Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 257 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

6 1

Теорема 2 (о дифференцировании сложной функции). Если функция u = j(x) имеет в некоторой точке x0 производную

′

= j (x0 ), а функция y = f(u) имеет в соответствующей точке u0 =

′

то сложная функция y = f [j(x)]

èìå-

= j(x0) производную yu

= f (u0 ),

ет в точке x

производную y¢ ={f [j(x)]}¢ , для которой справедлива

формула

′

′ ′

(2.5)

= yu ux.

П р и м е р 2. Найти производные от следующих функций:

à) y = ln cos x; á) y = ex2 ; â)

y = arctg

Решение:

а) в рассматриваемом случае y = lnu, u = cosx, y¢

= 1 =

cos x

u′

= - sin x. По формуле (2.5) получаем y¢=

á) y = eu, u = x2, y¢= ex2 ×2x;

′

(x−2 ) =

â) y¢= 1

1 = x

1 x2 x4 + 1

1+ x4

	1		(- sin x) = - tgx;
	cos x		(- sin x) = - tgx;
	cos x
2		=	-2x	.

x3			1+ x4
x3			1+ x4

Если промежуточных переменных более одной, то формулу (2.5) нужно применять несколько раз.

П р и м е р 3. Найти производную от функции y = tg3 (sin ln 2x) .

Решение: y¢ = 3tg2 (sin ln 2x) × cos ln 2x × 1 × 2. 2x

Теорема 3. Пусть для функции y = f(x) существует обратная функция x = g(y). Если функция y = f(x) имеет в точке x0 конечную и отличную от нуля производную y′ = f′(x0 ), то и обратная функция имеет производную в соответствующей точке y0 = f(x0). При этом справедлива формула

x¢	=	1	.	(2.6)

y		′
		yx

В качестве примера использования формулы (2.6) докажем, что

(arcsin x)¢=	1	. Функция x = siny, обратная к функции y = arcsinx,


	1- x2
	1- x2

6 2

имеет на интервале

, +

конечную, отличную от нуля производ-

′

По формуле (2.6) находим

(sin y)¢

cos y

′

íóþ xy = cos y.

(arcsin x)

отсюда (arcsin x)¢=

; корень взят со знаком «+», так как

cos y

1- x2

cos y > 0 ïðè -

2 < y <

2 .

Предлагается в качестве упражнения доказать справедливость

формул (arccos x)¢= -

, (arctgx)¢= -

, (arcctgx)¢= -

1+ x2

1- x2

1+ x2

При дифференцировании произведений или частных с большим числом сомножителей рекомендуется предварительно прологарифмировать их модуль.

П р и м е р 4. Найти y¢, åñëè

y =

× arctg2x ×

(1 + x2 )

sin2 5x × (1 + x)10

Решение: прологарифмируем модуль данной функции:

= 3 ln

+ ln

arctg2x

+ ln

1 + x2

- 2ln

sin5x

- 10 ln

1 + x

Находим производные от обеих частей равенства:

y′

= 3 +

2 × 5

cos 5x -

arctgx 1 + x2

y x

sin 5x

1 + x

Отсюда

x3arctg2x × (1 + x2 )

y¢=

- 10ctgx -

sin2 5x × (1 + x)10

(1 + x2 )arctgx

1 + x2

1 + x

Чтобы продифференцировать степенно-показательную функцию вида y = f(x)j(x) (f(x) > 0), можно либо представить ее, пользуясь основным логарифмическим тождеством, в виде y = ej(x) ln f(x), либо, предварительно прологарифмировав ее, находить производную от обеих частей выражения ln y(x) = j(x) ln f(x).

П р и м е р 5. Найти y¢, åñëè y = (x2 )sin 3x .

Решение: в этом примере f(x) = x2,j(x) = sin 3x. Можем записать

y = esin 3x×ln x2 . Находим y¢ = esin 3x×ln x2 (sin 3x × ln x2 )′ =

6 3

sin 3x×ln x2

sin 3x

= e

3 cos 3x × ln x

+ sin 3x

× 2x

= (x

)

3 cos 3x × ln x2 + sin 3x ×

Можно найти y¢ другим способом:

y¢

ln y = sin3x ×ln x ,

3cos3x× ln x

+ sin3x×

sin 3x

2sin3x

y¢= y 3cos 3x×ln x2

+ sin3x ×

= (x2 )

3cos3x×ln x2

Мы научились дифференцировать сложные функции одного аргумента. Приведем формулы для отыскания частных производных от сложных функций многих аргументов (см. подразд. 1.5). Пусть y(t) = f [x1(t),x2(t), ..., xn (t)] , причем существуют непрерывные част-

ные производные

¶f

, ...,

¶f

¶x

x′

(t). Тогда

¶y =

¶f

¶x1

¶f

¶x2

¶x

¶t

¶x

¶t

èпроизводные

+... + ¶f ¶xn .

¶xn ¶t

x′ (t), x′ (t), ...,

1 2

(2.7)

Åñëè y(t1,t2, ..., tm ) = f [x1(t1,t2, ..., tm ),x2(t1,t2, ..., tm ),xn (t1,t2, ..., tm )] , тогда

¶y

¶f

¶x1

¶f

¶x2

+ ... +

¶f

¶xn

¶x

¶t

¶x

¶t

¶y

¶f

¶x1

¶f

¶x2

+ ... +

¶f

¶xn

(2.8)

¶x

¶t

¶x

¶t

¶y

¶f

¶x1

¶f

¶x2

+ ... +

¶f

¶xn

¶t

¶x ¶t

Формулы (2.7) и (2.8) часто применяются при переходе от одних переменных к другим, а также они обобщают формулу (2.5) на слу- чай векторных функций числового или векторного аргумента.

П р и м е р 6. Найти ¶z , åñëè z = f(x,y),								x = sin t, y = cos t.
		¶t
Решение: по формуле (2.7) получаем
¶z =	¶f	¶x +	¶f	¶y ,	¶z =	¶f	cos t -		¶f	sin t.

¶t	¶x ¶t		¶y ¶t		¶t	¶x			¶y

6 4

П р и м е р 7. Найти

∂z

åñëè z = f(x,y), x = t2

- t2, y = t3

- t3.

∂t1

¶t2

Решение: применяем формулы (2.8):

¶z

¶f

¶x

¶f

¶y

¶z

¶f

¶x

¶f

¶y

¶t

¶x ¶t

¶y ¶t

¶t

¶x ¶t

¶y ¶t

Òàê êàê ¶x = 2t1, ¶y

¶t1 ¶t1

¶z = ¶f × 2t1 - ¶t1 ¶x

= 3t2,

¶x

= -2t ,

¶y

= -3t2, òî

¶t2

¶z

× 3t2,

¶z

¶f

(-2t

) -

¶f

× 3t2.

¶y

¶t2

¶x

¶y

Производную f ¢(x) называют производной первого порядка. Она является функцией от x. Производную [f¢(x)] ′ обозначают f′′(x) и называют производной второго порядка. Производную [f¢¢(x)] ′ îáî-

значают f′′′(x) и называют производной третьего порядка. Таким же образом можно определить производные любого порядка. Производную порядка n обозначают y(n) = f(n)(x).

П р и м е р 8. Найти y(n), åñëè y = e2x.

Решение: имеем y¢ = 2e2x, y¢¢ = 22e2x, y¢¢¢ = 23e2x è ò.ä., y(n) = 2n e2x. Пусть дана функция двух аргументов u = z(x,y). Ее частные про-

изводные ∂z è ∂z , называемые частными производными первого

∂x ∂y

порядка, являются функциями от x è y. От них также можно взять частные производные и получить частные производные второго по-

рядка:

¶2z

Символом

¶2z

обозначено

∂

∂z

¶x2

¶y2

¶x¶y

¶y¶x

∂x2

¶x

Частные производные от частных производных второго порядка называют частными производными третьего порядка и т.д.

Упражнения

1.Найдите производные функций и вычислите их значения

âточке x0 = 1:

	3		8
à) y(x) = 4x7 3 + 5x5 2 + x + 1; á) y(x) =	3	+	8	+ 2;


	x3 x2		x2 4 x3
	x3 x2		x2 4 x3

â) y(x) = 2x3 x3 + 3x2 3x5 + 3.

Ответ: а) 673 ; á) -27; â) 20.

6 5

2. Найдите производную y¢(x) и вычислите ее значение в точке x0:

à) y = (x2 + 2x + 2)arcsin(0,5 + x) −												4	x, x = 0;
à) y = (x2 + 2x + 2)arcsin(0,5 + x) −													x, x = 0;
												3	0
												3
á) y = x4arctg2x - p x,					x =			1	;	â)		y =	1+ sin 2x	,	x = 0;
		8			0			2					3 + 4x		0
ã) y =	cos x + sin x		,	x	= p .
ã) y =			,	x	= p .
	3 - cos x			0	2
	p	1			2					4
Ответ: а) 3 ; á)				; â)			;	ã)		-		.
Ответ: а) 3 ; á)		16		; â)		9	;	ã)		-	9	.

3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите производные от следующих функций и вычислите их значе- ния в точке x0:

y(x) = (x

+ 2x

= − 1; á) y(x) =

x0 =

à)

,x0

2 sin

2x,

;

â)

y(x) =

ln cos 4x,

x =

;

ã) y(x) =

× 3tg2x,

x = p

;

ä)

y(x) = (arcctg

x )

= 1;

å) y(x) =

arcsin

1+ x

x = - 1

;

1- x

æ)

y(x) = cos3

, x = 1;

ç) y(x) = 2e2 ln 2 ln ln ln x,

x = e2.

Ответ: а) -160 × 519; á)

; â) -12; ã) ln3; ä) -

π ;

å)

p ;

æ)

cos2 1 × sin1; ç) 1.

4. Найдите производные функций, предварительно прологарифмировав их модуль:

à) y(x) =

x - 1

;

á) y(x) = ex sin 2x × cos 3x × tg5x.

3 (x + 2)4 (x + 3)5

Ответ: а)

x - 1

;

2(x - 1)

3(x + 2)

2(x +

3 (x + 2)4

(x + 3)5

á) ex sin 2x × cos 3x × tg5x 1

+ 2ctg2x - 3tg3x

tg5x cos2 5x

5. Найдите производные от функций:

à) y(x) =

x + 1 - ln (1 +

x + 1); á) y(x) = arctg

;

1 + 1 - x2

6 6

â) y(x) = arcsin x +

1 ln

1 - x .

1 - x2

1 + x

Ответ: а)

;

á)

; â)

x arcsin x

2(1 +

x + 1)

2 1 - x2

(1 - x2 )3 2

6. Найдите частные производные от функций:

¶z

¶y

à) z(x,y) = x4y3 + 2y ln x; á) z(x,y) = (sin x)cos y + (cos y)sin x;

â)

u(x,y,z) = arctg

;

ã) u(x,y,z) = zx y.

¶z

3 3

¶z

Ответ: а)

= 4x y +

= 3x y

+ 2 ln x;

¶x

¶y

á)

¶z

= cos ysin xcos y−1 × cos x + (cos ysin x )(ln cos y) × cos x,

¶x

= (sin x)cos y (ln sin x)(- sin y) + sin x(cos y)sin x−1(- sin y);

¶u

â)

¶x =

, ¶y =

¶z

;

z2 + x2y2

ã) ¶u

, ¶u

¶u =

−1

= zx y ln z ×

= zx y ln z

zy .

¶x

y ¶y

¶z y

2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно

Пусть задана система двух функций

x = x(t),

(2.9) y = y(t),

причем общей частью областей определения функций x(t) è y(t) является множество T, а область их значений — множества X è Y соответственно. Зафиксируем как-либо значение t = t1 из области T. Из (2.9) можем найти x1 = x(t1), y1 = y(t1). Значению x1 поставим в соответствие y1. Поступим таким образом с каждым значением t èç T. В результате мы каждому значению x èç X поставим в соответствие значение y èç Y. Мы получили функцию y = y(x) с областью определения X и областью значений Y. Говорят, что функция y = y(x) задана параметрически соотношениями (2.9). Переменную t называют параметром. Если соотношение x = x(t) удается разрешить относительно t, то мы приходим к известному способу задания функции

6 7

y = y(x) в виде формулы. Но часто это разрешение затруднительно. В физике роль параметра t играет время, и тогда соотношения (2.9) определяют закон движения точки на плоскости.

Предположим, что функции x(t) è y(t) дифференцируемы на множестве T, причем x′(t) ¹ 0, и функция x(t) имеет дифференцируемую обратную функцию t = t(x), вид которой нам неизвестен. Тогда y = y[t(x)] . По правилу (2.5) дифференцирования сложной функции

					1			′
находим y′	= y′	t′	; по формуле (2.6) имеем t′	=	1	. Поэтому y′	=	yt	.
x	t	x	x		′	x		′
					xt			xt

Мы нашли производную y′ , которая также задана параметрически

â âèäå

′	=			y′
				t

yx				x′			(2.10)
				x′	.		(2.10)
				t
x = x(t)
						′′	′′
Если функции x(t) è y(t) имеют и вторые производные xt							è yt, òî
аналогично находим вторую производную:
				′	′
				′	′
			yt
				′
′′		xt				.	(2.11)
′′				′		.	(2.11)
yx =				′
		x (t)
x = x(t)
x = x(t)

Таким образом можно найти производную любого порядка.

П р и м е р 1. Найти

y′

y′′,

åñëè

x = t − arctgt,

y = ln (1 + t2 ).

′

Решение: òàê

êàê

x′ =1−

y′

′

+ t

1+ t

, то согласно формуле (2.10) производная y′

задана пара-

1+ t2

метрически в виде

y′

− arctgt.

x = t

Например, при t = 1 переменная x = 1−

′

yx = 2.

6 8

y¢

′

y¢

′ 1

2 (1 + t2 )

Поскольку

= -

то вторую про-

x¢

2 (1 + t2 )

изводную y′′

можно записать в виде

y¢¢

= -

= t

- arctgt.

Перейдем к неявному способу задания функции.

Пусть дано некоторое уравнение

φ(x,y) = 0,

(2.12)

связывающее две переменные x è y в некоторой области D плоскости xOy, причем переменная x заполняет некоторое множество X, а переменная y — множество Y. Зафиксируем как-либо значение x = x1 из множества X. Получим уравнение f(x1,y) = 0. Значению x = x1 поставим в соответствие то значение y = y1 èç Y, которое обращает это уравнение в тождество, т.е. f(x1,y1) º 0. Другими словами, y1 есть решение уравнения f(x1,y) = 0. Если проделать подобную процедуру с каждым значением x èç X, то мы каждому значению x èç X поставим в соответствие некоторое значение y èç Y. Мы определили функцию y = y(x). Говорят, что функция y = y(x) задана неявно

уравнением (2.12). В этом случае имеем тождество f[x,y(x)] º 0, справедливое на множестве X.

Если уравнение (2.12) удается разрешить относительно y, то получаем явное задание функции y = y(x). В этом случае никаких про-

блем с отысканием y′ не возникает. Пусть явный вид функции y(x)

неизвестен. Предположим, что уравнение f(x,y) = 0 имеет решения (x,y), заполняющие некоторую область D, и в этой области суще-

ствуют частные производные f¢	=	∂φ è φ′		=	∂φ , причем f′		¹ 0. Äèô-
x		¶x	y		∂y	y
		¶x			∂y

ференцируем тождество f[x,y(x)] º 0, применяя формулу (2.7), где роль переменной t играет переменная x (подчеркнем, что мы дифференцируем тождество, а не уравнение, которое дифференцировать

нельзя). Получаем	∂φ	′	+	∂φ	′	= 0.	Опять получили тождество отно-


	∂x xx			∂y yx

сительно x, но не тождество относительно других переменных. Так

êàê	∂φ			′	= 1, òî
				′
	¶y	¹ 0 по предположению, а xx
	¶y
			∂φ
		y¢ = -		= - f¢x .
			¶x			(2.13)
			¶f			(2.13)
		x	¶f		f¢
		x

¶y

6 9

Вторую производную можно найти, дифференцируя выражение (2.13), считая переменную y функцией от x. Подробно на этом останавливаться не будем.

Заметим, что не всякое уравнение f(x,y) = 0 определяет неявно функцию y(x), например, уравнение x2 + y2 + 1 = 0 не определяет никакой функции, так как оно не имеет решений.

′

от функции y(x), заданной неявно уравне-

П р и м е р 2. Найти yx

íèåì f(x,y) = y3x + y4 - x + y = 0.

′

Решение: находим φx = y − 1,

φy = 3y x + 4y + 1. По формуле (2.13)

y¢

= -

y3 - 1

для тех точек M(x,y), ãäå 3y2x + 4y3 + 1 ¹ 0.

3y2x + 4y3 + 1

Можно задать неявно функцию двух переменных z = z(x,y) óðàâ-

нением f(x,y,z) = 0, åñëè f[x,y,z(x,y)] º 0,

и найти частные производ-

íûå

¶z

∂z

, предполагая, что уравнение f(x,y,z) = 0 имеет реше-

¶x

∂y

íèÿ (x,y,z), заполняющие некоторую пространственную область V,

∂φ

в которой существуют частные производные

, причем

¶x

¶y

¶z

¶f ¹ 0. Легко получить:

¶z

f¢x

¶z

φ′

= -

′

(2.14)

′

∂x

φz

∂y

φz

П р и м е р 3. Функция z(x,y) задана неявно уравнением φ(x,y,z) =

= 2x2 + 2y2 + z2 - 8xz - z + 8 = 0. Найти

∂z

∂x

∂y

′

-1, то по форму-

Решение: òàê êàê fx = 4x - 8z,

fy = 4y,

fz = 2z - 8x

ëå (2.14)

¶z

= -

4x - 8z

;

¶z

= -

2z − 8x −1

∂y

2z − 8x −1

∂x

Упражнения

1. Найдите

′′

yx и вычислите ее значение в указанной точке t = t0

для следующих функций:

à) y(t) = 3

- t, t = 1;

á)

y(t) = 1 - t

, t

= 0.

x(t) = arcsin t, 0

x(t) = t

+ 2,

7 0

Ответ: а)

; á) −1.

′

в точке x0 = 1 функций, заданных неявно

2. Найдите значение yx

следующими уравнениями:

à) x2 − 2xy + y2 + x + y − 2 = 0; á) ln x + e−y x − 1 = 0.

Ответ: а) 3 или 1; б) 1.

3. Найдите

∂z

, если функция z(x,y) задана неявно следую-

∂x

∂y

щими уравнениями:

à) x3y2 + x2z3 + yz2 = 1; á)

xyz + tgxyz = 1.

Ответ: а) −

3x2y2 + 2xz3

−

2x3y + z2

; á) −

, −

3z2x2 + 2zy

x y

2.4. Дифференциал. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Ряд Тейлора

Как мы уже отмечали в подразд. 2.1, дифференциалом функции f(x), ãäå f : X R → Y R, называется величина df = f′(x)dx. Выясним геометрический смысл дифференциала. Возьмем произвольную точку x. На графике функции получим точку M(x,y), y = f(x). Дадим аргументу x приращение x. Тогда функция f(x) получит приращение f, равное по величине отрезку NM1 (см. рисунок). Как нам известно, tgα = f′(x). Под углом α наклонена к оси Ox касательная MK к графику функции в точке M. Поскольку MN = x, KN = tgαMN = = f ′(x) x = df, то дифференциал функции равен приращению ординаты касательной в точке x к графику функции f(x) при переходе

âточку x + x. Заменяя приращение функции ее дифференциалом, мы график функции в окрестности точки x заменяем касательной

âточке x. Величина погрешности, допускаемая при этом, зависит от величины x.

		M1
	M(x,y)	α	K
		α
			N
O	x		X + X x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 257 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.3 Mб5Математика (семестр 2, часть 1)..pdf
#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб3Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб9Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб5Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб3Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf