородная система

линейных уравнений всегда имеет нулевое решение). Заданная в условии задачи система векторов линейно независима.

При решении задачи стоит обратить внимание на то, что для линейно независимой системы векторов, определитель матрицы, составленной из координат векторов, отличен от нуля. Если этот определитель равен нулю, то система векторов линейно зависима.

Пример 5.2. При каком k векторы a (1; 4; 3; 2), b (2; 6; 7; 1), c (2; 7; 3; 6) и d (3; 9; k; 5) линейно зависимы.

Решение. Составим матрицу из координат векторов, записывая координаты в столбцы

		1	2	2
матрицы		4	6	7
	C	3	7	3

		2	1	6

этой матрицы равен нулю:

9 . Система векторов линейно зависима, если определитель k

				1			2	2	3	II+4I			1		2	2		3		2		1		3
				1			2	2	3				1		2	2		3
				4		6		7	9				0		2	1		3							II 0,5I
det C				4		6		7	9	III 3I			0		2	1	k	3		1		3	k	9	II 0,5I
				3			7	3	k	IV 2I			0		1	3	k	9		3		2	1		III 1,5I
				2			1	6	5	IV 2I			0		3	2	1			3		2	1
				2			1	6	5				0		3	2	1
			1				3		2	1	3			3,5		k 10,5					0	k 7
	2
	2
	0		3,5		k 10,5				1	3	k 9	2							2					. Следовательно, detC = 0,
	0		3,5			3,5			3	2	1				3,5	3,5					3,5	3,5
	0		3,5			3,5			3	2	1
если k 7 .
			Пример 5.3. Известно, что вектор a (4; 17;13) линейно выражается через векторы
							и	c (1; 4; 5) . Найдите коэффициенты этого разложения.
	b	(2; 3; 1)					и	c (1; 4; 5) . Найдите коэффициенты этого разложения.

			Решение.				По		определению				линейной				комбинации					векторов a 1						b	2c	или
(4; 17; 13) 1(2; 3; 1) 2 (1; 4; 5) .															Запишем				равенство				в	координатной						форме
			2					4,
			1	2				17, Из первого уравнения выразим 2 и подставим во второе уравнение
3 1				4 2
			5					13.
			5					13.
			1	2
2			4 21			31 4(4 21) 17 111 33 1															3 . Тогда 2				2 . Проверим спра-

ведливость третьего уравнения 1 52															3 5 (2) 13 . Следовательно, a 3											b	2c .
			Пример 5.4. Проверьте, что множество R3 {(x1, x2 , x3 )} векторов относительно опера-
ций, введенных в § 9, образует линейное пространство.
			Решение.				Нам необходимо проверить									все	8	аксиом линейного							пространства.					Пусть

x(x1, x2 , x3 ), y ( y1, y2 , y3 ), z (z1, z2 , z3 ) R3 .

I. 1) x y (x1 y1, x2 y2 , x3 y3 ), y x ( y1 x1, y2 x2 , y3 x3 ) (x1 y1, x2 y2 , x3 y3 ) ,

значит x y y x ;

2) (x y) z ((x1 y1) z1, (x2 y2 ) z2 , (x3 y3 ) z3 ) (x1 y1 z1, x2 y2 z2 , x3 y3 z3 ) , x ( y z ) (x1 ( y1 z1), x2 ( y2 z2 ), x3 ( y3 z3 )) (x1 y1 z1, x2 y2 z2 , x3 y3 z3 ) , значит (x y) z x ( y z ) ;

3)Пусть 0 (0; 0; 0) . Тогда (x1 0, x2 0, x3 0) (0 x1, 0 x2 , 0 x3 ) (x1, x2 , x3 ) , то есть су-

ществует нулевой элемент;

4)для каждого x (x1, x2 , x3 ) элемент x ( x1, x2 , x3 ) является противоположным. Дей-

ствительно, x ( x ) (x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) (0, 0, 0) .

II. 5) 1 (x1, x2 , x3 ) (1 x1,1 x2 ,1 x3 ) (x1, x2 , x3 ) , то есть 1 x x ; 6) ( x ) ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) x ;

7)(x1, x2 , x3 ) (x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 )(( )x1, ( )x2 , ( )x3 ) ( )x ;

8)x y (x1, x2 , x3 ) ( y1, y2 , y3 ) ( x1, x2 , x3 ) ( y1, y2 , y3 )( x1 y1, x2 y2 , x3 y3 ) ( (x1 y1), (x2 y2 ), (x3 y3 ))

(x1 y1, x2 y2 , x3 y3 ) (x y ) .

Все аксиомы векторного пространства выполнены, следовательно, множество трехмерных векторов образует линейное пространство.

Пример 5.5. В каноническом базисе e1 (1; 0; 0), e2 (0; 1; 0), e3 (0; 0; 1) даны четыре вектора f1 (1; 2; 4), f2 (2; 3; 7), f3 (1; 1; 2) и a (3; 2; 7). Докажите, что векторы f1, f2 , f3 ,

образуют базис. Найдите матрицу перехода к новому базису и координаты вектора a в новом базисе.

Решение. Составим матрицу из координат заданных векторов, записывая координаты

	1	2	1
векторов в столбцы: C	2	3	1	. Если	det C 0 , то векторы	f1, f2 , f3 линейно незави-
	4	7	2
	4	7	2

симы, образуют в R3 базис и С – матрица перехода от канонического базиса к базису

																		1	2	1						1							2							1			1		3
																		1	2	1						1							2							1
	f			,		f		, f .	Имеем det C								2		3	1						0							1							3								1 0 .
		1					2	3										4	7	2						0							1								2		1			2
		1					2	3
																																																					C 1 a

						Координаты вектора a в базисе																																		найдем по формуле a																	.
																									f		,		f				,		f
																									f		,		f				,		f
																							1								2					3															{ f j }				{ei }
						Найдем обратную матрицу:
				1				2 1				\| 1 0 0						1 2					1							\| 1 0 0																1		0 5 \|				3		2		0
		2						3	1		\| 0 1 0								0 1				3							\| 2 1 0																	0	1 3 \| 2						1 0
				4				7 2			\| 0 0 1								0 1				2							\| 4 0												1					0	0 1 \| 2						1 1
				4				7 2			\| 0 0 1								0 1				2							\| 4 0												1					0	0 1 \| 2						1 1
				1				0	0		\|			13	3			5						C 1										13								3				5
					0			1	0		\|			8	2			3	. Итак,					C 1													8					2			3		.
					0 0 1						\| 2				1			1																				2 1							1
					0 0 1						\| 2				1			1																				2 1							1
														13 3					5 2									13 2 3 3 5 7																					18
						Имеем a									8	2			3		3												8				2			2		3		3 7					11 .
						Имеем a									8	2			3		3												8				2			2		3		3 7					11 .
										{ f j }					2 1						7												2 2 1 3 1 7
															2 1				1		7												2 2 1 3 1 7																	6
						Заметим,							что		если			векторы																				образуют								ортонормированный									базис, то есть
						Заметим,							что		если			векторы				f1,				f2 ,						f3						образуют								ортонормированный									базис, то есть
											\| 1 , скалярные произведения (
\|			f1 \| \| f2 \| \| f3								\| 1 , скалярные произведения (																												f1, f2 ) ( f1, f3 ) ( f2 , f3 ) 0 , и Q – матрица пере-

хода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису, то об-

ратная матрица Q 1 QT .

Упражнения.

66.	Найдите 4a3 2a1 a2 , 3a1 5a2 a3 2a4 , если					a1 (4; 1; 3; 5),		a2 (1; 2; 3; 2) ,
	a3 (7; 9; 1; 3), a4 (2; 3; 5; 1) .
				a2 (2; 1; 4),	a3 (3; 2; 5) и		a1 2a2 3a3 4			0 .
67.	Найдите	b	, если a1 (5; 8; 1),	a2 (2; 1; 4),	a3 (3; 2; 5) и		a1 2a2 3a3 4		b	0 .
								20

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023282.97 Кб2Ландшафтоведение.-1.pdf
#
05.02.2023283.09 Кб1Ландшафтоведение..pdf
#
05.02.20235.04 Mб12Лекции по аналоговым электронным устройствам..pdf
#
05.02.20232.9 Mб6Лекционный демонстрационный материал «Сети связи»..pdf
#
05.02.20231.35 Mб6Линейная алгебра. Аналитическая геометрия.pdf
#
05.02.20231.22 Mб7Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1.pdf
#
05.02.2023899.42 Кб2Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.pdf
#
05.02.2023583.47 Кб4Линейная алгебра.-1.pdf
#
05.02.2023637.62 Кб3Линейная алгебра..pdf
#
05.02.20231.39 Mб8Линейные программы с графическим интерфейсом в среде Lazarus..pdf
#
05.02.20231.71 Mб2Линейные программы..pdf