Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

3 1

Если в определениях 1, 2 и 3 брать окрестности UM(∞),

UM (−∞),UM (+∞), VN (∞), VN (−∞), VN (+∞), Vδ+ (x0 ), Vδ− (x0 ), то легко

сформулировать определения для следующих пределов:

Последние два предела называют односторонними. Предел 4 называется правым, а предел 5 — левым. Запись x → x0 + 0 означает, что x стремится к x0 справа, оставаясь все время большим x0 (x > x0 ), а запись x → x0 − 0 означает, что x приближается к x0 слева, оставаясь все время меньшим x0 (x < x0 ).

Чтобы доказать, что lim f(x) = A, нужно взять любую малую

x→x0

окрестность точки A, например симметричную Uε(A), ãäå ε > 0 произвольно, и найти множество {x} тех значений x, для которых справедливо включение f(x) Uε(A). Если найденное множество является окрестностью точки x0 (проколотой или нет), то утверждение

lim f(x) = A доказано; если это множество не является окрестнос-

x→x0

òüþ x0, то утверждение lim f(x) = A несправедливо.

x→x0

П р и м е р 1. Доказать, что lim ax = 1.

x→0

Для определенности будем считать, что a > 1. Берем любую малую окрестность Uε(1) точки 1 и находим множество {x} значений x, для которых выполнено ax Uε (1). Последнее означает, что ax − 1 < ε

èëè −ε < ax − 1 < +ε, 1 − ε < ax < 1 + ε. Так как функция logax ïðè a > 1 монотонно возрастает, то справедливо неравенство loga(1 − ε) < x <

< loga(1+ε) ïðè ε < 1. Поскольку loga(1 − ε) < 0, à loga(1 + ε) > 0, то неравенство loga(1 − ε) < x < loga(1 + ε) определяет множество {x}, ÿâ-

ляющееся окрестностью точки x = 0. Утверждение lim ax = 1 ïðè a > 1

x→0

доказано. Это утверждение легко доказать и при 0 < a < 1, если учесть при этом, что функция y = logax ïðè 0 < a < 1 монотонно убывает.

П р и м е р 2. Доказать, что lim 1 ≠ 2.

x→1 x

3 2

Предположим, что lim 1 = 2, т.е. множество {x} òåõ

x→1 x

−ε + 2 < 1 < ε + 2. Можно считать все члены этого неравенства положи- x

т.е. найденное множество {x} не является окрестностью точки x0 = 1,

следовательно, lim 1 ≠ 2.

x→1 x

1.17. Определение предела функции на языке последовательностей (по Гейне)

Мы привели определение предела на языке окрестностей. Его в литературе называют определением Коши. Существует другое определение — на языке последовательностей (определение Гейне).

Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) ïðè x → x0, если для любой последовательности {xn}, xn ≠ x0, сходящейся к x0, последовательность {f(xn )} значений функции сходится к A,

ò.å. lim f(xn) = A.

n→∞

Доказано, что определения Коши и Гейне эквивалентны, т.е. пределы, найденные в соответствии с этими двумя определениями, совпадают. Определения Коши и Гейне показывают, что непрерывный процесс можно достаточно точно описать дискретным процессом.

lim sin x не существует.

x→∞

1.18. Теоремы о пределах

Во многих случаях отыскание предела можно упростить, пользуясь приведенными ниже теоремами.

Теорема 1. Если функция f(x) имеет предел при x → x0, òî ýòîò

предел единственный.

Действительно, если предположить, что lim f(x) = A1 è

x→x0

lim f(x) = A2, то, взяв непересекающиеся окрестности Uε(A1) è Uε(A2),

x→x0

мы придем к противоречию. Должна существовать окрестность

f(x) Uε (A2 ), что невозможно.

Таким образом, предел не зависит от способа его отыскания.

то существуют и следующие пределы:

1) lim [f(x) + ϕ(x)] = A + B;

x→x0

3 4

Докажем, например, утверждение 1. Можем записать, пользуясь свойством модулей:

f(x) + ϕ(x) − (A + B) = f(x) −A + ϕ(x) −B ≤ f(x) −A + ϕ(x) −B . (1.7)

Из определения предела следует, что для любого ε > 0 существу-

o

ет такая окрестность V (x0 ) , для всех точек x которой выполняются

вость утверждения 1 теоремы.

Теорема 3 широко применяется при отыскании пределов.

находим A = 75 .

П р и м е р 2. Найти A = lim x2 − 4x + 3 . x→1 3x2 − 15x + 12

Решение: непосредственное применение теоремы о пределе част-

ного невозможно, так как это приводит к неопределенности 00 , ïî-

скольку числитель и знаменатель при x = 1 обращаются в нуль. Напомним, что в определении предела при x → x0 величина x зна- чения x0 не принимает. В нашем примере x ≠ 1, а потому x − 1 ≠ 0.

Разлагаем числитель и знаменатель на множители, получаем

чае применили теорему о пределе частного.

Сформулируем без доказательства несколько интуитивно ясных теорем о переходе к пределу в неравенствах.

Теорема 6. Если в некоторой окрестности точки x0 выпол-

нено неравенство f(x) ≤ B и существует конечный предел lim f(x) = A,

x→x0

òî A ≤ B.

1.19. Непрерывность функции

Пусть функция f(x) определена на множестве X è x0 — его предельная точка. Предположим, что x0 X, т.е функция f(x) определена в точке x0. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, åñëè

lim f(x) существует и равен f(x0). В этом случае имеет место

x→x0

В случае непрерывных функций отыскание пределов значительно упрощается. Доказано, что все элементарные функции непрерывны в области их определения. Напомним, что класс элементарных функций состоит из функций, полученных из основных элементарных путем образования сложных функций. Для сложной непрерывной функции y = f [ϕ(x)] правило (1.8) можно переписать в виде

3 7

вый пределы при x → 1. Как мы уже отмечали, их обозначают

Предельные точки области определения X функции f(x), â êîòî-

рых нарушаются равенства (1.10), называют точками разрыва функции.

Классифицируют разрывы в зависимости от характера нарушения условия (1.10) следующим образом.

3 8

1. Правый и левый пределы существуют и равны, но не равны значению функции в точке x0. При этом функция в точке x0 или не определена, или определена, но f(x0) не совпадает с общим правым

и левым пределами. Такой разрыв называют устранимым. Его можно «устранить», доопределив или переопределив значение функции в точке x0.

П р и м е р 2. Охарактеризовать точку x0 = 3 для функции f(x) = x2 − 4x + 3 .

Решение: областью определения этой функции является множество X = (−∞; 2) (2; 3) (3; ∞). Ïðè x = 3 числитель и знаменатель обращаются в нуль, т.е. f(x) в точке x0 = 3 не определена, но эта точка предельная для множества X. Поэтому точка x0 = 3 является точкой

разрыва. Находим

т.е. правый и левый пределы существуют и равны, но не равны зна- чению f(3), которое не определено. Если положить f(3) = 2, то новая полученная функция в точке x0 = 3 разрыва иметь не будет.

2. В точке x0 существуют конечные правый и левый пределы,

не равные между собой. Этот разрыв называют разрывом первого рода (разрыв типа скачка). Примером может служить точка x0 = 1 äëÿ

3. Один или оба односторонних предела при x → x0 не существуют или обращаются в ∞. Разрыв этого типа называют разрывом вто-

3 9

1.21. Замечательные пределы

Некоторые пределы ввиду их важности получили специальные

Ñэтой целью рассмотрим треугольники OAB, OAC и сектор OAB

âкруге радиуса R, их площади обозначим S1, S2 è S3 соответственно.

<S3 < S2. Åñëè x — радиан- y CОчевидно, S1

неравенство (1.11). Поделим все части неравенства (1.11) на величи-