Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

2 1

∞ C = ∞ (C ≠ 0); ∞ = ∞; ∞ ± C = ∞. Предлагается вспомнить также пра-

C

вила действий с символами «−∞» è «+∞». На основании этих опера-

ций находим

2 2

1.10.Понятие числового ряда и его суммы

Ñпомощью предела последовательности вводят понятие числового ряда, обобщающее понятие суммы на бесконечное число слагаемых. При этом обобщении не все свойства конечных сумм остаются справедливыми.

Пусть дана числовая последовательность

{an } = a1, a2, ..., an, ...

Выражение вида

найти значение любого члена ряда, например для данного ряда

a8 = 651 , a11 = 122−1 è ò.ä.

Пока выражение (1.1) лишено какого-либо смысла, так как неизвестно, каким образом найти сумму бесконечного числа слагаемых. Поступают следующим образом.

Определяют последовательность {Sn}:

S1 = a1,

S2 = a1 + a2,

S3 = a1 + a2 + a3,

.........................

Sn = a1 + a2 + ... + an.

Число Sn называется n-й частичной суммой ряда (1.1). Говорят, что ряд сходится и что его сумма равна S, если существует конечный

предел

Если же предел (1.2) не существует или равен ∞, то говорят, что

ряд (1.1) расходится.

П р и м е р 1. Рассмотрим ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию 1, q, q2, ..., qn, ... Исследуем на сходимость чис-

ловой ряд

ïðè q = 1 расходится. Пусть q ≠ 1. Тогда

Sn (1 − q) = (1 + q + ... + qn−1 ) (1 − q) = = 1+ q + ...+ qn−1− q − q2 −...− qn =1− qn.

1.11. Признаки сходимости рядов

Ряды широко применяются в приближенных вычислениях, и при этом важен вопрос о сходимости ряда. Доказать сходимость или расходимость ряда исходя из определения в общем случае затруднительно. Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие упростить эту задачу. При их доказательстве используется следующий критерий Коши.

Теорема 1. Для того чтобы числовой ряд (1.1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер N = N(ε)

ряд называется гармоническим).

2 4

Гармонический ряд расходится, но очень медленно. Так, разница между его частичной суммой S1000 è S1001 меньше одной миллион-

ной, разница между S10000 è S10001 меньше одной стомиллионной.

Но все же ряд расходится, хотя интуиция противится этому.

n=1 ns

доказать, что при s > 1 он сходится, а при s ≤ 1 — расходится. Поло-

обобщенные гармонические при s > 1.

Непосредственно из критерия Коши следует необходимый признак сходимости.

Теорема 2. Если ряд сходится, то

то ряд расходится. Условие (1.4) достаточно для расходимости ряда.

n

(необходимый признак не выполнен).

2 5

1.12. Условная и абсолютная сходимость

Все сходящиеся ряды делят на два класса: абсолютно и условно сходящиеся.

∞

Пусть дан ряд (1.1) ∑ an. Можем рассмотреть ряд

n=1

составленный из его модулей. Члены ряда (1.5) неотрицательны, так как an ≥ 0.

Из критерия Коши следует, что если ряд (1.5) сходится, то сходится ряд (1.1). Обратное неверно, ряд (1.1) может сходиться, а (1.5) — расходиться. Если ряд (1.5) сходится, то говорят, что ряд (1.1) сходится абсолютно; если же ряд (1.1) сходится, а (1.5) расходится, то говорят, что ряд (1.1) сходится условно. Например, доказано, что

модулей его членов, совпадает с гармоническим, а потому расходит-

Абсолютно сходящиеся ряды обладают всеми свойствами конеч- ных сумм. Для условно сходящихся рядов свойство конечных сумм «от перемены мест слагаемых сумма не изменяется», как показал Риман, не выполняется. Условно сходящиеся ряды не имеют большого практического значения.

1.13. Признаки абсолютной сходимости

Приведем несколько достаточных признаков абсолютной сходимости.

Теорема 1 (признак сравнения в конечной форме). Пусть даны

то из абсолютной сходимости ряда B следует абсолютная сходимость ряда A; åñëè æå ðÿä A абсолютно расходится, то абсолютно

2 6

расходится и ряд B (при этом условная сходимость не исключается).

Справедливость теоремы следует непосредственно из критерия Коши.

щенный гармонический при s = 2 > 1. По теореме 1 данный ряд схо-

дится.

Заметим, что для рядов с положительными числами понятия абсолютной сходимости и сходимости совпадают. Такие ряды условно сходиться не могут.

Теорема 2 (предельный признак сравнения). Если lim an = K

n→∞ bn

(K ≠ 0, K ≠ ∞), òî ðÿäû A è B либо оба сходятся абсолютно, либо

оба абсолютно не сходятся (возможно, сходятся условно либо расходятся).

∞(−1)n n

Ïр и ме р 2. Исследовать на абсолютную сходимость ряд ∑ 2 + 1 .n=1 n

2 7

Решение: данный ряд с положительными членами, поэтому an = an. Находим

По признаку Даламбера данный ряд сходится.

По признаку Коши данный ряд расходится.

Имеется большое количество других более тонких достаточных признаков, на которых мы останавливаться не будем.

1.14. Знакочередующиеся ряды

Часто встречаются ряды вида

∞

∑ (−1)n+1an = a1 −a2 + a3 − a4 + ..., an > 0,

n=1

называемые знакочередующимися.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е. an+1 < an ,

и стремятся к нулю, т.е. lim an = 0, то этот ряд сходится.

n→∞

Замечание: признак Лейбница не отвечает на вопрос о характере

сходимости ряда. Чтобы выяснить сходится ли он абсолютно или

дится, то эта сходимость условная.

2 8

Упражнения

Исследовать на сходимость следующие ряды:

Ответ: а, г, д, е, и — расходятся; б, ж — сходятся условно; в, з — сходятся абсолютно.

1.15. Понятие окрестности точки

Важным понятием в теории пределов является понятие окрестности точки. Оно служит для точного математического описания таких неопределенных выражений, уже упоминавшихся нами, как «число A мало отличается от числа B», «расстояние между точками x è x0

ìàëî» è ò.ä.

Определение 1. Окрестностью конечной точки x0 (числа x0) действительной оси называется любой интервал (a,b), содержащий эту точку. Обозначать окрестность точки x0 будем u(x0), ò.å.

u(x0 ) = (a, b) = (x0 − δ1, x0 − δ2 ), ãäå a = x0 − δ1, b = x0 + δ2, δ1 > 0, δ2 > 0.

Эту же окрестность иногда обозначают uδ1, δ2 (x0 ). Окрестность uδ1,δ2 (x0 ) есть множество точек {x}, удовлетворяющих неравенствам x0 − δ1 < x < x0 + δ2.

проколотую окрестность uδ1,δ2 (x0 ). Åñëè δ1 = δ2 = δ, то имеем симмет-

2 9

o

ричную проколотую окрестность точки x0. Ее обозначают uδ (x0 ). Ýòî

множество точек {x}, удовлетворяющих неравенству 0 < x − x0 < δ.

Мы рассмотрели окрестности конечной точки. Вводят понятие окрестности и для символа «∞».

Определение 2. Окрестностью бесконечно удаленной точки, т.е. символа «∞», называется внешность любого отрезка [M1, M2]. Обозначают UM1,M2 (∞). Симметричной окрестностью точки ∞ называют внешность отрезка [−M; M], симметричного относительно начала координат. Обозначают UM(∞).

Таким образом, согласно определению UM1,M2 (∞) — это множество точек {x}, удовлетворяющих неравенствам x < M1 è x > M2. Симметричную окрестность UM(∞) можно задать неравенством x > M.

Для определения односторонних пределов введем понятие односторонних окрестностей следующим образом:

1)правосторонняя окрестность конечной точки x0 — это множество Uδ+ (x0 ) : x0 < x < x0 + δ;

2)левосторонняя окрестность конечной точки x0 — это множество Uδ− (x0 ) : x0 − δ < x < x0;

3)правая окрестность символа «∞» — это множество