Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

9 1

Ответ: а) x = 3 è x = 1 — вертикальные двусторонние асимптоты, y = x + 4 — наклонная двусторонняя асимптота; б) y = −x — левая асимптота, y = x — правая асимптота; в) y = ±2x — односторонние

асимптоты; г) y = x + 2π — двусторонняя асимптота.

10. Проведите полное исследование и постройте графики следующих функций:

9 2

3. Интегральное исчисление

3.1. Понятие первообразной функции

èнеопределенного интеграла

Âдифференциальном исчислении для заданной функции мы находим производную или дифференциал. В интегральном исчислении будем решать обратную задачу, т.е. по заданным производным или дифференциалам находить саму функцию.

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве X, если в каждой точке x X выполняется

образной для функции f(x) = cos2 x на всей числовой оси, так как

f(x) = cosx, òàê êàê (sinx)′ = cosx. Функция F(x) = sinx + C, ãäå C — любая константа, также первообразная для f(x) = cosx, òàê êàê (sinx + C)′ = cosx.

В общем случае справедливо утверждение: если F1(x) è F2(x) — любые две первообразные для функции f(x), то они или совпадают, или отличаются на константу.

Действительно, по определению первообразной F1′(x) = f(x),

разная для f(x) на множестве X, то множество всех первообразных для f(x) можно задать в виде Φ(x) + C. Чтобы выделить конкретную первообразную, нужно задать дополнительные условия, например задать точку, через которую будет проходить график первообразной.

П р и м е р 1. Среди всех первообразных функций f(x) = 2x найти ту, которая проходит через точку M0(1,2).

Решение: òàê êàê (x2 )′ = 2x, то функция F(x) = x2 является одной из первообразных для f(x) = 2x. Все остальные первообразные можно задать в виде Φ(x) = x2 + C. По условию кривая y = x2 + C должна проходить через точку M0(1,2), следовательно, 2 = 1 + C, отсюда C = 1, и первообразная F(x) = x2 + 1 — искомая.

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на множестве X называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается

9 3

∫ f(x)dx; f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтеграль-

ное выражение.

По определению

ãäå F(x) — какая-нибудь первообразная для функции f(x).

Отметим некоторые свойства неопределенного интеграла, которые следуют из (3.1), определения первообразной, дифференциала

èправил дифференцирования функций:

1)∫ f(x)dx ′= f(x);

2)d ∫ f(x)dx = f(x)dx;

3)∫ dF(x) = F(x) + C;

4)∫ af(x)dx = a∫ f(x)dx; a = const;

5)∫ [f1(x) ± f2(x)]dx = ∫ f1(x)dx ±∫ f2(x)dx;

6)∫ [lf1(x) + mf2(x)] dx = l∫ f1(x)dx + m∫ f2(x)dx.

Процесс отыскания неопределенного интеграла называют интегрированием функции. Как видим, операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны (см. свойства 1 и 2).

Приведем таблицу интегралов от некоторых элементарных функций, которую легко проверить дифференцированием (свойство 1).

1. ∫ 0 × dx = C.

9 4

3.2. Простейшие методы интегрирования

Многие интегралы легко свести к табличным, преобразуя подынтегральные выражения и используя свойства интеграла.

ный интеграл 2 при различных значениях l и свойство 6 неопределенного интеграла);

пользовано свойство 4 интеграла и табличный интеграл 9 при a = 12);

личный интеграл 10 при a2 = 19 );

ралов в этом равенстве может оказаться более простым. Его и находят.

П р и м е р 2. Найти интегралы:

в) делаем замену sinx = t. Тогда cosxdx = dt. Поэтому

∫ cos3 x sin8 xdx = ∫ cos2 x sin8 x cos xdx = ∫ (1 - sin2 x) sin8 x cos xdx =

Заметим, что для неопределенных интегралов имеются подробные справочники, в которых можно найти почти любой интеграл, встречающийся в практических задачах.

Доказано, что любая непрерывная функция имеет первообразную, но далеко не всегда она выражается через элементарные функции. Появляются «неберущиеся» интегралы, т.е. существуют элементарные функции, интегралы от которых не являются элементарными.

Упражнения

1. Найдите интегралы, применяя свойства интеграла и таблицы интегралов:

9 8