Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

131

2. Найдите частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным условиям:

Ответ: а) y = C1 cos x + C2 sin x + cos x ln cos x + x sin x;

á) y = C1e−x + C 2xe−x + xe−x ln x − xe−x.

133

Но ряд распределения невозможно составить для случайных величин, область значений которых несчетна. Для таких величин указывают не вероятности отдельных значений (что сделать невозможно), а вероятности попадания этих значений в некоторые области. Одним из таких способов задания закона распределения является функция распределения.

5.2. Функция распределения одномерной случайной величины

Пусть дана одномерная случайная величина X. Функция F(x), определяемая равенством F(x) = P(X < x), указывающая вероятность попадания значений случайной величины в область (-¥,x), называет-

ся функцией распределения случайной величины X. Рассмотрим свойства функции распределения.

1.F(x) определена на всей числовой оси (независимо от области значений X).

2.0 ≤ F(x) ≤ 1, что следует из определения F(x).

3.F(−∞) = 0, F(+∞) = 1, так как событие X < +¥ достоверно, а событие X < -¥ невозможно.

4. F(x) есть неубывающая функция, т.е. если x2 > x1, òî

Если функция F(x) непрерывна в точке x1, то переходя в формуле (5.3) к пределу при Dx ® 0, получаем P(X = x1) = 0, т.е. вероятность

принять какое-либо заранее фиксированное значение равна нулю. Под непрерывными случайными величинами будем понимать такие, для которых функция F(x) непрерывна. Для непрерывных случайных величин равенство нулю вероятности события не означает его невозможность. Ведь в результате опыта случайная величина примет ка- кое-то значение, хотя до опыта вероятность этого равна нулю.

134

П р и м е р 1. Случайная величина X задана функцией распределе-

ã) P(3 < X < 5).

= 0,5 ×3,2 -1- 0,5 ×2, 4 + 1= 0, 4;

â) P(1 £ X < 3) = F(5) - F(3) = 1 - 0,5 × 3 + 1 = 0,5.

Заметим, что функция распределения определена для любых слу- чайных величин — и непрерывных и дискретных.

От ряда распределения дискретной случайной величины

можно перейти к функции распределения, пользуясь соотношением

Из формулы (5.4) следует, что функция распределения дискретной случайной величины является ступенчатой со скачками в точ- ках, соответствующих возможным значениям случайной величины, равным вероятностям этих значений.

П р и м е р 2. Найти функцию распределения F(x) дискретной слу- чайной величины X по заданному ряду распределения

Решение: применяя формулу (5.4), получаем

ï > î1, åñëè x 5.

135

График F(x) представлен на рисунке.

5.3. Матрица распределения двумерной случайной величины

В случае n-мерной случайной величины каждой точке ω простран-

ства элементарных событий сопоставляется n-мерный вектор (x1, x2,

..., xn), каждая координата которого является одномерной случайной величиной. Поэтому n-мерную случайную величину можно рассматривать как систему (X1, X2, ..., Xn) одномерных случайных величин. Если все случайные величины Xi дискретны, то и систему называют дискретной. Остановимся более подробно на системе (X,Y) двух слу- чайных величин. Если X = {x1,x2,...,xn }, Y = {y1,y2,...,ym }, то описать систему (X,Y) можно, указав вероятности Pij = P (X = xi, Y = yj ) òîãî,

что случайная величина X примет значение xi, а случайная вели- чина Y — yj. Из чисел pij можно составить матрицу размера m×n,

называемую матрицей распределения системы (X,Y):

группу, то å å pij = 1. Зная матрицу (5.5), легко найти ряды рас-

i=1 j=1

пределения величин X и Y. Очевидно, что вероятность Pi = (X = xi) = pi1 + pi2 + ...+ pim , т.е. равна сумме элементов i-го столбца матрицы Q.

= F1(x), так как событие Y < +∞ достоверно. (Мы здесь предположи-

ли, что F(x,y) непрерывна по x.)

4.F(x,y) является неубывающей по x при фиксированном y

èнеубывающей по y при фиксированном x.

Это следует из свойств для функции распределения одномерной величины.

5.P(x1 ≤ X < x2, y1 ≤ Y < y2 )= F(x2,y2 )− F(x2,y1 )− F(x1,y2 )+ F(x1,y1 ),

что следует из определения функции распределения.

6.Если случайные величины X и Y независимы, то F(x,y) =

=F1(x) F2(y), и обратно, если F(x,y) = F1(x) F2(y), то случайные вели-

чины X и Y независимы.

138

Справедливость свойства следует непосредственно из определения функции распределения и независимости случайных величин.

7. Для зависимых случайных величин вводят понятие условных законов распределения F (xy) è F (yx). Например, F (xy) означа-

ет функцию распределения случайной величины X, если случайная величина Y приняла фиксированное значение y. Если X и Y независимы, то F (xy) = F(x), F (yx) = F(y).

Легко доказать, что

F(x,y) = F(x)F (y x),

( ) (5.8)

F(x,y) = F(y)F x y .

Соотношения (5.8) называют правилом умножения законов распределения.

П р и м е р. Задана функция распределения двумерной случайной величины (X,Y):

Найти F1(x), F2(y), показать, что X и Y независимые случайные величины.

Решение: по свойству 3 функции F(x,y) находим:

åñëè y > 0, è F2(y) = 0, åñëè y < 0.

Òàê êàê F(x,y) = F1(x) F2(y), то по свойству 6 случайные величи-

ны X и Y независимы.

Упражнения

1. Дана матрица Q распределения двумерной дискретной случайной величины:

Найдите: а) ряды распределения величин X и Y; б) mx, my; â) Dx, Dy; г) ряд распределения X, если Y = -4; ä) M[X Y = −4].

139

Ответ: б) mx = 2; my = -2,4; â) Dx = 2,8; Dy = 2,24; ä) M[XY = −4] = 2,25.

2. Система случайных величин (X,Y) задана функцией распределения

5.5. Плотность распределения одномерных случайных величин

Функция распределения дает исчерпывающую характеристику случайной величины, но она не очень удобна для изучения поведения случайной величины в окрестности фиксированной точки x0, так как число F(x0 )= P(x < x0 ) недостаточно полно характеризует саму

точку x0.

Случайная величина X называется абсолютно непрерывной в точ- ке x, если ее функция распределения F(x) дифференцируема в этой точке. Полагая в (5.3) x1 = x, можем записать

P(x ≤ X < x + x) = F(x + x) − F(x).

140

Поделим обе части этого равенства на x и перейдем к пределу при x → 0 :

зывается плотностью распределения вероятностей случайной вели- чины X и обозначается ρ(x), ò.å.

Как следует из (5.9), если случайная величина X абсолютно непрерывна, то плотность распределения ρ(x) существует и при этом

′

Отметим свойства функции ρ(x).

1.r(x) ³ 0 как производная от неубывающей функции.

2.Справедлива формула

a

Действительно, из соотношения (5.11) следует, что функция F(x)

b

является первообразной для функции ρ(x), а потому ò ρ(x )dx =

a

= F(b) - F(a), но из формулы (5.2) получаем, что F(b) − F(a) = = P(a £ x < b). Формула (5.12) доказана.

+∞

3. ò ρ(x)dx = 1 (условие нормировки). Этот интеграл определяет

−∞

вероятность достоверного события.

4. Функции F(x) и ρ(x) связаны соотношением

а из формулы (5.12) следует, что P (−∞ < X < x) = ò ρ(x)dx = F (x), ñâîé-

−∞

ство 4 доказано.

5. Из соотношения (5.10) следует, что с точностью до бесконечно малых выше первого порядка малости относительно x имеет место равенство P(x £ X < x + Dx) @ r(x)Dx.