Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

7 1

П р и м е р 1. Найти df, åñëè f(x) = ex2 sin 5x.

Решение: òàê êàê f¢(x) = ex2 sin 5x (2x sin 5x + 5x2 cos 5x), òî df = ex2 sin 5x (2x sin 5x + 5x2 cos 5x) dx.

П р и м е р 2. Вычислить df, åñëè f(x) = x3 , в точке x0 = 2, Dx = 0,01.

П р и м е р 3. Заменяя приращение функции ее дифференциалом, вычислить приближенно (1,030)5. Оценить абсолютную и относительную погрешности, допускаемые при этом.

Решение: примем f(x) = x5, x0 =1,000; x1=1,030. Тогда dx = Dx = 1,030 - 1,000 = 0,030, f(x0 ) = 1,000;

f(x0 + Dx) = f(x0 ) + Df(x0 ) » f(x0 ) + df(x0 ).

В нашем случае df = 5xdx, df(x0 ) = 5 ×1× 0,030 = 0,150. Поэтому

f(x0 + Dx) = f(1,030) = (1,030)5 »1+ 0,150 =1,150.

Так как само число 1,030 приближенное и указано с точностью до тысячных, то непосредственное вычисление с округлением до тысячных дает (1,03)5 = 1,159. Таким образом, при замене приращения дифференциалом допущена абсолютная погрешность = 1,15 − 1,159 =

= 0,009, а относительная — δ = 0,1,159009 ≈ 0,008, т.е. менее одного процента.

Иногда точность приближенного равенства Df » df бывает недостаточной (если Dx велико). Тогда привлекают дифференциалы высших порядков.

Пусть функция y = f(x) в точке x имеет производные любого порядка. Ее дифференциал df = f ¢(x)dx, называемый первым дифференциалом, является функцией двух переменных — x è Dx = dx. Приращение аргумента будем полагать в заданном процессе постоянным и независимым от выбора точки x. При таком соглашении дифференциал является функцией от x, от которой также можно найти дифференциал, называемый вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка, он обозначается d2f. Таким образом, d2f = d(df). Находим d2f = d (f¢(x)dx) = (f¢(x)dx)¢ dx = f¢¢(x)(dx)2. Ïðè

этом учтено, что dx не зависит от x. Èòàê, d2f = f¢¢(x)(dx)2. Аналогично можно ввести понятие дифференциала любого поряд-

êà: d3f = d(d2f) — дифференциал третьего порядка, …, d (d(n−1)f) = (n−1) (dx)n ) = f(n)(x)(dx)n — дифференциал порядка n. Заметим,

7 2

êàê äëÿ x — независимой переменной, так и для x — функции другого аргумента. Это свойство называют свойством инвариантности формы записи первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков, начиная со второго, свойством инвариантности не обладают, так как если x = x(t), òî d(dx) ¹ 0. В этом случае Dx ¹ dx.

П р и м е р 4. Найти d3f, åñëè f(x) = x4.

Решение: òàê êàê f¢(x) = 4x3, f¢¢(x) =12x2, f¢¢¢(x) = 24x, òî d3f = = 24x(dx)3.

Доказано, что если функция имеет в точке x0 производные до (n+1)-го порядка включительно, то в некоторой окрестности uδ(x0) справедлива формула

называемая формулой Тейлора порядка n. Величина Rn+1(x) называ-

Остаточный член Rn+1 можно записать в различных формах, наиболее простая из них предложена французским математиком Лагран-

æåì: Rn+1 = f(n+1) (c) (x − x0 )n+1, ãäå c — некоторая точка из окрестно- (n + 1) !

ñòè Uδ(x0), лежащая между x è x0. Многочлен

Pn (x) = f(x0 ) + f′(1!x0 ) (x - x0 ) +

+ f¢¢(x0 ) (x - x0 )2 + ... + f(n)(x0 ) (x - x0 )n 2! n !

называется многочленом Тейлора. Формула Тейлора позволяет функцию f(x) представить приближенно многочленом: f(x) » Pn (x). Вели- чина остаточного члена Rn+1(x) определяет абсолютную погрешность равенства f(x) » Pn(x). Итак, имеем

бой степенью точности можно представить многочленом Тейлора. Это условие заведомо выполнено, если все производные ограничены од-

Формулу (2.17) называют формулой Маклорена порядка n. Если функция f(x) имеет в точке x0 производные всех порядков

è Rn+1(x) → 0 ïðè n → ∞, то функцию f(x) можно представить в виде степенного ряда:

Степенной ряд (2.18), коэффициенты которого находятся по формулам (2.19), называется рядом Тейлора для функции f(x).

Вычисляя производные в нуле, легко получить следующие ряды:

7 4

(разложения 4–7 имеют место при x < 1 ).

Приведенные ряды широко используются в приближенных вы- числениях, поскольку они позволяют свести все элементарные функции к многочленам.

П р и м е р 5. Представить в виде суммы ряда Маклорена функ-

Мы рассмотрели дифференциал и формулу Тейлора для функций одной переменной. Формула (2.15) сохраняется и для функций многих переменных, только значительно усложняется вид дифференциалов высших порядков.

Упражнения

1. Найдите дифференциалы функций:

2. Вычислите дифференциал и приращение функции f(x) при переходе из точки x0 в точку x1:

à) f(x) = 2x2 + 4x + 1, x0 = 3,000; x1= 3,040; á) f(x) = 5x3 − x2 + 3, x0 = 1,000; x1= 1,010.

Ответ: а) f = 0,643, dy = 0,640; á) y = 0,131, dy = 0,130.

7 5

3. Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите, округлив до 0,0001:

жит неопределенность 00 . Естественно предположить, что отыскание некоторых пределов можно свести к дифференцированию функций.

ê (sin x)′ ïðè x = 2. Следовательно, этот предел равен 4e4sin 2. Ïðè

7 6