Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

( 1) 0 0 5 7 ( 2) 4 1 0 ( 2) 0 0 4 5 0 7 1 ( 1) 70 7 63 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

ГРИНШПОН И. Э.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Материал для практических занятий

2019

Оглавление
Введение .............................................................................................................................................	3
§1. Действия с матрицами. ................................................................................................................	4
§2. Определители. ..............................................................................................................................	8
§3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. .............................................................	12
§ 4. Метод Крамера решения систем линейных уравнений. .......................................................	17
§5. Линейная зависимость векторов. Линейные пространства. ..................................................	18
§ 6. Ранг матрицы.............................................................................................................................	22
§ 7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусс решения систем линейных уравнений. ......	24
§ 8. Системы линейных однородных уравнений. .........................................................................	29
§ 9. Линейные операторы. Собственные числа и собственные вектора линейного оператора.
............................................................................................................................................................	32
§ 10. Действия с векторами. ............................................................................................................	36
§ 11. Скалярное произведение векторов. .......................................................................................	39
§ 12. Векторное произведение векторов. .......................................................................................	41
§ 13. Смешанное произведение векторов. .....................................................................................	43
§ 14. Квадратичные формы. ............................................................................................................	44
§ 15. Уравнения прямой на плоскости. ..........................................................................................	47
§ 16. Уравнения плоскости..............................................................................................................	49
§ 17. Уравнения прямой в пространстве........................................................................................	51
§ 18. Кривые второго порядка. .......................................................................................................	55
§19. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду. ............................................	58
Литература ........................................................................................................................................	61

Введение

Целью раздела «Линейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая геометрия» является приобретение студентами необходимых математических знаний по этому разделу высшей математики, освоение основных понятий и их взаимосвязей. Изучение этого курса даст возможность студентам овладеть мощным аппаратом, помогающим анализировать, моделировать и решать различные прикладные инженерные задачи и стандартные задачи профессиональной деятельности, развивать способность к самоорганизации и самообразованию.

Взадачи этого раздела курса математики входят: развитие алгоритмического мышления студентов, овладение методами исследования и решения математических задач, выработка у студентов умения самостоятельно расширять и углублять свои математические знания, проводить анализ прикладных задач.

При изучении курса «Линейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая геометрия» студент должен понять основные подходы к формированию различных моделей, использующих понятия и результаты математического аппарата, знать основные его алгоритмы и уметь применять их при решении экономических, технических задач и в других дисциплинах, изучаемых в университете. Основные алгоритмы, которыми должен овладеть студент при изучении раздела «Линейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая геометрия» являются действия с матрицами, алгоритм Гаусса решения систем линейных уравнений, действия с векторами, построение прямых на плоскости и в пространстве, плоскостей и гиперплоскостей в многомерном пространстве, преобразования, проводимые с помощью линейных операторов.

При изучении этого курса необходимо повышать уровень фундаментальной математической подготовки студентов при одновременном усилении прикладной направленности.

Врезультате изучения дисциплины студент должен:

знать основные понятия и методы линейной алгебры и геометрии, использующиеся при изучении общетеоретических и специальных дисциплин;

уметь применять математические методы для решения практических задач и пользоваться при необходимости математической литературой;

владеть методами решения задач линейной и векторной алгебры и аналитической геометрии, методами решений стандартных задач профессиональной деятельности, способностью к самообразованию.

Теоретический материал изложен в пособии 1. И. Э. Гриншпон Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.

Конспект лекций. – Томск: ТУСУР, 2019. – Режим доступа: https://edu.tusur.ru/publications/8974 .

§1. Действия с матрицами.

Для решения задач необходимо изучить материал § 1 главы 1 теоретического пособия.

	Пример 1.1. Найдите сумму и разность матриц
		1 3		2 2					3 1			6 2
A 2 7				5 3		и	B			5	2	7 5		.
		4	1 9		4					1 5		5 9
		4	1 9		4					1 5		5 9
	Решение. По правилу сложения матриц
			1	3	2	2		3			1	6	2		1 3	3 1	2 6	(2) 2
A B			2	7	5	3			5		2	7	5		(2) 5	7 (2)	5 (7)	3 5
			4	1	9	4			1		5	5	9		4 1	(1) 5	9 (5)
			4	1	9	4			1		5	5	9		4 1	(1) 5	9 (5)	(4) 9
4		4	8	0
	3	5	2	8	;
	3	4	4	5
	3	4	4	5
			1	3 2 2				3 1				6 2			1 3	3 1	2 6	2 2
A B			2	7	5	3			5		2	7	5		2 5	7 (2)	5 (7)	3 5
			4	1	9	4			1		5	5	9		4 (1)	1 5	9 (5)	4 9
			4	1	9	4			1		5	5	9		4 (1)	1 5	9 (5)	4 9
	2	2		4	4
	7	9		12	2	.
	5	6		14
	5	6		14	13

													2	4		5	4		5		3
Пример 1.2.						Найдите матрицу 3А + 2В, где A 1									3	2	, B 6		2		4 .
Решение. По правилу умножения матрицы на число имеем
3A		3 2		3 ( 4)			3 5		6	12 15 , 2B 2 4					2 5		2 ( 3)			8	10 6 . То-
	3 ( 1)				3 3		3	2	3	9	6	2	6	2 ( 2)			2 4		12		4 8
гда 3A 2B					6	12		15 8		10	6 6 8		12 10				15 ( 6)		14			2	9	.
				3		9		6	12	4 8		3 12 9		( 4)			6 8			9 5 14
						Найдите матрицу 3А – 2ВТ, где A 4												7		6
Пример 1.3.						Найдите матрицу 3А – 2ВТ, где A 4									2	3 , B 2				1	.
													5		7	2		5		3
																		5		3
																	12		6		9
Решение. По правилу умножения матрицы на число имеем 3A 15																			21		6	,
		14	12
2B		4		2	. Транспонируем матрицу 2В, записав ее строки в столбцы
		10		6
		10		6
T		14		4		10
2B		12		2		6 .
Выполним вычитание матриц
		T		12		6	9		14	4	10	2 10	19		.
3A 2B				15		21 6		12		2 6		3 19 0			.
																	1		5			4	7
Пример 1.4.						Найдите произведения матриц АВ и ВА, если											A 7		11	, B 9			4 .
																								4

Решение. Найдем сначала произведение АВ. Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ существует. По правилу умножения

матриц AB 1	5 4	7	1 4 ( 5) 9	1 7 ( 5) ( 4)	41	27	.
7	11 9	4	7 4 11 9	7 7 11 ( 4)	127	5

Найдем произведение ВА. Так как число столбцов матрицы В равно числу строк матрицы

А, то произведение матриц ВА существует.
BA 4	7 1	5	4 1 7 7	4 ( 5) 7 11		53		57	.
9	4 7	11	9 1 ( 4) 7	9 ( 5)	( 4) 11		19	99

На этом примере мы убедились, что операция умножения матриц некоммутативна, то есть от перемены мест сомножителей произведение меняется.

													A 1		3	4 , B			1	3	4 , C		5		2
Пример 1.5.					Даны матрицы								A 1		3	4 , B			1	3	4 , C			4	3		. Какое из про-
														2	1	2		2		1	2			1	7
																								1	7
изведений АВ или АС существует? Найдите это произведение.
	Решение. По правилу умножения матриц произведение матриц																							АХ существует, если
число столбцов матрицы											А равно числу строк матрицы Х. Матрицы А и В этому условию
не удовлетворяют (в матрице А три столбца, а в матрице																				В две строки), поэтому произведе-
ние АВ не существует. Матрицы А и															С удовлетворяют условию существования произве-
дения матриц, поэтому произведение АС существует. Вычислим это произведение:
AC					4			5		2															5 .
AC		1 3			4				4	3	1 ( 5) 3 4 ( 4) 1 1 2 3 3 ( 4) 4 3														5 .
	2 1				2				1	7			( 2) ( 5) 1			4 2 1		( 2) 2		1 3		2 7		16 13
									1	7
	Пример 1.6.						Найдите произведения матриц АВ,												ВА,	АТВТ,		ВТАТ	ААТ,		АТА и АВА, ес-
			1		3					2		4 1 .
ли A			2		1		, B			2		4 1 .
			5		4					8	2			5
			5		4
	Решение. По правилу умножения матриц найдем все заданные в условии примера произ-
ведения матриц:
		1		3		2								1 2 3 8			1 4 3 (2)				1 (1) 3 5
AB		2		1		2			4	1				(2) 2 1 8			(2) 4 1 (2)				(2) (1) 1				5
		5				8			2		5			5 2 (4) 8			5 4 (4) (2)
		5	4											5 2 (4) 8			5 4 (4) (2)				5 (1) (4) 5
26			2		14
	4		10		7				,
	22		28		27
	22		28		27
BA 2 4					1				1	3								2 3 4 1 ( 1) ( 4)										,
BA 2 4					1				2	1		2 1 4 ( 2) ( 1) 5						2 3 4 1 ( 1) ( 4)								11 6		,
	8		2		5				5	4			8 1 ( 2) ( 2)				5 5	8 3 ( 2) 1				5 ( 4)					37 2
									5	4
AT BT 1										2		8											5 5			11		37 ,
AT BT 1				2			5			4		2 1 2 ( 2) 4					5 ( 1)		1 8 ( 2) ( 2)				5 5			11		37 ,
			3 1			4				1		5		3 2 1 4		( 4) ( 1)			3 8 1 ( 2) ( 4) 5								6	2
										1		5

BT AT		2		8				1		2	5						2 1 8 3				2 (2) 8 1		2 5 8 (5)
BT AT			4	2				1		2	5			4			1 (2) 3				4 (2) (2) 1		4 5 (2) (5)
			1	5				3		1	5										(1) (2) 5 1		(1) 5 5 (5)
			1	5										(1) 1 5 3							(1) (2) 5 1		(1) 5 5 (5)
	26		4	22
	2	10		28			,
	14		7	27
	14		7	27
			1	3		1											1 1 3 3				1 ( 2) 3 1		1 5 3 ( 4)
A AT			2	1		1				2	5		( 2) 1 1 3								( 2) ( 2) 1 1		( 2) 5 1 ( 4)
			5	4				3		1	4						1 ( 4) 3				5 ( 2) ( 4) 1		5 5 ( 4) ( 4)
			5	4										5			1 ( 4) 3				5 ( 2) ( 4) 1		5 5 ( 4) ( 4)
10			1	7
	1		5	14			,
	7	14		41
	7	14		41
AT A 1										1	3															30 19 ,
AT A 1				2		5			2		1	1 1 ( 2) ( 2)									5 5	1 3 ( 2) 1 5 ( 4)				30 19 ,
		3 1			4					5	4				3	1		1 ( 2) ( 4) 5				3 3 1 1	( 4) ( 4)		19 26
										5	4
	26			2				14			1			3					26 1 ( 2) ( 2) 14 5				26 3 ( 2) 1 14 ( 4)
ABA			4	10					7		2			1					4	1 ( 10) ( 2) 7 5			4 3	( 10) 1 7 ( 4)
		22		28							5			4					( 22) 1 28 ( 2) ( 27)				5 ( 22) 3 28 1 ( 27) ( 4)
		22		28				27			5			4					( 22) 1 28 ( 2) ( 27)				5 ( 22) 3 28 1 ( 27) ( 4)
	26 4 70							68 2			56						100			10
	4	20 35						12		10 28									59	26	.
	22 56 135																	213		70
	22 56 135						66 28 108											213		70

В этом примере при умножении матриц при перестановке сомножителей получили матрицы разных размеров. Мы проверили справедливость еще одного свойства умножения мат-

риц	( A B)T BT AT и							(B A)T			AT BT .
					Пусть A				2			5						2		3
	Пример 1.7.				Пусть A				7			4 . Найдите матрицу						A	A 250E .
	Решение. По правилу умножения матриц найдем матрицы А2 и А3:
A A A 7					4 7		4 ( 7) 2 4 ( 7)									( 7) 5 4 4				42	19 ,
2			2 5 2 5							2	2		5	( 7)		2 5 5		4		31 30						286 .
A A A 42						19 7			4 ( 42) 2 ( 19) ( 7)									( 42) 5 ( 19) 4							49	286 .
3	2		31			30		2	5			( 31)			2 30 ( 7)				( 31) 5 30			4		272			35
										2			3	31		30	272			35		241	65
Выполним вычитание матриц										A		A		42		19		49		286		91	267 .
Осталось				вычесть					единичную							матрицу,				умноженную					на		250:
250E 250 10				10 2500				2500		.
	2	3			250E		241			65			250		0	9		65	.
Итак, A		A			250E		91		267				0		250 91			17	.
					Пусть A				2	0
	Пример 1.8.				Пусть A				0	5 . Найдите все матрицы, перестановочные с матрицей А.
	Решение. Пусть матрица В перестановочна с матрицей А, то есть АВ = АВ. Пусть матрица
В имеет вид B b						d . По правилу умножения матриц													AB 0		5 b		d		5b		5d ,
					a	c														2	0	a	c		2a		2c
	a	c	2		0	2a		5c
BA b		d	0		5 2b			5d . Две матрицы равны,										если равны все их соответствующие

		2a	2a,
элементы, то есть		5b	2b,	Из этой системы следует,
элементы, то есть		2c	5c,	Из этой системы следует,
		2c	5c,
			5d.
	5d		5d.

b = c = 0. Матрицы, перестановочные с матрицей А имеют вид

что а и d – любые числа,

B a0 d0 , где a, d R .

Упражнения.

					1			5				4				4			2			1
														,	B								.
1.	Найдите А + В и А – В,		если A			3			6		7			,	B	5			3			14	.
						3		7					1				2			5	7
						3		7					1				2			5	7

								9					8				3			6
					4			9					8				3			6	12
2.	Найдите А + В,	–А, 4В,	3А + 2В, 2А – В,								2А – 3В, если
	A 1 2 3	5 , B 3 5				3		1		.
	4 3 5	1	5 2			1		3
3.	Найдите произведения АВ, ВА, B AT, АТ·В, ВТ·А, А·ВТ, АТ·ВТ																		и BТ AT,				если
	3 2	3 4						2			3				1 2
	а) A 5 4	; B 2	5 ;	б) A				1			2 , B 4							3 .
	Какие выводы из полученных результатов вы можете сделать?
4.	Найдите А + В,	2В – А,	A BT,	B AT, АТ·В,							если				A 2			7		3 , B				1	2	9 .
															3			4		2				4	5	1
							cos				sin				cos			sin			.
5.	Вычислите произведение матриц					sin					cos				sin			cos			.

			2				3							1		5
											3
6.	Пусть A			5			4		, B		3			3	6				.	Найдите произведения АВ, ВА,									BAT и АТВ.
6.	Пусть A			5			4		, B					3	6				.	Найдите произведения АВ, ВА,									BAT и АТВ.
				1		2							4				3
				1		2							4				3
													5				8
			6			9							5				8
7.	Найдите матрицы АС + 3ВС, АС + 3СВ,																				(АВ)С,		А(ВС),	(А + 3В)С, если
	2	3							1	2					4			1
	A 4		5	, B 3						4 , C 2 1										.
																		1			5		2	4		5
8.	Найдите произведение матриц														A 3					4 ,		B 1		2		1 .
															АТ·ВТ					и BТ AT,					A		2	4	5 ,		3
9.	Найдите произведения АВ,												ВА,		АТ·ВТ					и BТ AT,			если а)		A		2	4	5 ,		B	2
																										1		2	1			1
																																1
	б) A 4											4			2
	б) A 4				1			2 , B				3			5		.
		3			5			1				2			4
												2			4
															A									3		2		C 3			1 .
10.	Найдите матрицу АВ + С, если														A					2	3	1 , B		2		1	,	C 3			1 .
																			5		7	2		4		3			20		19
																								4		3
																	A 2								3	2			2		4
11.	Найдите матрицу А(В + С), если																A 2				3	1 , B			2		1	, C		3	5	.
																				5 7			2		4	3				2	6
																									4	3				2	6

3;2

			4
12. Найдите произведения АВ и ВА, если A (2	1	5), B	7	.
			2
			2

																	1		3	2				2		5 6
13.	Найдите произведения АВ и ВА, если														а)	A		3	4	1	,	B			1	2	5	;
																		2	5 3						1	3 2
																		2	5 3						1	3 2
		3 8			2					4		10 3
	б) A	4 5			2		, B		2			5 9			.
		1 8			3					2		8		3
		1 8			3					2		8		3
												2		4	1			1	2		1			3		2
14.	Найдите произведение матриц											2		4	1		3		4		1			1		2	.
												3		1	1			5	10 3					2
																		5	10 3					2		1
	Пусть A											1		2	3
15.	Пусть A			1	2		1 , B					3		1	2	. Найдите А B AT.
				2	1		3					2	1		4
												2	1		4
							2		1							Т		Т		2
16.	Пусть матрица				A 3				4 .		Найдите А·А ,						А ·А и А .
				Т	Т									3 2 1 2					б) A			4 2				5 3			,
17.	Найдите А·А и А ·А, если									а)		A 4			1	1	3 ;		б) A			1			3	7	2		,
	в) A 1 4 2 7 .
				2	3		4					2							A		1	2
18.	Вычислите А ,				А ,	А ,			Е – 2A + А , если матрица										A		3	5	.
												2								2		1
19.	Найдите матрицу					B (E 2 A 3A							)(E A) , если A 3									2	.
20.	При каком условии на матрицы будут верны равенства
	а) ( A B)2 A2 2 AB B2 ;										б) ( A B)( A B) A2 B2 ?
		1		a	b				1			p	q
21.	Дано A		0	1	c	,		B		0		1	s	. Определите, когда АВ = ВА.
			0	0	1					0		0	1
			0	0	1					0		0	1
22.	Даны матрицы				A 1				k ,	B 1			m . При каких k и m									АВ = ВА?
							1		1			1	1
23.	Найдите все матрицы, перестановочные с матрицей А,																				если
	а) A 02		02 ;		б) A 03					04 ;		в) A 10					12 ;		г) A 13			42 ;				д) A 75

3 .2

§2. Определители.

Для решения задач необходимо изучить материал §§ 2 и 3 главы 1 теоретического пособия.

Пример 2.1. С каким знаком произведение входит в развернутое выражение определите-

ля, если оно равно а) a25a31a54a12a43 ; б) a42a35a51a14a52 .

Решение. Определитель равен алгебраической сумме n! произведений элементов опре-

делителя, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и умноженных на (1)s t и

знак произведения определяется суммой числа инверсий s + t в перестановках первых и вторых индексов.

а) Произведение a25a31a54a12a43 входит в определитель 5-го порядка. Чтобы определить его знак, подсчитаем число инверсий в перестановках первых и вторых индексов:

1 индексы: перестановка 2; 3; 5; 1; 4 : 1 образует 3 инверсии, 2 – 0 инверсий, 3 – 0 инверсий, 4 – 1 инверсию; всего s = 3 + 1 = 4 инверсии.

2 индексы: 5; 1; 4; 2; 3 : 1 образует 1 инверсию, 2 – 2 инверсии, 3 – 2 инверсии, 4 – 1 инверсию; всего t = 1 + 2 + 2 + 1 = 6 инверсий.

Так как s t 10 – четное число, то произведение a25a31a54a12a43 входит в развернутое выражение определителя со знаком плюс.

б) Произведение a42a35a51a14a52 не входит в развернутое выражение определителя, так как в этом произведении находятся два элемента из второго столбца определителя.

Пример 2.2. Вычислите определитель		5	.
Пример 2.2. Вычислите определитель	2	5	.
	1	7

Решение. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диаго-

нали минус произведение элементов побочной диагонали							5	2 7 ( 5) ( 1) 9 .
нали минус произведение элементов побочной диагонали						2	5	2 7 ( 5) ( 1) 9 .
						1	7
	1	4	3	2
	1	4	3	2
Пример 2.3. Дан определитель D	3	3	a23	9	. Найдите алгебраическое допол-
Пример 2.3. Дан определитель D	5	0	1	1	. Найдите алгебраическое допол-
	0	7	3	0

нение элемента a23 .

Решение. Минор M 23 получаем, вычеркнув в определителе D вторую строку и третий столбец (минор вычисляем по правилу «звездочки»)

Алгебраическое дополнение может отличаться от минора только знаком A ( 1)i j M														ij	.
													ij	ij
Имеем			A	( 1)2 3 M		23		63.
			23			23
										3	2
									1	3	2
	Пример 2.4. Вычислите определитель								2	5	3	.
									4	2	7
	Решение. Вычислим определитель тремя способами.
	а) Вычислим определитель по правилу «звездочки»:
			3	2
		1	3	2
		2 5		3	1 5 7		3 ( 3) ( 4) 2 2 ( 2) ( 2) 5				( 4) 3 2 7 1 2 ( 3) 35 36 8
		4	2	7
40 42 6 13;
											n
	б) Вычислим определитель по теореме Лапласа aij Aij , где												Aij ( 1)i j Mij .

j 1

Разложим определитель по элементам первой строки:

	1 1					1 2	1 3			3	2		5	3		2	3
									1
									1
				M11	a12			M13	2	5	3	1			3
a11 (1)				M11	a12	(1)	M12 a13 (1)	M13	2	5	3	1	2	7	3	4	7
	2	5							4	2	7
									4	2	7
(2)			(35 6) 3(14 12) 2(4 20) 41 6 48 13.
	4	2

в) Вычислим определитель, получив нули в первом столбце (умножим первую строку на –2 и прибавим ко второй, умножим первую строку на 4 и прибавим к третьей, а затем применим теорему Лапласа, разложив определитель по первому столбцу)1:

	3	2	II 2 I	1	3 2		1 1	1 1
1
1
2	5	3	III+ 4 I	0	1 1		1 ( 1)	14	1	( 1) ( 1) 1 14 13 .
4	2	7		0	14	1
4	2	7		0	14	1

При вычислении определителя воспользовались свойством: определитель не изменится, если к какой-либо его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число2.

		2	3	2
	1	2	3	2
Пример 2.5. Вычислите определитель	2	3	1	1	.
	3	5	4	5
	1	7	9	2

Решение. Вычислим определитель, получая нули в первом столбце и применяя теорему Ла-

		2	3	2	II+ 2 I	1	2	3	2		1	5	3	II+ I
	1

	2	3	1	1		0	1	5	3	1 ( 1)1 1
пласа:					III 3I						1	13	1
	3	5	4	5	IV I	0	1	13	1		5	6	4	III 5I
	1	7	9	2		0	5	6	4

	5	3	1 1	8	2
1
1

0	8	2	1 ( 1)	19	19	8 ( 19) 2 19 152 38 190 .
0	19	19
0	19	19

Упражнения.

24.

Какие из следующих произведений входят в развернутое выражение определителя, и с

каким знаком

а) a13a21a34a41a55 ;

б)

a16a23a35a41a52a64 ;

в)

a14a22a31a46a53a67a75 ?

Вычислите определители

25.

а)

;

б)

3 5

;

в)

7 9

;

г)

4 17

;

д)

18 3

;

2 3

1 4

26.

а)

x 1

;

б)

x 1

;

в)

(x 3)2

;

г)

x 5

x 3

;

д)

x y

;

x 1

x2 x 1

(x 3)2

x 2

x y

27.

а)

sin

cos

;

б)

cos 2

;

в)

sin x

cos x

;

г)

cos2 x

;

cos

sin

sin y

cos y

cos 2x

д)

cos2 (1 sin2 )

2sin

(1 sin2 )

;

2sin

(1 sin2 )

cos2

(1 sin2 )

1Римскими цифрами обозначены номера строк, а арабскими соответствующие коэффициенты.

2Иногда допускают ошибку, прибавляя к какой-либо строке, умноженной на некоторое число k, другую строку. В результате определитель изменится, он увеличится в k раз.

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023282.97 Кб2Ландшафтоведение.-1.pdf
#
05.02.2023283.09 Кб2Ландшафтоведение..pdf
#
05.02.20235.04 Mб18Лекции по аналоговым электронным устройствам..pdf
#
05.02.20232.9 Mб6Лекционный демонстрационный материал «Сети связи»..pdf
#
05.02.20231.35 Mб12Линейная алгебра. Аналитическая геометрия.pdf
#
05.02.20231.22 Mб12Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия-1.pdf
#
05.02.2023899.42 Кб7Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.pdf
#
05.02.2023583.47 Кб7Линейная алгебра.-1.pdf
#
05.02.2023637.62 Кб6Линейная алгебра..pdf
#
05.02.20231.39 Mб13Линейные программы с графическим интерфейсом в среде Lazarus..pdf
#
05.02.20231.71 Mб3Линейные программы..pdf