Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

4 3

Здесь мы воспользовались непрерывностью функции logax. Ïðå-

делы 1–5 применяют для вывода формул производных от некоторых функций.

1.22. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Среди всех функций выделяют два класса — бесконечно малые и бесконечно большие функции, часто применяемые в теоретиче- ских и прикладных задачах. Функция y = f(x) называется бесконечно

нечно малой при x → 2 и бесконечно большой при x → 3.

Непосредственно из определения бесконечно малых и бесконечно больших функций следует, что если функция α(x) бесконечно малая

и наоборот. По этой причине достаточно изучить одну из них, например бесконечно малую функцию. Остановимся более подробно на бесконечно малых функциях, сыгравших большую роль в становлении математического анализа и его приложений.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций при x → x0 есть бесконечно малая функция при x → x0.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции α(x) ïðè x → x0 на функцию f(x), ограниченную в окрестности x0, есть бесконечно малая функция при x → x0.

4 4

Теорема 3. Если lim f(x) = A, òî f(x) = A + α(x), ãäå α(x) — беско-

x→x0

нечно малая функция при x → x0, и обратно, т.е. функция отличает-

ся от своего предела на бесконечно малую величину.

Бесконечно малые функции сравнивают между собой по скорости их стремления к нулю. Пусть даны бесконечно малые функции α(x) è β(x) ïðè x → x0. Они называются сравнимыми, если существует

(C ≠ 0,C ≠ ∞). Åñëè C = 1, то бесконечно малые функции α(x) è β(x)

называются эквивалентными. Пишут α(x) β(x). Говорят, что бесконечно малая функция α(x) имеет порядок малости k относительно

главной частью бесконечно малой α(x). Обычно в качестве эталонной бесконечно малой функции при x → x0 принимают β(x) = x − x0 и с ней сравнивают все остальные. При x → ∞ в качестве эталонной

принимают β(x) = 1 . x

В приближенных вычислениях, а также при отыскании пределов широко применяется понятие эквивалентности. Легко доказать, что

При этом полезна следующая таблица эквивалентных бесконечно малых функций, где через α(x) обозначена бесконечно малая функция при x → x0 èëè x → ∞, ±∞:

1) sin α(x) α(x); 2) tgα(x) α(x); 3) arcsin α(x) α(x);

4) arctgα(x) α(x); 5) loga [1 + α(x)] (loga e) α(x);

6) ln [1 + α(x)] α(x); 7) aα(x) − 1 α(x) ln a, a > 0, a ≠ 1;

4 5

8) eα(x) − 1 α(x); 9) [1 + α(x)] µ− 1 µα(x);

Справедливость соотношений 1–11 следует из замечательных пределов и их следствий.

Решение: согласно таблице эквивалентных бесконечно малых sin 8x 8x, ln(1 + 2x) 2x ïðè x → 0. Поэтому, используя формулу

Совершенно аналогично сравниваются и бесконечно большие функции, только вместо порядка малости вводят понятие порядка роста. Говорят, что бесконечно большая функция f(x) ïðè x → x0 имеет порядок роста m относительно бесконечно большой функции ϕ(x),

что бесконечно большие функции f(x) è ϕ(x) имеют равные порядки

роста.

∞

Изучая числовые ряды ∑ an, мы показали, что необходимым

n=1

му 2 из подразд. 1.11), т.е. функция f(n) = an должна быть бесконеч- но малой при n → ∞. Теперь признак сравнения в предельной форме

(теорема 2 из подразд. 1.13) можно сформулировать иначе: для того

∞

чтобы ряд ∑ an сходился абсолютно, достаточно, чтобы его общий

n=1

4 6

÷ëåí an был бесконечно малой функцией порядка выше первого относительно бесконечно малой β(n) = 1 ïðè n → ∞. Так, например,

больше 1.

Мы изучили понятия предела и непрерывности для функций y = f(x) одного аргумента. Аналогично определяются эти понятия

ностей Vδ (x0 ), Vδ (x0 ) нужно брать окрестности Vδ (M0 ), Vδ (M0 ) òî÷-

êè M0 (x10,x20,...,xn0 ).

В заключение подраздела приведем некоторые теоремы о свойствах функций, непрерывных на множестве [a,b].

Теорема 4 (о промежуточных значениях функции). Если функция f(x) непрерывна на [a,b] è f(a) = A, f(b) = B, то для всякого числа

C, заключенного между A è B, существует такая точка t [a,b], ÷òî

f(t) = C.

В частности, если числа A è B имеют разные знаки, то на (a,b) обязательно существует корень уравнения f(x) = 0. Это свойство часто

используется для приближенного отыскания корней уравнений вида f(x) = 0.

Теорема 5 (первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на [a,b] функция ограничена.

Теорема 6 (вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на [a,b] функция принимает на [a,b] свои наибольшее и наименьшее

значения.

Упражнения

1. Исходя из определения предела, докажите, что

n=1

называется функциональным рядом. Зафиксируем точку x = x0 из множества X. В результате получим числовой ряд

n=1

∞

Если числовой ряд ∑ fn (x0 ) сходится, то говорят, что функцио-

n=1

нальный ряд (1.16) сходится в точке x0 и расходится, если (1.17) расходится. Множество D всех точек {x}, в которых ряд сходится,

называется областью сходимости функционального ряда. Очевидно, что D X. Как видим, функциональный ряд — это обобщение поня-

тия суммы функций на бесконечное число слагаемых. Каждому числу x из области D можно сопоставить число, являющееся суммой

∞

числового ряда ∑ fn (x). Получившаяся функция S(x) называется сум-

n=1

мой функционального ряда.

Для отыскания области сходимости функционального ряда применяют достаточные признаки сходимости числовых рядов, приведенные в подразд. 1.13.

П р и м е р 1. Найти область сходимости функционального ряда

∞

n∑=1 (n + 1)xn−1.

Решение: применим признак Даламбера (см. теорему 3 из под-

ðàçä. 1.13):

n

По признаку Даламбера ряд сходится и притом абсолютно, если

2 < 1, ò.å. åñëè x > 2. Этому неравенству удовлетворяют все точки x

5 0

множества (−∞; − 2) (2; + ∞). Åñëè æå 2 > 1, ò.å. åñëè x < 2, òî ïî x

признаку Даламбера ряд расходится. Осталось рассмотреть условие

2 = 1, так как в этом случае признак Даламбера ответа не дает. x

Точки x1 = 2 è x2 = −2 исследуем отдельно. При x1 = 2 имеем числовой

ðÿä

Получили знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница (см. теорему в подразд. 1.14). При x2 = −2 имеем

тельно, и функциональный ряд в точке x2 = −2 расходится. Таким

образом, областью сходимости данного функционального ряда является множество (−∞, −2) [2; +∞).

∞

П р и м е р 2. Найти область сходимости ряда ∑ 3n xn.

n=1

Решение: члены данного ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 3x. Как мы показали в примере 1 в под-

Определить сумму функционального ряда можно тем же способом, что и сумму числового ряда. Образуем последовательность функций {Sn (x)}:

S1(x) = f1(x),

S2(x) = f1(x) + f2(x),

S3 (x) = f1(x) + f2(x) + f3(x),

KKKKKKKKKKKKKK

Sn (x) = f1(x) + f2(x) + ... + fn (x).