Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

152

случайная величина примет значение вне интервала (a − 3σ, a + 3σ) ,

равна всего 0,0027. Такое событие в большинстве практически важных задач считают невозможным, т.е. полагают, что все значения нормальной случайной величины расположены в интервале

(a − 3σ, a + 3σ).

П р и м е р 2. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки X взвешивания подчи- нены нормальному закону со средним квадратичным отклонением s = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено

с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 10 г. Решение: так как систематические ошибки отсутствуют, то

M[X] = 0. По формуле (5.27), в которой нужно положить d = 10 ã,

ний функции Лапласа Φ(0,5) = 0,1915, поэтому P ( x < 10) = 2 ×0,1915 =

= 0,383.

Упражнения

1. Случайная величина X задана плотностью распределения вида:

ческое ожидание и дисперсию величины X. Ответ: а) 2; 16; б) 5; 1.

ã) P ( x - 5 < 2); ä) P ( x < 1); å) P ( x < 3).

Ответ: а) 0,0686; б) 0,2120; в) 0,6826; г) 0,2454; д) 0,0673; е) 0,2476.

5.8. Плотность распределения двумерной случайной величины

В подразд. 5.4 мы уже рассмотрели понятие функции распределения многомерной случайной величины.

Пусть функция распределения F(x,y) системы случайных вели- чин (X,Y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные

Fx′, Fy′, Fxy′′ в некоторой точке (x,y). Дадим значениям x и y приращения Dx è Dy. Предел

153

если он существует и конечен, называется плотностью распределе-

ния системы (X,Y). Полагая x1 = x, x2 = x + Dx, y1 = y, y2 = y + Dy, ïî

свойству 5 функции распределения (см. подразд. 5.4), получаем

- [F(x,y + Dy) - F(x,y)]}.

Применяя к двум разностям формулу (2.21) о конечных приращениях, а затем эту же формулу к полученной разности, находим

r(x,y) = ¶2F(x,y).

¶x¶y

Отметим свойства плотности распределения r(x,y), которые следуют из свойств функции распределения F(x,y) и определения r(x,y).

1.r(x,y) ³ 0.

2.Åñëè r(x,y) непрерывна в точке (x,y) и ее окрестности, то

P(x £ X< x + Dx, y £ Y < y + Dy) = r(x, h)DxDy, ãäå (x,h) — некоторая точ-

ка из окрестности точки (x,y).

3. Если функция r(x,y) интегрируема в области D, то

−∞ −∞

Соотношение (5.29) есть следствие равенства (5.28), если в каче- стве D взять область (-¥ < X < x, - ¥ < Y < y).

5. Условие нормировки

−∞ −∞

так как этот интеграл определяет вероятность достоверного события. 6. Имеют место равенства

154

Здесь F1(x) è F2(y) — функции распределения величин X и Y. Эти равенства в случае непрерывной функции r(x,y) следуют из фор-

мулы (5.28), если в качестве D взять (-¥ < X < x, - ¥ < Y < +¥) èëè (-¥ < x < + ¥, - ¥ < Y < y) соответственно.

7. Справедливы выражения

ãäå r1(x) è r2(y) — плотности распределения величин X и Y. Эти

равенства получаются дифференцированием интегралов (5.31) по переменному верхнему пределу (см. теорему 1 из подразд. 3.4).

8.Если случайные величины X и Y независимы, то ρ(x,y) =

=ρ1(x)ρ2 (y), и обратно, если r(x,y) = r1(x)r2 (y), то случайные вели-

чины X и Y независимы.

9.Для зависимых случайных величин вводится понятие услов-

ных плотностей распределения r (xy) è r (yx) :

Соотношения (5.34) называют правилом умножения плотностей распределения.

Подчеркнем, что условная плотность распределения r (yx) îçíà-

чает плотность распределения величины Y, если известно, что слу- чайная величина X приняла значение x.

10. Зная плотность распределения r(x,y) системы, можно найти плотность распределения величины Z = j(X,Y), являющейся функ-

цией случайных аргументов X и Y. Сначала находим функцию распределения F(z), применяя следующий прием: F(z) = P(Z < z) =

= P (j(x,y ) < z) = òò r(x,y )dxdy, где область D состоит из тех точек плос-

D

кости xOy, для которых справедливо неравенство ϕ(x,y) < z. Найдя F(z), легко найти ρ(z) = F′(z).

П р и м е р 1. Система случайных величин (X,Y) задана функцией распределения

= ìï1 - 4−x - 4−y + 4−x −y, åñëè x ³ 0,y ³ 0,

F (x,y) í

ïî0, åñëè x < 0 è ëè y < 0.

Найти r(x,y).

156

Пусть дана случайная величина Z = j(X,Y), являющаяся функцией

двух случайных аргументов X и Y. Найдем M[Z]. Если величины X и Y дискретны и известна матрица распределения, т.е. заданы вероятно-

ñòè Pij = P (X = xi, Y = yj ), òî

Рассмотрим систему непрерывных величин (X,Y), распределенную в области D плоскости xOy с плотностью r(x,y). Найдем математическое ожидание случайной величины Z = j(X,Y), не находя плотность распределения r(z). Пусть функции j(x,y) è r(x,y) интег-

рируемы. Разобьем область D на n частичных областей Di площадью

DSi, в каждой из частичных областей Di выберем по точке (ξi , ηi ) è

построим дискретную случайную величину % с рядом распределения

Z

i =1

ве приближенного значения M[Z]. Переходя к пределу при l = = max Si → 0, получаем

−∞ −∞

при условии сходимости этого интеграла. Формулы (5.36) и (5.37) легко обобщаются на любое число аргументов. Так, если U = ϕ(x,y, z),

òî M [U ] = òòò ϕ(x,y, z) ρ(x,y, z)dxdydz, где D — область определения

D

системы (X,Y,Z).

П р и м е р 3. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения

Найти M[X + Y].

Упражнения

1. Система случайных величин (X,Y) задана плотностью распределения, описанной в примере 3. Найдите: а) r1(x); á) r2(y); â) ρ(xy);

Найдите: а) константу C; б) P(X + Y < 1). Ответ: а) 2; б) 13.

5.9. Характеристики связи двух случайных величин

Функция распределения F(x,y) или плотность распределения r(x,y) дают исчерпывающую характеристику системы (X,Y). По плотности распределения r(x,y) можно найти плотности распределения r1(x) è r2(y) каждой из величин, входящих в систему, т.е. получить их полную характеристику. Зная же функции r1(x) è r2(y) в общем случае нельзя восстановить функцию r(x,y). Нужно знать дополни-

тельную информацию об их связи. Наиболее полную характеристику связи дают либо условные функции распределения F (xy) è F (yx),

158

либо условные плотности распределения r (xy) è r (yx). Иногда дос-

таточны менее полные характеристики, но более просто определяемые. К таким относятся условные математические ожидания, или функции регрессии одной случайной величины на другую. Для дискретных слу- чайных величин X и Y условные математические ожидания мы определили в подразд. 5.3. Для непрерывных величин полагают:

−∞

Условное математическое ожидание M [XY = y], как это следует из (5.38), есть некоторая функция y(y) аргумента y. Ее называют фун-

кцией регрессии случайной величины X на случайную величину Y. График функции x = y(y) называют кривой регрессии случайной величины X на Y. Соотношение (5.39) определяет функцию j(x), íà-

зываемую функцией регрессии величины Y на X, а ее график называют кривой регрессии Y на X.

Если случайные величины X и Y независимы, то кривые регрессии являются прямыми, параллельными осям координат, пересекающимися в точке (mx, my), называемой центром распределения системы (X,Y).

При экспериментальном исследовании зависимости величин X и Y одной из величин, как правило, удается управлять, т.е. придавать ей определенные значения. Положив X = x1, путем нескольких

замеров находят соответствующие значения Y. Взяв их среднее зна- чение, получают приближенно величину M [YX = x1 ], т.е. точку на кривой y = j(x). Полагая X = x2, x3, ..., xn, получим на кривой y = j(x)

nточек, по которым можно судить о функции регрессии y = j(x).

Ïр и м е р 1. Система (X,Y) распределена равномерно в треугольнике с вершинами O(0;0), A(2;0), B(2;4), т.е.

ìC, если точк а (x,y) леж и т вн утри треугольн и к а OAB; r(x,y) = í

î0 в остальн ы х точк ах .

Найти функции регрессии y = j(x) è x = y(y).

Решение. Так как C = 1 , где S — площадь области D значений

S

системы (X,Y), то в нашем случае C = 1 . Зафиксируем каким-либо

4

образом X = x в промежутке [0,2]. При этом значении x величина Y