Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

4. Элементы теории дифференциальных уравнений

4.1. Понятие дифференциального уравнения

Многие задачи естествознания сводятся к соотношениям вида

связывающим независимую переменную x, неизвестную функцию y(x) и ее производные y′(x ),y′′(x ),...,y(n). Такие соотношения называют

дифференциальными уравнениями. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение (4.1), называется порядком дифференциального уравнения. Любая функция y = ϕ(x), которая при подстановке в уравнение вместо y,y′,...,y(n) обращает его в тождество

относительно x на некотором промежутке (a,b), называется решением дифференциального уравнения. Например, функции ϕ1(x) = sinx è ϕ2(x) = cosx являются решениями дифференциального уравнения

ношением F(x,y) = 0 или параметрически. График функции y = ϕ(x),

являющейся решением дифференциального уравнения, называют интегральной кривой этого уравнения. Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называют интегрированием этого уравнения.

Простейшие дифференциальные уравнения типа y′(x) = f(x) мы уже решали в подразд. 3.1 и получили, что y(x) = ò f(x)dx + C. Êàê

видим, уравнение y′ = f(x) имеет бесконечно много решений, отли-

чающихся на константу. Чтобы из всего множества решений выделить единственное, задают какие-либо условия на неизвестную функцию, например, можно потребовать, чтобы при x = x0 функция y(x) принимала значение y = y0. Число x0 называют начальным значени-

ем аргумента, а y0 — начальным значением функции y(x). Вместе пару чисел (x0,y0) называют начальными условиями. Задачу отыскания решения, удовлетворяющего начальным условиям (x0,y0), называют задачей Коши. Доказано, что если в уравнении первого порядка y′ = f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная fy′(x,y) непре-

рывны в окрестности точки (x0,y0), то в некоторой окрестности точ- ки x0 существует единственное решение y(x), удовлетворяющее условию y0 = y(x0).

122

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y′ = f(x,y), а начальные условия заполняют некоторую двумерную область D. Функция y = ϕ(x,C) называется общим решением этого

уравнения, если какие бы ни взять начальные условия (x0,y0) из области D, можно так подобрать константу C0, что функция y = j(x,C0 ) будет решением уравнения и удовлетворять условию y0 = j(x0, C0 ).

Решение, получающееся из общего при фиксированном значении константы C, называется частным.

4.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим приемы интегрирования простейших уравнений первого порядка F(x,y,y′) = 0. Мы будем рассматривать уравнения, раз-

решенные относительно производной, т.е. уравнения вида

где f(x,y) — функция двух аргументов, определенная в некоторой области D. Умножив обе части уравнения (4.2) на dx, получим

и называется уравнением с разделяющимися переменными. Считая, что j2 (y)j1(x) ¹ 0, поделим обе части уравнения на это произведе-

ние. В результате получаем уравнение с разделенными переменными

123

Это равенство представляет собой соотношение, которому удовлетворяют все решения уравнения (4.4). Поэтому (4.6) можно считать общим решением, записанным в неявной форме: Φ(x,y) = C. Соотношение Φ(x,y) = C называют общим интегралом дифференци-

ального уравнения (4.4). Заметим, что в процессе деления на ϕ2 (y)ϕ1(x) мы могли потерять решение y = λ èëè x = μ, ãäå λ есть корень уравнения ϕ2 (y) = 0, à μ — корень уравнения ϕ1(x) = 0 . Нужно дополнительно проверить, являются ли функции y = λ è x = μ

решениями, и если они не содержатся в общем решении, то присоединить их к общему решению.

П р и м е р. Найти общее решение уравнения 2xydx - (x2 - 9 )dy = 0

èчастное решение y(x), удовлетворяющее условию y(5) = 4.

Решение: данное уравнение является уравнением с разделяющи-

мися переменными. Предполагая, что y (x2 - 9 ) ¹ 0, получаем урав-

нение с разделенными переменными dy = 2xdx . Интегрируя, нахо- y x2 − 9

äèì ln y = ln x2 − 9 + ln C . Отсюда y = C (x2 - 9) — общее решение.

Отдельно рассмотрим случай y (x2 - 9 ) = 0. Функция y = 0 является

решением. Оно получается из общего при C = 0, а решения x = ±3 íå

содержатся в нем. Таким образом, все решения уравнения можно записать в виде y = C (x2 - 9 ),x = ±3. Решим задачу Коши — найдем решение, которое при x0 = 5 принимает значение y0 = 4. Полагая в

общем решении x = 5, y = 4, получаем 4 = C(25 − 9), 4 = 16C,C = 1 . 4

Решение y = 14 (x2 - 9) является искомым.

4.3. Однородные уравнения первого порядка

Уравнение первого порядка, которое может быть приведено к виду

уравнению с разделяющимися переменными путем замены y = z x, ãäå z = z(x) — новая неизвестная функция. В результате такой за-

мены получаем dz x + z = ϕ(z), èëè [z - j(z)]dx + xdz = 0 — уравнение dx

с разделяющимися переменными, которое мы интегрировать умеем.

124

П р и м е р. Найти общее решение уравнения (y2 - xy)dx +

z2dx + xdz = 0 — уравнение с разделяющимися переменными. Считая,

íèè íà xz2 мы потеряли два решения — x = 0 è y = 0, которые нужно

присоединить к найденному общему решению.

4.4. Линейные уравнения

Уравнение вида y′+ p(x)y = q(x) называется линейным, p(x) и

q(x) — известные функции. Если функция q(x) º 0, то уравнение называется линейным однородным, если же q(x) ¹ 0, то уравнение на-

зывается линейным неоднородным. Интегрируют линейные уравнения методом вариации произвольной постоянной. Суть этого метода проиллюстрируем на примере.

Ïр и м е р. Найти общее решение линейного уравнения y¢ + yctgx =

=cos x.

Решение: метод вариации произвольной постоянной содержит следующие этапы.

1. Находим общее решение однородного линейного уравнения

dy + yctgx = 0 , èëè dy = - yctgxdx, которое является уравнением с dx

разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем dy + cos x dx = 0. После интегрирования находим ln y + ln sin x = ln C ,

ysin x

èëè y = C . sin x

является решением данного уравнения. Будем искать его решения

â âèäå y = C(x) , где C(x) — новая неизвестная функция. Подставля- sin x

2sin x

4.5.Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям

Рассмотрим примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

П р и м е р 1. Скорость распада радия пропорциональна количе- ству нераспавшегося радия. Найти закон изменения количества радия с течением времени.

Решение: пусть y(t) — количество нераспавшегося радия в момент времени t. Дадим времени t приращение t. Считая, что на промежутке [t, t + Dt] функция y(t) остается равной значению в точ- ке t, можем записать приближенное равенство Dy @ ky(t) × Dt, ãäå k —

коэффициент пропорциональности. Точность этого равенства тем выше, чем меньше t. Поделим обе части равенства на t и перейдем

к пределу при t → 0. В результате получим дифференциальное урав-

нение dy = ky(t) с разделяющимися переменными, интегрируя кото- dt

рое найдем y = C ekt.

Для определения константы C надо задать начальные условия, указав, например, количество радия в начальный момент времени t = 0. Чтобы найти множитель пропорциональности k, нужно ука-

зать, какая часть радия распадается за определенный промежуток времени.

126

П р и м е р 2. Из демографических исследований известно, что число новорожденных и число умерших за единицу времени в некотором регионе пропорционально численности населения с коэффициентами пропорциональности k1 è k2. Описать закон изменения численности населения с течением времени.

Решение: пусть y(t) — число жителей региона в момент времени t. За промежуток времени t прирост населения будет равен y = k1y(t) t − k2y(t) t. Последнее равенство приближенное, так как

мы считаем, что функция y(t) не изменяется на промежутке времени t. Обозначим k2 − k2 = k, поделим обе части этого равенства на t и перейдем к пределу при t → 0. Приходим к тому же уравне-

íèþ dy = ky(t), что и в примере 1. Получаем y = Cekt. Для определе- dt

ния C нужно задать начальные условия.

Как видим, внешне разные задачи привели к одному и тому же дифференциальному уравнению.

4.6. Уравнения высших порядков

Кратко остановимся на уравнениях высших порядков.

П р и м е р. Материальная точка массой m свободно падает под действием силы тяжести. Найти закон движения точки без учета сопротивления воздуха.

Решение: возьмем вертикальную ось с выбранной точкой O — начало движения. Положение точки M можно охарактеризовать функцией S(t), где S(t) — путь, пройденный точкой

Oза время t. По второму закону Ньютона можем записать F = ma, где F — сила, действующая на точку,

ния. Мы получили дифференциальное уравнение второго порядка

к уравнению первого порядка. Интегрируем еще один раз. Находим

127

точки. Эта функция содержит две произвольные константы C1, C2. Чтобы их определить, нужно знать положение точки в начальный момент времени и ее скорость, т.е. начальные данные содержат три

рядка, можно определить общее решение в виде функции y = ϕ(x,C1,C 2,...,C n ), содержащей n произвольных констант, позволяющей найти решение путем подбора констант C1, C 2,..., C n, óäîâ-

летворяющее любым фиксированным начальным условиям из области . Такие решения называют частными. Как и для уравнений первого порядка, задачу отыскания решения y(x), удовлетворяющего началь-

условий, то в некоторой окрестности точки x0 существует единственное решение y(x), удовлетворяющее этим начальным условиям.

4.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Среди уравнений высших порядков наиболее хорошо изучены линейные уравнения, имеющие вид

p2 (x ),..., pn (x ), q(x ) — известные непрерывные на (a,b) функции. Если q(x) ¹ 0 на (a,b), то уравнение (4.7) называется линейным неоднородным, если же q(x) º 0 на (a,b), — то линейным однородным.

В теории линейных уравнений широко используется понятие линейной зависимости и линейной независимости функций. Система функций a1(x), a2(x), ..., am(x) называется линейно зависимой на промежутке (a,b), если существуют такие константы λ1, λ2,..., λm , среди

которых есть отличные от нуля, что выполняется тождество

128

относительно x на (a,b). Если же тождество (4.8) выполняется только в единственном случае, когда λ1 = λ2 = ... = λm = 0, то система функ-

öèé a1(x), a2(x), ..., am(x) называется линейно независимой на (a,b).

Например, функции a1 (x )= sin2 x, a2(x )= cos2 x, an (x )=1 линейно зависимы на (−∞,+∞), так как справедливо тождество sin2x + cos2x − 1 ≡

≡ 0 при любом x. Функции 1, x, x2 линейно независимы на (−∞,+∞).

Действительно, если предположить, что эти функции линейно зависимы, то квадратное уравнение l + l1x + l2x2 = 0 имело бы более двух

решений, что невозможно. Доказано, что всякое линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с непрерывными на (a,b) коэффициентами имеет систему n линейно независимых на (a,b) частных решений y1(x ),y2 (x ),...,yn (x ). При этом общее решение y(x)

может быть представлено в виде линейной комбинации

y (x ) = C 1y1(x )+ C 2y2 (x )+ ...+ C nyn (x ).

Решения y1(x ),y2 (x ),...,yn (x ) называют фундаментальной систе-

мой решений.

Ограничимся рассмотрением линейных дифференциальных урав-

с постоянными коэффициентами a и b.

Пусть сначала q(x) ≡ 0. Решения однородного линейного уравне-

будем искать в виде y = ekx, ãäå k = const — неизвестная константа. Так как y′= kekx, y′′= k2ekx, то полагая в (4.10) y = ekx, получим

1)уравнение (4.11) имеет два различных вещественных корня k1

èk2. Тогда уравнение (4.10) имеет два линейно независимых реше-

íèÿ y1 = ek1x è y2 = ek2x. Общее решение может быть записано в виде

y= C1ek1x + C 2ek2x;

2)уравнение (4.11) имеет единственный вещественный корень

k = α. Тогда, что легко показать непосредственной подстановкой,

уравнение (4.10) имеет два линейно независимых решения y1 = eαx è

y2 = xeαx. Общее решение может быть записано в виде y = C1eαx +

+ C2xeαx;

3) уравнение (4.11) имеет два комплексно-сопряженных корня

129

k1 = α + βi è k2 = α − βi. Этим корням соответствуют два линейно независимых решения y1 = eαx cosbx è y2 = eαx sin bx. Общее реше-

ние может быть записано в виде

y = C1eαx sin bx + C 2eαx cosbx.

Неоднородное уравнение (4.9) можно проинтегрировать методом вариации, который состоит в следующем.

1. Находим каких-либо два независимых решения y1 è y2 однородного уравнения y′′+ ay′+ by = 0 и записываем его общее решение в

ãäå C1(x) è C2(x) — неизвестные функции, производные от которых находим из системы

Первое уравнение в этой системе выбрано произвольно, а второе получено исходя из требования, чтобы функция (4.12) удовлетворяла

ãäå % % — константы интегрирования. Решение (4.12) найдено.

C1, C2

П р и м е р. Найти общее решение дифференциальных уравнений: а) y′′ − 5y′ + 6y = 0; á) y′′ − 4y′ + 4y = 0; â) y′′ + 4y′ + 13y = 0.

Решение:

а) составляем характеристическое уравнение k2 − 5k + 6 = 0 è íà-

= 0. Оно имеет единственный корень k = 2. Согласно теории фундаментальную систему в этом случае составляют решения y1 = e2x è y2 = xe2x, à y = C1e2x + C 2xe2x — общее решение;

в) характеристическое уравнение имеет вид k2 + 4k + 13 = 0. Его корни k1,2 = - 24 -13 = - 2 ± 3i являются комплексными. В этом случае фундаментальную систему образуют решения y1 = e−2x cos3x è

130

y2 = e−2x sin 3x, а общее решение можно записать в виде y = C1e−2xcos3x +

+C2e−2xsin3x.

Ïр и м е р 2. Применяя метод вариации, найти общее решение уравнения y¢¢- 4y = ex.

Решение: согласно методу вариации решаем сначала уравнение