Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

J2 = ∫ t sin tdt = − t cos t

+ ∫ cos tdt = −2π + sin t

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

111

1 2

à)

∫

;

á) ∫

;

â) ∫

; ã) ∫

; ä) ∫

;

(x − 2)2

x ln2 x

4 x

1 − x2

3 2 − x

π 2

å)

∫

ctgxdx.

Ответ: а) 4 3; б) расходится; в) 1 ln 2; ã) π 2;

3 3

ä)

4; е) расхо-

дится.

3.6. Понятие об интегралах от функции многих переменных

В подразд. 3.3 мы определили интеграл от функции одного аргумента y = f(x), заданной на отрезке [a,b]. Функция двух аргументов z = f(x,y) может быть задана в некоторой области D плоскости xOy или на кривой L этой плоскости. Функция трех аргументов u = (x,y,z) может быть определена в некоторой пространственной области V, на пространственной кривой L, а также на поверхности S. При этом кривые и поверхности могут быть или ориентированными, или неориентированными. Кривая L называется гладкой, если в каждой ее точке имеется касательная, положение которой меняется непрерывно при движении по кривой. Гладкая кривая называется ориентированной, если на касательной указано направление, считающееся положительным. Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке имеется касательная плоскость, положение которой меняется непрерывно при движении по поверхности. Поверхность S называется ориентированной, если в каждой ее точке указано направление нормали — вектора, перпендикулярного касательной плоскости. Будем называть многообразием и обозначать его буквой A любое из следующих множеств: 1) отрезок [a,b]; 2) область D плоскости xOy; 3) неориентированную плоскую или пространственную кривую L; 4) ориентированную пространственную или плоскую кривую; 5) трехмерную область V; 6) неориентированную поверхность S; 7) ориентированную поверхность S. Интеграл по каждому виду многообразий строится по одной схеме. Пусть дано ограниченное многообразие A и на нем ограниченная функция f(M), ãäå M — точки многобразия. Предполагается, что выбрана каким-либо способом декартова система координат Oxyz в пространстве или Oxy на плоскости. В случае ориентированных многообразий в каждой точке M определены функции cosα(M), cosβ(M), cosγ(M), ãäå α,β,γ — углы, которые образуют касательные к кривым или нормали к поверхностям с соответствующими осями координат. Разобьем многообразие A произвольным

112

образом на n частей Ak (k = 1, 2, ..., n) того же вида, что и само многообразие A. Способ разбиения обозначим через R. В каждой из частей Ak выберем по любой точке Mk. Способ выбора точек обозначим через T. Пусть Ak — мера множества Ak, т.е. длина, площадь или объем в зависимости от строения многообразия A, λ — диаметр множества Ak, т.е. наибольшее возможное расстояние между точками множества Ak. Сумма

n
σn = ∑ f(Mk )	Ak				(3.12)
σn = ∑ f(Mk )	Ak				(3.12)
k=1
для неориентированных многообразий, и каждая из сумм
n
σn = ∑ f(Mk ) cos α(Mk )		Ak		,	(3.13)
σn = ∑ f(Mk ) cos α(Mk )		Ak		,	(3.13)
k=1
n
σn = ∑ f(Mk ) cos β(Mk )		Ak	,		(3.14)
σn = ∑ f(Mk ) cos β(Mk )		Ak	,		(3.14)
k=1
n
σn = ∑ f(Mk ) cos γ(Mk )		Ak			(3.15)
σn = ∑ f(Mk ) cos γ(Mk )		Ak			(3.15)
k=1

для ориентированных многообразий называется интегральной сум-

мой Римана от функции f(M) по многообразию A. Предел lim σn,

λ →0

если он существует, конечен и не зависит ни от R, íè îò T, называется интегралом Римана от функции f(M) по многообразию A è îáî-

значается ∫ f(M)dA. Функция f(M) в этом случае называется интег-

рируемой по многообразию A. В подробных курсах математики выясняются условия интегрируемости функции. Мы на этом останавливаться не будем. Важно усвоить общую идею интегрирования.

Åñëè A — плоская область D, расположенная в плоскости xOy, то интеграл называется двойным и обозначается ∫∫ f(x,y)dxdy; åñëè

A — пространственная область V, в которой задана декартова система координат Oxyz, то интеграл называется тройным и обозначается

∫∫∫ f(x,y,z)dxdydz. Если многообразие A — неориентированная

кривая L или неориентированная поверхность S, то соответствующие интегралы называются криволинейными или поверхностными пер-

вого рода и обозначаются ∫ f(x,y, z)dl èëè ∫∫ f(x,y,z)dS. В случае

L S

113

ориентированных кривых или поверхностей интегралы называются криволинейными или поверхностными второго рода. Их обозначают в зависимости от того, пределом какой из сумм (3.13), (3.14) или

(3.15) они являются: ∫ f(x,y,z)dx,	∫ f(x,y,z)dy,	∫ f(x,y,z)dz — äëÿ êðè-
L	L	L

волинейных интегралов второго рода; ∫∫ f(x,y,z)dydz, ∫∫ f(x,y,z)dxdz,

S S

∫∫ f(x,y,z)dxdy — для поверхностных интегралов второго рода.

В описанной схеме определенный интеграл, изученный нами в подразд. 3.3, получается, если в качестве многообразия A взять отрезок [a,b] îñè Ox.

Для каждого из типов интегралов получены формулы, которые сводят их вычисление к вычислению определенных интегралов.

Пусть даны плоские области D1 èëè D2, приведенные на рисунках.

y D

y2 (x)

d x (y)

x2(y)

(x)

∫∫ f(x,y)dxdy = ∫

∫

(x)

f(x,y)1dy

dx,

b x

Âних задана непрерывная функция f(x,y). Через y = y1(x), y =

=y2(x) è x = x1(y), x = x2(y) обозначены уравнения кривых BC è DE соответственно на каждом из рисунков. Будем предполагать, что

функции y1(x) è y2(x) непрерывны на [a,b], а функции x1(y), x2(y) непрерывны на [c,d]. Тогда можно доказать, что

				(3.16)
	d	∫x2 (y) f(x,y)dx	dy.
∫∫ f(x,y)dxdy = ∫		∫x2 (y) f(x,y)dx	dy.	(3.17)
		x (y)
D2	c	1

Сначала вычисляют внутренний интеграл и получают в (3.16) функцию ϕ(x), à â (3.17) — ϕ(y), затем функцию интегрируют по отрезку [a,b] в (3.16) или по отрезку [c,d] в (3.17). Если область D является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат, то все пределы интегрирования постоянны.

114

Åñëè f(x,y) > 0, то двойной интеграл ∫∫ f(x,y)dxdy геометриче-

ски равен объему тела, ограниченного снизу областью D, сверху — поверхностью, заданной уравнением z = f(x,y), а с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Èí-

теграл ∫∫ dxdy численно равен площади области D.

П р и м е р 1. Вычислить двойные интегралы:

à) ∫∫ x2dxdy, ãäå D — прямоугольник {0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 1};

D 1 + y2

á) ∫∫ xdxdy, ãäå D — треугольник с вершинами в точках O(0,0),

A(1,1), B(0,1);

x dxdy

â) ∫∫

ãäå

1 ≤ x ≤ 2;

≤ y ≤ x .

Решение:

à) ∫∫

x dxdy

= ∫

∫

x dy

dx= ∫ x2

arctgy

dx=

∫ x2dx =

π x

2 π;

4 0

4 3 0 3

D 1+ y

0 1+ y

б) изобразим область D. Прямая OA имеет, очевидно, уравнение y = x. Применяем формулу (3.16):

	B	A(1,1)			1	1							1					1	1
1			∫∫ xdxdy = ∫			∫ xdy dx =								∫	xy			dx = ∫ x(1− x) dx =
		D											0					x	0

			D		0 x
				1	(x − x2 )dx			x	2		x	3			1			1 − 1 = 1 ;
			=	∫			=	x		−	x					=
			=	∫			=			−						=
O		1						2		3							2 3		6
				0				2		3				0			2 3		6
				0										0

в) в данном случае область D имеет вид, изображенный на рисунке. Находим

x2dxdy

x x2dy

∫∫

= ∫

∫

dx = ∫ x2

−

dx =

x2 x −

1 dx =

(x3

− x)dx =

∫

−

16			4		1		1				1		1		1		9
=		−		−		+		=	4	− 2 −		+		= 2 +		=		.
	4		2		4						4				4		4
							2						2

115

Пусть пространственная область V снизу ограничена поверхностью z = z1(x,y), сверху — поверхностью z = z2(x,y), а по сторонам — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Такое тело называют z-цилиндрическим. Через D обозначим проекцию области V на плоскость xOy.

Тогда

(3.18)

Аналогично можно записать вычислительные формулы для тройного интеграла в случае y-цилиндрического и x-цилиндрического тела.

П р и м е р 2. Пусть область V задана неравенствами x ³ 0, y ³ 0,

z ³ 0, x + y + z £ 1. Вычислить J = ∫∫∫ xdxdydz.

Решение: в данном случае переменная величина z изменяется

		1− x−y
îò 0 äî z = 1 - x - y. Поэтому	J = ∫∫	∫	xdz dxdy.

	D	0

Область D — проекция области V на плоскость xOy — есть треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = 0, x + y = 1. Следователь-

	íî,		z2		(x,y)					y
∫∫∫ f(x,y, z)dxdydz = ∫∫x					∫
						f(x,y, z)dz dxdy.
	1	1−		1−x		−y	1	1−x
V	J = ∫ dx ∫D dyz1				(x,∫y)		xdz = ∫ dx ∫		x(1 - x - y)dy =	1
	0	0			0		0	0

1	1−x	1		2
= ∫ dx ∫		(x - x2 - xy)dy = ∫	xy - x2y -	xy

				2
0	0	0

1−x

dx =0

O 1 x

1						2				x(1		- x)2							1					2			2			3			x		2		x3
= ∫	x(1		- x) - x				(1	- x) -							dx =				∫	x		- x			- x			+ x			-			+ x		-		dx =
= ∫	x(1		- x) - x				(1	- x) -				2			dx =				∫	x		- x			- x			+ x			-		2	+ x		-	2	dx =
0												2							0														2				2
0																			0
1	x3		- x2		x			x4					x3			x2		1			1		1			1			1
= ∫				+		dx =					-			+					=			-			+			=				.
= ∫				+		dx =					-			+					=			-			+			=				.
		2			2				8			3			4						8 3					4			24
0		2			2				8			3			4		0				8 3					4			24

Если пространственная кривая L задана параметрически в виде

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 < t < t2, где функции x(t), y(t), z(t) — дифференцируемы, то криволинейный интеграл первого рода

J = ∫ f(x,y,z)dl может быть вычислен по формуле

t2
t2
J = ∫ f [x(t), y(t), z(t)] xt¢	2 + yt¢	2 + zt¢ 2 dt.	(3.19)
t1

116

Для криволинейных интегралов второго рода справедливы формулы:

(3.20)

В случае если кривая L расположена в плоскости xOy, в формулах (3.19) и (3.20) надо положить z = 0. Если плоская кривая задана явно уравнением y = y(x), a ≤ x ≤ b, ãäå y(x) — дифференцируемая

функция, то для криволинейного интеграла первого рода J = ∫ f(x,y)dl

					L
вычислительная формула принимает вид
	b
	b		′	2	dx,	(3.21)
			′	2
	J = ∫ f [x,y(x)] 1 + yx
	a
а для криволинейных интегралов второго рода имеем
	b			b
∫ f(x,y)dx = ∫ f [x,y(x)] dx,		∫ f(x,y)dy = ∫ f [x,y(x)]y′(x)dx.				(3.22)
L	a	L		a

Подобные формулы получены и для вычисления поверхностных интегралов, они сводят их к двойным интегралам.

Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода применяются для вычисления некоторых величин, распределенных по кривой или поверхности (масса, заряд и т.д.). Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода широко используются при изучении векторных полей.

П р и м е р 3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ∫ (x + z)dl , ãäå L — дуга кривой, заданной параметрически в виде

x = t, y = 3t2 , z = t3, 0 ≤ t ≤ 1.

		Решение: используем формулу (3.19). Так как x′																		= 1,	y′	=	6	t	=		t,
																							6	t		6
																										6
																			t		t	6
																						6
′						1													1
						1													1
		2							3			2			+ 9t	4	dt =		∫ (t	3		2			)dt =
zt	= 3t		, òî J = ∫ (x + z)dl = ∫ (t + t ) 1									+ 6t			+ 9t		dt =		∫ (t	+ t	)(1+ 3t				)dt =
			L			0													0
	1				6			4	2		1
=	∫	(3t5 + 4t3 + t)dt =		3t		+	4t		+	t		=	1	+ 1 +		1		= 2.
				3t			4t			t			1			1

				6		4			2			2				2
	0			6		4			2		0	2				2

∫ f(x,y,z)d

			117

Заметим, что интеграл	J = ∫ dl = ∫t2 xt¢ 2 + yt¢ 2 + zt¢	2dt	равен
	t1
	L
длине дуги кривой L îò	точки M [x(t1),y(t1),z(t1)]	äî	точки
N [x(t2 ),y(t2 ),z(t2 )] .

П р и м е р 4. Найти длину дуги астроиды x23 + y23 = a23.

Решение: астроида — замкнутая кривая, симметричная относительно начала координат и обеих координатных осей. Перейдем к параметрическому заданию кривой, положив x = acos3t, y = asin3t, 0 £ t £ 2p. Четверть длины кривой находим, вычисляя интеграл

π 2

2 + 3a sin2 t cos t

2 =

∫

xt¢ 2 +

yt¢ 2 dt = ∫ -3a cos2 t sin t

π 2

= ∫

cos4 t sin2 t + sin4 t cos2 tdt = ∫

sin2 t cos2 t

sin2 t + cos2 t dt =

π 2

sin2t

= 3a ∫

sin2 t cos2 tdt =3a ∫

dt.

Так как функция sin2t

на промежутке 0 £ t £ p не отрицатель-

π 2

на, то знак модуля можно опустить и получить

∫ sin 2tdt =

π 2

Следовательно,

(- cos 2t)

4 (- cos p + cos 0) =

(1 + 1) = 2 .

l = 4 × 3a = 6a. 2

П р и м е р 5. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

J = ∫ x1 + 4ydl , ãäå L — дуга параболы y = x2 от точки A(1,+1) äî

точки B(2,4).

Решение: применяем формулу (3.21). Получаем

		2							2			2			2
J = ∫ x 1 + 4x2						x2 ′				dx = ∫ x 1 + 4x2 1 + 4x2 dx					= ∫ x (1 + 4x2 )dx =
J = ∫ x 1 + 4x2				1 +		x2 ′				dx = ∫ x 1 + 4x2 1 + 4x2 dx					= ∫ x (1 + 4x2 )dx =
		1										1			1
		1										1			1
	2				x	3		4			2
=	∫	(x2	+ 4x3 )dx =		x		+ x	4				= 8 + 16 − 1 − 1 = 7 + 15 =			52 .
=	∫	(x2	+ 4x3 )dx =				+ x					= 8 + 16 − 1 − 1 = 7 + 15 =			52 .
					3							3	3	3	3
	1				3					1		3	3	3	3

118

П р и м е р 6. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

J = ∫ (y − z)dx , ãäå L — виток винтовой линии x = acost, y = asint,

z = bt, 0 ≤ t < 2π.

Решение: применяем первую формулу в (3.20): J = ∫ (y − z)dx =

2π

′

2π

= ∫ (a sin t − bt)(−a sin t)dt = −a

∫

sin

tdt

= ∫ (a sin t − bt)(a cos t) dt

2π

+ ab ∫ t sin tdt.

Вычислим каждый интеграл отдельно.

2π

2π 1

− cos 2t

sin 2t

2π

J1 = −a

∫ sin

tdt = − a

∫

dt = −a

t −

= −πa .

Второй интеграл вычисляем, применяя формулу (3.6) интегрирования по частям. Положим t = u, sintdt = dv, тогда du = dt, v = −cost. Поэтому

Таким образом, J = ∫ (y − z)dx = − πa2 − 2π(2b + a).

П р и м е р 7. Вычислить криволинейный интеграл

∫ (x2 − 2xy) dx +∫ (2xy + y2 ) dy,

ãäå L — дуга параболы y = x2 от точки A(0,0) до точки B(1,1). Решение: применяем формулы (3.22):

			J =		1∫ (x2 − 2xx2 )dx +										1∫ (2xx2 + x4 )2xdx =
					0										0
	1					1											3			4								6		1
=	∫	(x2	− 2x3 )dx +			∫		(4x4			+ 2x5 )dx =					x		−	2x			+		4	x5 + 2		x				=
																x			2x					4			x

																		4				5					6
	0					0									3			4				5					6		0
			=	1	−	1	+		4	+		1	=	10 − 15 + 24 + 10							=		29			.
			=		−		+			+			=								=					.
			3			2		5			3				30							30

119

Упражнения

1. Вычислите двойные интегралы:

à) ∫∫ xydxdy, область D ограничена прямыми y = x, y = 2x, x = 1,

x = 2;

á) ∫∫ y2dxdy, D — треугольник с вершинами O(0,0), A(1,−1)

è B(1,1);

â) ∫∫ ey dxdy, D — область, ограниченная параболой y2 = x

2. Вычислите тройные интегралы:

à) ∫∫∫ xdxdydz, V — тетраэдр, ограниченный координатными плос-

костями и плоскостью 2x + 2y + z − 6 = 0.

á) ∫∫∫ xyzdxdydz, V — тело, ограниченное поверхностями y = x2,

x = y2, z = 0, z = xy;

â) ∫∫∫ zdxdydz, V — тело, ограниченное поверхностями x2 + y2 = z2,

z = 1.
Ответ: а)			27	; á)			1	; â)	π .
	4					96			4
3. Вычислите криволинейные интегралы первого рода:
à) ∫		cos2 xdl			,	L — дуга синусоиды y = sin x, 0 ≤ x ≤ π;
à) ∫					,	L — дуга синусоиды y = sin x, 0 ≤ x ≤ π;
L	1 + cos2 x

á) ∫ xy2dl, L — дуга окружности x = R cos t, y = Rsin t, лежащая

в первой четверти;

â) ∫ (x2 + y2 + z2 ) dl, L — отрезок прямой между точками M(1,1,1),

N(3,0,0).

Ответ: а) π ; á) R4 ; â) 27.

2 3

120

4. Вычислите криволинейные интегралы второго рода:

à) ∫ zdx + x2dy + z3dz,			L — дуга кривой x = t2, y = t, z = t3;
L
á) ∫ x2dx + y2dy − zdz,			L — дуга кривой x = t3, y = t, z = t2;
L
â) ∫ xydx + (y − x)dy, L — дуга параболы x = y2 от точки A(0,0) äî
L
точки B(1,1).
Ответ: а)	25	; á) 1 ; â)	17 .
	3	6	30

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.3 Mб5Математика (семестр 2, часть 1)..pdf
#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб3Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб10Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб6Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб4Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf