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Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

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201

Задача 2

Вычислите определенные интегралы. Числа π и e округлите до 0,001, положив π ≈ 3,142, e 2,718.

e2 +1		1	+ ln(x − 1)					1
2.1 à) (20À)	ò						dx; á) (Ò2Á)	ò (x + 1)ln2 (x + 1)dx;
2.1 à) (20À)	ò				x − 1		dx; á) (Ò2Á)	ò (x + 1)ln2 (x + 1)dx;
e +1								0
	16
â) (5ÒÑ.Ä8)		ò			256 − x2 dx.
		0
2.2 à) (79Ò) ò		2		+ 1)dx		2 ;	á) (86Ä.Ä7)	ò (x2	− 5x − 6 )cos2xdx;
2.2 à) (79Ò) ò	(x			+ 1)dx		2 ;	á) (86Ä.Ä7)	ò (x2	− 5x − 6 )cos2xdx;
1								0
0
0	(x3 + 3x + 1)							−1

â) (961.ÄÌ) ò x2 1 − x2 dx.

1	4 arctg x − x	2	(x2 − 4)cos3xdx;
2.3 à) (423) ò		dx; á) (9À2) ò
	2
0	1 + x	−2π

â) (ÁÏ4) ò x2 4 − x2 dx.

2.4à) (985)

â) (457)

2.5à) (308)

â) (ÑÒÎ)

x3dx

(x + 1)2 cos3xdx;

; á)

(Ò96)

x2 + 4

−1

3 2

3 − x

2π

+ cos x

(x2 + 7x − 8 )cos xdx;

dx;

á) (089) ò

+ 2 sin x

ò x3

1 − x2 dx.

π 4

2 cos x + 3 sin x

(2x2 + 4x)cos2xdx;

2.6 à) (11Ï)

dx;

á) (ÁÇÀ) ò

(2 sin x − 3 cos x)

2 2

100x4dx

â) (1ÒÁ.Ä8)

1 − x

1 2

8x − arctg 2x

(x2 − 2x)cos3xdx;

2.7 à) (8ÑÑ)

dx;

á) (12Ò) ò

+ 4x

202

â) (24Ä.Ä8) ò

16 - x

+ 1

(3x2 + 2x)cos 4xdx;

2 x

2.8 à) (571) ò

dx;

á) (Ï12) ò

(

+ x)

â) (663.ÄÌ) ò x2 16 - x2 dx.

xdx

2π

(3x2 + 5x)cos2xdx;

2.9 à) (Ò54) ò

; á) (1Ï5.Ä8) ò

x4 + 1

â) (856.Ä7) ò x2

25 - x2 dx.

ç x

÷ dx

2π

2.10 à) (717.Ä8)

;

á) (308)

ò (2x2 + 4x)cos3xdx;

+ 1

â) (529) ò

64 - x

1 ö

ç x -

÷ dx

2π

2.11 à) (À20.Ä8)

;

á) (2ÁÏ)

ò (1 - 2x

)cos2xdx;

+ 1

â) (Á4Á.Ä7)

ò x2

9 - x2 dx.

−3

2π

(1 - x2 )cos 4xdx;

2.12 à) (8ÁÀ.Ä8) ò

;

á) (ÇÒÑ) ò

(1 + x2 )

â) (72Ò) ò

- x

sin1 (arcsin x)2 + 1

á) (531) ò (x +

2.13 à) (ÎÏÄ)

dx;

1) sin 3xdx;

1 + x

−1

â) (6Á2) ò

4 - x

203

2.14 à) (563.Ä8) ò

;

á) (694) ò (x2 − 3x)sin 2xdx;

+ 1

3 2

x2dx

â) (335.Ä8)

9 − x

2.15 à) (676)

;

á)

(357.Ä8) ò (x2 + 3x)sin xdx;

x x

+ 1

â) (2Ò8)

)

− x

1 − x

π 4

π 2

2.16 à) (Ä49)

tg x ln cos xdx ; á) (ÑÒÎ)

(x2 − 5x)sin 3xdx;

3 2

x4dx

â) (ÒÄÏ.Ä8) ò

9 − x

xdx

(x + 3)2 sin 2xdx;

2.17 à) (1ÄÀ.Ä8) ò

;

á) (23Á) ò

x − 1

−3

x4dx

â) (71Ñ)

3 2

(4 − x

)

tg(x + 1)dx

π 4

+ x)sin 2xdx;

2.18 à) (ÄÁÒ)

;

á) (ÒÒÄ)

−

cos (x + 1)

â) (Ò31)

3 2

(4 − x

)

x2 + ln x2

π 2

2.19 à) (Ñ62.ÄÌ) ò

dx; á) (713.ÄË) ò (x2 + 2x)sin xdx;

â) (244)

sin 4 xdx.

− π 2

x3 + x

)

(3x − x2 )sin 2xdx;

2.20 à) (2À5) ò (

;

á) (ÑÑ6) ò

+ 1

π 4

â) (9Ï7) ò cos4 xdx.

204

Задача 3

Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми.

3.1

à) (361.Ä7) y = x2 − x +1, x = 0, y = 0, x =2;

á) (ÎÄ1) y = (x −1)3, y = 4(x − 1).

3.2

à) (ÒÏ1.Ä7) y = x2 +1, x = 0, y =0, x =2;

á) (021) y = x 9 − x2 , 0 ≤ x ≤3.

3.3

à) (Ò01.Ä7) y = x2 +3, x =0, y =0, x =2;

á) (ÏÑ2) y = 4 − x2, y = x2 −2x.

3.4

à) (5ÄÒ) y =3x2 −6x + 4, x =0, y =0, x =2;

á) (711) y = x 36 − x2 , y = 0, 0 ≤ x ≤ 6.

3.5

à) (ÄÎÎ) y =3x2 − 4x +5, x =0, y =0, x =2;

á) (ÏÀ1.Ä8) y = x arctg x, y = 0, x =

3.6

à) (ÇÏ1.Ä7) y = x2 + 2, x = 0, y = 0, x =2;

á) (941.Ä8) y =sin x cos2 x, y = 0, 0 < x < π .

3.7

à) (461.Ä7) y =2x2 −2x + 3, x = 0, y =0, x =2;

á) (ÖÊ1.Ä8) y =

4 − x2 , x = 0, x = 1.

3.8

à) (021) y = x2 − 4x + 6, x = 0, y = 0, x =3;

á) (462.Ä8) y =x2

4 − x2 , y = 0, 0 ≤ x ≤ 2.

3.9

à) (737) y =(x −3)2, x =0, y =0;

á) (Ò72.Ä7) y = cos x sin2 x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π .

3.10 à) (ÑÀ2.Ä7) y =2x2 −8, y =0;

á) (ÑÑ2.Ä8) y =

ex − 1, y = 0, x = ln 2.

3.11 à) (472.Ä7) y = x2 + 3x+2, y =0;

á) (342) y =

, y = 0, x =1, x =e3.

x 1+ ln x

3.12à) (6Ñ2.Ä8) y = x2 −1, y = 0;

á) (ÇÑ2) y = arccos x, y = 0, x = 0.

205

3.13à) (Ï42.Ä7) y = x2 − 4, y =0;

á) (Á73.Ä7) y = (x + 1)2, y2 = x + 1.

3.14à) (ÏÈÆ.Ä7) y = x2 + 4x, y =0;

á) (ÎÒ8) y =2x − x2 + 3, y = x2 − 4x + 3.

3.15à) (ÏÈÕ.Ä7) y = x2 −2x − 3, y =0;

á) (323) x = arccos y, x = 0, y = 0.

3.16à) (ÊÑÆ.Ä8) y =(x − 3)(x − 1), y =0;

á) (9ÄÇ) x = 1p x2 8 - x2 , y =0, 0 £ x £ 22.

3.17à) (673.Ä7) y =(x − 5)(x − 4), y =0;

á) (ÒÑÇ.Ä8) x = ey - 1, x = 0, y = ln 2.

3.18à) (943.Ä7) y = 4 − x2, y = 0;

á) (Ï63.Ä7) y = x4 − x2 , y = 0, 0 ≤ x ≤ 2.

3.19à) (ÇÄÇ) y =9 − x2, y = 0;

á) (513.Ä7)	y =	x		, y =0, x = 1.

		1+
			x
3.20 à) (ÇÀ5.Ä7) y = (x − 2)2, y = 0, x = 0;
á) (383) y =	1		, y =0, x = π , x = - π .
	1+ cos x
			2		2

Задача 4

Разлагая подынтегральную функцию в ряд Тейлора по степеням x, вычислите приближенно с точностью x = 0,001 интегралы.

	1									0,1
4.1	(5Ò1.ÄË). ò sin x2dx.							4.2 (722.Ä7).		ò	cos (100x2 )dx.
	0									0
	1	−6x2								0,1	1 - e−2x
4.3	(523.ÄË). ò e			dx.				4.4 (Ñ54.Ä7).		ò				dx.
4.3	(523.ÄË). ò e			dx.				4.4 (Ñ54.Ä7).		ò	x			dx.
	0									0
			æ	1+	x ö
	1 ln ç					÷ dx					0,5			dx
	1 ln ç				5	÷ dx					0,5
4.5	(À55.ÄË). ò		è		5	ø			. 4.6 (Ä21.Ä7). ò							.
			è			ø
				x								4
				x								4	1+ x		4
	0										0		1+ x
	1,5			dx						0,2
4.7	(022.ÄË). ò			dx			.	4.8 (656.Ä7).			ò e−3x2 dx.
		3
		3	27 + x			3
	0		27 + x								0

206

0,2

0,5

4.9 (Ò81.Ä7). ò

sin (25x2 )dx.

4.10 (822.Ä7).

cos(4x2 )dx.

0,2

1-ex

4.11

(823.ÄË). ò

4.12 (Ñ78.Ä7). ò

dx.

16 + x

0,5 arctg x

4.13

(8Ä3.ÄË).

dx.

4.14 (284.Ä7). ò

8 - x

−1

0,2 ln (1 + x2 )dx

0,4

−

3x2

4.15

(457.ÄË).

4.16 (Ò74.Ä7).

4 dx.

0,4

æ 5x

ö2

4.17

(4Ò5.ÄË).

sin

dx.

4.18 (086.Ä7). ò

è 2

64 + x

1 +

0,4 ln ç

÷ dx

0,5

− 3x

4.19

(Ñ78.ÄË).

4.20 (Ä09.Ä7).

25 dx.

Задача 5

Вычислите двойные интегралы по области D, ограниченной указанными кривыми.

5.1 à) (341.Ä8) òò xdxdy, D: {y = x, y =0, x =2};

á) (À5À.Ä7) òò xydxdy, D:{y =x2, x =0, y =1, x >0}.

5.2 à) (34Á.Ä7) òò ydxdy, D: {y = x, y =2, x =0};

á) (7ÄÑ.Ä7) òò xydxdy, D:{y =x2, x =1, y = 0}.

òò x

y = - x

y =

x =

dxdy

5.3

à) (ÑÀÇ.Ä8)

: {

0};

á) (8ÀÄ) òò xdxdy, D:{y = - x2, x =2, y = 0}.

5.4 à) (ÏÑ1.ÄÌ) òò ydxdy, D: {y = - x, x = - 2, y = 0};

á) (7Ä2.ÄË) òò xy2dxdy, D:{y =x2, y = - x2, x = 1}.

5.5 à) (5À3.Ä8) òò y 3x dxdy, D:{y = x, y = 0, x = - 1};

207

á) (8Ñ4.Ä7) òò x 3ydxdy, D:{y = x2, x =0, y = 1, x <0}.

5.6 à) (3Ï5.ÄÌ) òò x 2y2dxdy, D:{y = x, y = − 2, x = 0};

á) (ÄÀ6.ÄË) òò (x + y )dxdy, D:{y = − x2, x = − 1, y = 0}.

5.7 à) (597.Ä8) òò (x2 +y2 )dxdy, D:{y = − x, y = − 1, x =0};

á) (6Ò8.ÄË) òò x2dxdy, D:{y = − x2, y = − 1, x < 0, x = 0}.

D
5.8 à) (129.Ä8) òò (2x −y )dxdy, D: {y = − x,	x =1, y = 0};
D
á) (400.Ä8) òòy2dxdy, D:{y = − x2, y = − 1, x = 0, x > 0}.
D
5.9 à) (Ï2Ï.Ä7) òò (x −2y )dxdy, D: {y = x,	y = − x, x =1};
D
á) (8ÁÀ.ÄÌ) òò (x2 −y2 )dxdy, D:{y = − x2, y =0, x = 1}.
D
5.10 à) (38Á.Ä7) òò (2x + y )dxdy, D: {y = x,	y = − x, y =1};
D

á) (6ÁÑ.Ä7) òò x2ydxdy, D:{y = x2, y =1}.

5.11

à) (ÄÑÄ.Ä8) òò 3

dxdy, D:{y = x, y = − x, x = − 1};

á) (241.Ä7) òò (3x + y )dxdy, D:{y = x 2, y = − x 2, x = − 1}.

5.12

à) (842) òò (x + 3y )dxdy, D: {y = x, y = − x,

y = − 1};

á) (323)

òòD

ìx =0, y =

, y =

ü.

y2 sin

dxdy, D:

2 þ

5.13

à) (ÀÐ4.Ä7) òò xdxdy, D: {x + y =1, x = 0,

y = 0};

á) (Ñ35) òòy2 cos xydxdy, D:{x = 0, y =

, y = x}.

5.14

à) (4Á6.Ä7) òò ydxdy, D: {x −y = − 1, x = 0,

y = 0};

á) (Ò97)

òò 4y2 sin 2xydxdy, D:{x = 0, y =

, y =2x}.

2π

208

5.15 à) (Ä78.Ä7) òò (x + 4y )dxdy, D:{x =1, y = x , y = − x 2};

á) (299) eòòy2e− 2 dxdy,D:{x=0, y= 2, y=x}.

5.16 à) (À00.Ä8) òò (2x2 +3y2 )dxdy, D:{x =1, y = − x , y = x2};

á) (5ÄÏ.Ä8) òò 3x 2dxdy, D:{y = x, y =2x, y =1, y =2}.

5.17 à) (87À.Ä8) òò (2x + 4y )dxdy, D:{y = x 3, y =1, x = 0};

á) (97Á.Ä8) òò (x2 +y )dxdy, D:{y = x2, y2 = x}.

5.18 à) (47Ñ.Ä8) òò (x +y2 )dxdy, D:{y =x3, y =0, x =1};

á) (ÓÀÒ) òò cos(x + y )dxdy, D: {x = 0, y = π, y = x}.

5.19 à) (Ò1Ä.Ä6) òò (3x + 3y )dxdy, D:{y = 0, x = − 1, y = x3};

á) (ÇÑ1.Ä7) òò (x + 4y)dxdy, D: {y = x, y =5x, x =1}.

5.20 à) (ÏÑ2) òòD yx dxdy, D: {y = x, y =2x, x =2, x = 4};

á) (6Ñ2.Ä8) 45òòx2y21−x3 −y3dxdy,

D:{x3 + y3 = 1, x =0, y= 0, x > 0, y > 0}.

Задача 6

Вычислите криволинейные интегралы по указанным кривым. Нецелые числа вводите в виде десятичных дробей, округлив до 0,01.

6.1 à) (Ï03.Ä7) ò (x2 −2y )dx + (y2 −2x )dy,

L: {отрезок MN, M(−1;0), N(0;1)};

á) (ÑÒ4) 1π Lò ydx −xdy + z2dz,

L: {x = sin t, y = cos t, z =1, 0 <t < π}.

209

6.2 à) (6Ä4.Ä7) ò 2 (x2 + y )dx + (y2 + x )dy,

L: {отрезок MN, M(1;0), N(0;1)};

á) (865.Ä7) ò y2dx −x 2dy + z3dz,

L: {x =cos t, y =sin t, z =3, 0 <t< p}.

6.3 à) (045) ò (x2 + y )dx + (y2 + x )dy,

L:{часть кривой y = 4 − x2 от точки M(0;4) до точки N(1;3)};

á) (345) ò (y + z)dx +(z + x )dy + (x + y )dz,

L: {отрезок MN, M(2; 4;3), N(3;5; 4)}.

6.4 à) (066.Ä7) ò x 2ydx −ydy, L: {отрезок MN, M(−1;0), N(0;1)};

á) (066) 1π Lò (y − z)dx + (z − x )dy + (x −y)dz,

L: {x =cos t, y =sin t, z =2(1-cos t), 0 <t <2p}.

6.5 à) (Ò56) ò (x + y ) dx + (x −y )dy,

L:{часть кривой y= x2 от точки M(−1;1) до точки N(1;1)};

á) (067)	1	ò 2zdx − xdy + ydz,
á) (067)	π	ò 2zdx − xdy + ydz,
		L
L: {x =2 cos t, y =2 sin t, z =1, 0 <t<2p}.
6.6 à) (867)	ò ydx − xdy,
	L
L:{часть кривой y = x3 от точки M(0;0) до точки N(2;8)};
á) (1À7) 3ò xydx + 4zdy + xdz,
		L
ì			p	ü
L: íx =cos t, y =sin t, z =2, 0 <t<				ý.
î			2	þ