Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

211

6.13 à) (Ñ59) 30 ò (x + y2 )dx − (x 2 + y )dy,

L: {часть кривой y = x + 1 от точки M(0;1) до точки N(1;2)}.

á) (899) ò (2y + z)dx +(2x + z)dy + (x + y )dz,

L: {отрезок MN, M(0;0;0), N(1;1;2)}.

6.14 à) (ÏÁÎ) 3 ò xy2dx − xdy, L: {отрезок MN, M(0; −4), N(1; −2)}.

á) (ÎÑ9) 3 ò (y 2 + z2 )dx +(x 2 + z2 )dy + (x 2 + y2 )dz,

ì	<t <	pü
L: íx =cos t, y =sin t, z =cos t, 0	<t <	ý.
î		2þ

6.15 à) (819) ò (x + 2y )dx + (2x −y )dy,

L:{часть кривой y = x2 +2 от точки M(0;2) до точки N(1;3)}.

á) (860) ò ydx − zdy + xdz,

ì	<t<	pü
L: íx =2cos t, y=2sin t, z =2sin t, 0	<t<	ý.
î		2þ

6.16 à) (Ñ70) ò (y + x )dx + (y − x )dy,

L:{часть кривой y = x3 + 2 от точки M(0;2)до точки N(2;10)};

á) (ÒÒÎ.Ä7) ò yzdx + xzdy + 2xydz,

ì	<t<	pü
L: íx =sin t, y =cos t, z =sin t, 0	<t<	ý.
î		2þ

6.17 à) (420.Ä7) ò ydx + (x2 − xy )dy,

L:{дуга MN кривой y= x2 + 4, M(0;4), N(1;5)};

á) (600.Ä6) ò yzdx + x 2dy + xydz,

ì	<t <	pü
L: íx =sin t, y =cos t, z =cos t, 0	<t <	ý.
î		2þ

212

6.18 à) (860.Ä7) ò x 2ydx - y2xdy,

L: {отрезок MN, M(0; -4), N(1; -1)};

á) (ÒÄÎ.Ä7) ò zdx + xdy + ydz, L:{x =t, y =t2, z =t3, 0 <t<1}.

6.19 à) (ÄÄÎ) 6ò ydx + x dy,

L: {дуга MN кривой y= x+2, M(0;2), N(1;3)};

á) (À70) 6 ò y2dx +zxdy -x 2dz,

L:{отрезок MN, M(1;3;2), N(3; 4;5)}.

6.20 à) (À20.Ä8) ò y5dx + 3x dy,

L:{дуга MN кривой y= 5x, M(0;0), N(1;1)};

á) (ÄÑÎ) 9ò yzdx + xzdy +yxdz,

L :{x =e−t, y =et, z =e−2t, 0 <t<ln 3}.

Задача 7

Найдите общее решение дифференциальных уравнений. В зада- чах (а) и (б) решение представьте в виде j(x,y) = c, а в задаче

(â) — â âèäå y = f(x,c). Для уравнения (в) решите задачу Коши, т.е. найдите частное решение, удовлетворяющее условию y(x0) = y0 ïðè

заданных значениях x0 è y0.

7.1 à) (y + 2)xdx + (x + 4)ydy = 0; á) y¢=

+1; â) y¢−

= x2,y(1)= 0.

+yy¢

= 0; á) xy¢=

2y3 +2yx2

7.2 à)

4 + y2

3 + x2

;

2y2x + x2

â)

æ p

y¢−y ctg x = x sin x, y ç

÷ = 0.

è 2

7.3 à)

dx −y (1 + x2 )dy = 0; á) y¢ =

x+y

;

4 + y2

x −y

â) y¢+ y cos x =

sin 2x, y (0 ) = 0.

7.4 à)

5 +y2 dx -ydy = x2ydy; á) xy¢ =

x2 + y2 + y;

							213
	2	æ p ö				1
â)	y¢+ y tg x = cos	x, y ç		÷	=		.
â)	y¢+ y tg x = cos	x, y ç		÷	=		.
		è	4	ø		2

7.5 à) 3x (2+ y2 )dx −2 (3 + x2 )ydy = 0; á) 2y¢ =

+ 4;

â) y¢ -

= x2 + 2x, y (-1) =

+ 2

dx +y

dy = 0; á) xy¢=

3y3 +2yx2

7.6 à)

2+ y2

3 + x2

;

2y2 +2x2

â) y¢ −

= ex (x+1), y (0) =1.

7.7 à)

(e3x +5 )dy +ye3xdx = 0; á) y¢ =

x+ 2y

;

2x −y

y¢−

æ p

â)

= x sin x, y ç

÷ =1.

è 2

7.8 à) yy¢

1-x2

+1= 0; á)

xy¢=2

+ y; â) y¢+

=sin x, y (π) =

x2 + y2

1-y2

7.9 à) 6xdx -6ydy =3x2ydy -2xy2dx; á) 3y¢=

+ 8

+ 4;

â) y¢+

= x2, y (1) =1.

dy = 0; á) xy¢=

2y3 + 6yx2

;

7.10

à) x 5 + y2 dx +

4 + x2

2y2 +3x2

â) y¢+

y =

2x2

, y (0 ) =

+ x2

1 + x2

7.11

à) y (4+ ex )dy − exdx = 0;

á) xy¢=

x2 + xy -y2

;

x2 -2xy

â) y¢−

2x -5

y =5, y (2) = 4.

7.12

à) 4 − x2y¢ + xy2 + x = 0; á) xy¢= 2x2 + y2 + y;

â) y¢+

x +1

ex, y (1) =e.

7.13

à) 2xdx - 2ydy = x2ydy - 2xy2dx; á) y¢=

+ 6

+ 6;

214

â) y′ − y = − 2 ln x , y (1) =1.

′

3y3 + 8yx2

7.14

à) x

4 + y

+ y

1 + x

dy =

0; á)

2xy

;

2y2 + 4x2

â) y′ −

= −

, y (1) = 4.

à) (e

+ 8)dy − ye

= 0;

′

x2 +

2xy−y2

7.15

á) y =

;

2x2 −2xy

â)

′

( ) = −

, y 1

7.16

à)

5 + y2 + yy′

1 − x2 = 0; á) xy′=3

x2 + y2 + y;

′

=3x, y (1) =1.

â) y

7.17

à) xdx −ydy = yx2dy − xy2dx; á) 2y′=

+ 8

+ 8;

â) y′ −

2xy

=1+ x2, y (1) =3.

1+ x2

7.18

′

3y3 +10yx2

à) y ln y + xy

= 0; á)

;

3y2 +5x2

â) y′ +

1 − 2x

y =1, y (1) =1.

7.19

à) (1+ ex )y

′ = yex ; á)

′=

x2 + 3xy −y2

;

â)

′ +

(1) =1.

3x2 −2xy

7.20à) 1 − x2 y′ + xy2 + x = 0; á) xy′=32x2 + y2 + y;

â) y′ + 2xy = + 2x, y (0) =2.

Задача 8

Найдите общее решение дифференциальных уравнений второго

порядка.
8.1	à) y′′ −3y′+ 2y =2x + 3;	á) y′′ −8y′+32y =5xe4x.
8.2	à) y′′ +2y′+ y = xe−x; á) y′′ − 8y′+ 25y = 4xe4x.
8.3	à) y′′ − 4y′+ 3y = 4x + 2;	á)	y′′ −8y′+20y =3xe4x.
8.4	à) y′′ −5y′+ 4y = 4x + 3;	á)	y′′ −8y′+17y =2xe4x.

215

8.5à) y′′ -3y′+2y = 4x + 4; á) y¢¢-10y¢+ 41y =e5x (3x + 4).

8.6à) y¢¢+ 4y¢+ 4y =e−2x (x +2); á) y¢¢-10y¢+34y =e5x (3x +3y).

8.7 à) y′′ -5y′+ 6y =x +3;						á) y¢¢-10y¢+29y =e5x (3x +2).
8.8 à) y′′ -6y′+ 8y =x + 4;						á) y¢¢ -10y¢+26y =e5x (3x +1).
8.9 à) y′′ - 4y′+3y =2x +1;						á) y¢¢-6y¢+25y =e3x (2x + 4).
8.10	à) y′′ -5y′+ 6y =2x +2; á) y¢¢ -6y¢+18y =e3x (2x +3).
8.11	à) y ¢¢ + 6y ¢+ 9y = e−3x (2x + 3); á) y¢¢ -6y¢+13y =e3x (2x + 2).
8.12	à) y′′ -7y′+12y =2x + 4; á) y ¢¢ − 6y ¢+10y = e3x (2x +1).
8.13	à) y′′ -y′ =3x +1; á) y¢¢- 4y¢+18y =e2x (x + 4).
8.14	à) y′′ -2y′ =3x +2;				á) y¢¢- 4y¢+13y =e2x (x +3).
8.15	à) y′′ -3y′ =3x +3;				á) y ¢¢ - 4y ¢+ 8y = e2x (x + 2).
8.16	à) y′′ - 4y′ =3x + 4;				á) y¢¢- 4y¢+5y =e2x (4x + 4).
8.17	à) y		-5y	+ 4y =2x;	á) y +y =sin x.
8.18	à) y	′′	′	+7y =3x;		′′	′
			-6y		á) y +y =cos x.
8.19	à) y	′′	′			′′	′
			-7y	+12y = 4x;		á) y + 4y =sin 2x.
		′′	′			′′	′
8.20	à) y¢¢ + 8y¢+ 16y =5xe−4x ; á) y¢¢ -2y¢+17y =ex (4x +3).

Задача 9

Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной вели- чины X. Найдите значения констант А и В и вычислите вероятности P(a £ X £ b) для указанных значений a и b.

Ответы записывайте в виде несократимых обыкновенных дробей.

	ì0, åñëè x £2;
9.1.	ï	< x ≤5;
9.1.	F (x) = íA x + B , åñëè 2	< x ≤5;
	î
	ï1, åñëè x >5.
	Вычислите: а) (ПТ1) P(3 < X £ 4);			á) (6Ò2) P(1 < X £3);
	â) (971) P(3 < X £ 4);		ã) (472) P(X >3).
	ì0,åñëè x £1;
9.2.	ï		< x ≤ 4;
9.2.	F (x) = íA x2 + B ,åñëè 1		< x ≤ 4;
	ï1,åñëè x > 4.
	î
	Вычислите: а) (7Т3) P(2 < X £3);			á) (171) P(0 < X £2);
	â) (ÒÀ1) P(3 < X £5);		ã) (9Á1) P(X ³2).

216

ì0, åñëè x £ - 4;

9.3.

F (x) = íA

arcsin

, åñëè - 4< x

£ 4;

ï1, åñëè x > 4.

á) (351) P (-5 < X £2

);

Вычислите: а) (024) P(−2 < X ≤2);

â) (151) P (2

< X £5); ã) (1Á1) P (X³2

9.4. F (x) = A +

arctg

, - ¥ < x < + ¥.

Вычислите: а) (ПБ1) P(−2 < X ≤ + 2); á) (9Ò1) P (X <2

);

â) (Ï25)

2 3

P ç X >

÷ .

ì0,åñëè x £2;

9.5. F (x) = íA x2 + B x, åñëè 2< x £5;

ïî1,åñëè x >5.

Вычислите: а) (626) P(3 < X ≤ 4); á) (À72) P (1 < X <3);

â) (4Ð2) P (3 < X £6); ã) (5Ð3) P (X³3).

ì0,åñëè x £1;

9.6. F (x) = íA x3 + B x,åñëè 1 < x £ 4;

ïî1,åñëè x > 4.

Вычислите: а) (7П2)	P(2 < X < 3); á) (ÏÏ2) P(-1<X £2);
â) (Ñ72) P (3 < X £5);	ã) (Ò73) P (X³3).

ì0,åñëè x£1;

9.7. ï 3 2

F (x) = íA x + B x ,åñëè 1<x£5;

ïî1,åñëè x >5.

Вычислите: а) (2Д2) P(2 < X ≤ 4); á) (762) P(-2<X<3);

â) (ÑÄ2) P (4 < X £7); ã) (ÒÐ2) P (X³3).

ì0,åñëè x£ - 2;

9.8. ï 3

F (x) = íA x + B ,åñëè - 2 < x£ 4;

ïî1,åñëè x > 4.

Вычислите: а) (7С2) P(−1 < X ≤3); á) (ÀÒ2) P(-4<X£2);

â) (452) P (2 < X £6); ã) (ÄÎ2) P (X³3).

						217
	ì0,åñëè x £ - 1;
	ï			1
	ï	2		1
9.9.	F (x) = íA x		+ B x +		, åñëè	− 1< x ≤ 4;
9.9.	F (x) = íA x		+ B x +	8	, åñëè	− 1< x ≤ 4;
	ï			8
	ï1,åñëè x > 4.
	î

Вычислите: а) (П72) P(0 < X < 2);

á) (772) P(-3 <X£3);

â) (ÁÀ2) P (1 < X £5);

ã) (312) P (X³2).

ì0, åñëè x £0;

9.10.

F (x) = í

A + B e

−x

, åñëè x > 0.

Вычислите: а) (АБ2) P(ln 2 < X < ln 3); á) (À52) P (X ³ln 4);

â) (573)

P (X <ln 3).

ì0,åñëè x £0;

9.11.

x2 + A

F (x) = í

x >0.

,åñëè

î1 + B x

Вычислите: а) (5П3) P(1 < X < 2);

á) (992) P (X ³ 4);

â) (Ï72) P (X < 3).

ì0,åñëè x £2;

ïx

+ A x -2A -

,åñëè 2<x

£ 4;

9.12.

F (x) = í

,åñëè x = 4;

ïï−

+ B x +

− 4B ,åñëè 4 < x ≤ 6;

îï1,åñëè x >6.

Вычислите: а) (573) P(2 < X ≤5);

á) (Ò53) P (1 < X £3);

â) (804)

P (3 < X £8);

ã) (284) P (3< X£5).

ì0,åñëè x £2;

+ A x −

−2A ,åñëè 2< x ≤6;

9.13.

F (x) = í

,åñëè x =6;

ïB x +

- 6B ,åñëè 6 < x £8;

ï1,åñëè x >8.

218

Вычислите: а) (773) P(4 < X ≤7);

á) (ÄÏ3) P(-1<X<3);

â) (4Ï3) P (3 < X £6);

ã) (À52) P (X³ 7).

ì0,åñëè x £0;

x,åñëè 0 < x £2;

9.14. F (x) =

+ A x2,åñëè 2< x ≤ 4;

x > 4.

îB ,åñëè

Вычислите: а) (С23) P(1 < X ≤3);

á) (2Ò3) P(-1<X<3);

â) (623) P (3 < X £6);

ã) (385) P (X ³ 1).

ì0,åñëè x £0;

9.15. F (x) =

+ A x,åñëè 0 < x ≤3;

ï18

x >3.

ïB ,åñëè

Вычислите: а) (727) P(1 < X ≤2);

á) (ÁÒ3) P(-1<X <1);

â) (7Á3) P (2 < X £5);

ã) (553) P (X ³ 1).

ì0,åñëè x £ - 1;

x3 ö

9.16. F (x) =

íA ç 4x −

÷+ B ,åñëè − 1 < x

≤2;

3 ø

x >2.

ï1,åñëè

Вычислите: а) (С83) P(0 < X ≤1);

á) (354) P(-2 <X £1);

â) (353) P (1 < X £ 4);

ã) (Ñ84) P (X³ 0).

ì0,åñëè x £ - 2;

9.17. F (x) =

ï−

,åñëè

− 2< x ≤0;

+ B ,åñëè 0 < x £2;

ïA x

îï1,åñëè x >2.

Вычислите: а) (185) P(−1 < X ≤ + 1);

á) (Ð87) P (-3 < X £ - 1);

â) (À86) P (1 < X £ 4);

ã) (Ï05) P (X³ - 1).

ì0,åñëè x £0;

4x3

ö,åñëè 0 < x ≤ 4;

9.18. F (x) =

ïA

−

4 ø

x > 4.

îB ,åñëè

219

Вычислите: а) (325) P(1 < X < 3);

á) (3À5) P (-3 < X £2);

â) (ÑÏ5) P (2 < X £5);

ã) (206) P (X³2).

ì0,åñëè x £ - 2;

x4 ö

ï1

÷ ,åñëè -

2 < x £0;

9.19.

F (x) = í

x4 ö

ïA

< x £2;

÷,åñëè 0

ïB

>2.

,åñëè

Вычислите: а) (916) P(−1 < X ≤ + 1); á) (7Á3) P (-3 < X £0);

â) (976)

P (1 < X £ 4);

ã) (ÎÄ4) P (X³0).

ì0,åñëè x <1;

9.20.

F (x) = í

,åñëè x >1.

ïA

Вычислите: а) (2А5) P(2 < X ≤ 3);

á) (3Ä5) P (-2 < X <3);

â) (305)

P (X³3).

Задача 10

Дана плотность распределения непрерывной случайной величи- ны X. Найдите значения указанных в заданиях величин.

Нецелые рациональные числа записывайте в виде обыкновенной несократимой дроби, не выделяя целой части.

ì0,åñëè

x £ - 1;

10.1. r(x) = í

,åñëè - 1< x £ - 1;

ïp

1- x2

x ³1.

î0,åñëè

Вычислите: а) (ССА) константу A; б) (ПБ1) F(0);

â) (ÏÒ1) P æ -

<x <

ö;

ã) (Ï9Ï) m ;

ä) (ÎÄ4) D .

2 ø

10.2.

ì0, åñëè x £0;

ïA x

£2;

r( ) = í

, åñëè 0 <

ï0, åñëè x >2.

Вычислите: а) (71П) константу A; б) (Р9П) F(1);

â) (59Ñ)

; ã) (Ñ4Ñ) mx; ä) (ÀÑÑ) Dx.

P ç

< x<1÷

10.5. r(x) =

220

ìA

(2 -

), åñëè

£2;

10.3.

r( ) = í

>2.

ï0, åñëè

Вычислите: а) (Б4Т) константу A; б) (56Т) F(+1);

â) (Ñ4Ñ) P (-1< x <1);

ã) (74Ñ) mx;

ä) (46Ñ) Dx.

+ 3), åñëè 0£ x £2;

ìA

10.4. r(x) = í

ï0 âíå [0;2].

Вычислите: а) (Т4Т) константу A; б) (74Т) F(1);

â) (Ñ2Ò)

P æ

1 < x <

ö ;

ã) (90Ò) m ;

ä) (ÒÑÒ) D .

2 ø

ìï0,åñëè x <1;

í A ,åñëè x ³1.

îx4

Вычислите: а) (ЗПП) константу A; б) (99Т) F(3); в) (5ПП) P (1< x <2); ã) (51Ï) mx; ä) (Ò9Ï) Dx.

ìA + x, åñëè 1£ x £2;

10.6. r(x) = í

î0 âíå [1;2].

Вычислите: а) (2Т2) константу A; б) (Д5Д) F(3/2);

â) (07Ä)	P	æ 3	£ x £2	ö	;	ã) (9ÏÄ) m ; ä) (22Ä) D .
		ç		÷
						x	x
		è 2		ø

ìAx, åñëè 0 £ x £1;

10.7. r(x) = í

î0 âíå [0;1].

Вычислите: а) (24Д) константу A; б) (151) F(1/2);

â) (ÐÏÄ)

P æ

<x<

ö;

ã) (87Ä) m ; ä) (33Ä) D .

è 4

2 ø

ìA

(1 -

), åñëè

£1;

10.8. r(x) = í

>1.

ï0,åñëè

Вычислите: а) (Т4Т) константу A; б) (86А) F(0);

â) (ÒÎÒ)

Pæ

<x<

ö;

ã) (78Ò) m ; ä) (Á6Ò) D .

2 ø

ì0, åñëè x £0;

ïA , åñëè 1< x £2;

10.9. r(x) = í

ï-

x +1, åñëè 2

< x £ 4;

ï0, åñëè x > 4.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.3 Mб5Математика (семестр 2, часть 1)..pdf
#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб3Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб10Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб6Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб4Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf