Математика (семестр 2, часть 2)

удалиться на коротком интервале, а отклонение будет считаться большим. Например, как на чертеже:

Вместо этого можно рассматривать среднее значение модуля разности, и это уже более точная оценка.

1 b

2 b a a f (x) g(x) dx - среднее отклонение.

Но чтобы посчитать интеграл от модуля, надо искать точки пересечения и разбивать интервал на части. Чтобы избежать этих громоздких вычислений, можно рассматривать такую величину:

f и g . Когда среднее стремится к 0, то и среднеквадратичное тоже, и

хотя они не прямо пропорциональны, но минимальное значение одной из этих величин достигается при тех же условиях, что и у другой.

Если домножить функции из системы на какие-то коэффициенты, то получится выражение Pn 0 0 1 1 ... n n многочлен по ортогональной системе.

Теорема. Среднеквадратичное отклонение между f и Pn минимальнокоэффициенты i ci (совпадают с коэффициентами Фурье).

51

Это выражение минимально, когда разность (ai ci ) равна 0, то есть в точности, когда ai ci что и требовалось доказать.

i 0

n

При n получается равенство f 2 сi i 2 , которое

i 0

называется уравнением замкнутости.

Аналоги в векторных пространствах: если рассмотреть неполную сумму квадратов координат какого-то вектора, то очевидно, она меньше, чем квадрат его модуля. Так, для вектора из 3 координат

не всю систему функций, а всего лишь до номера n то получим неравенство, а если всю - то равенство.

Кстати, с помощью скалярных произведений и норм можно доказать аналог теоремы Пифагора для систем функций.

x y 2 (x y, x y) (x, x) 2(x, y) ( y, y) = x 2 y 2

если x(t), y(t) ортогональные функции.

Основная тригонометрическая система

Рассмотрим на отрезке [l, l] такую систему функций:

Рассмотрим подробнее, какие у них периоды. Известно, что при умножении на коэффициент частота увеличивается, а соответственно период уменьшается.

53

Если sin x имеет период 2 , то sin x имеет период 2 ,

тригонометрических функций (не считая константы, конечно) на этом промежутке укладывается ровно одна волна, а для последующих - кратное число колебаний.

Докажем еѐ ортогональность.

Константа ортогональна любой из функций этой системы, так как

которой целое количество периодов на данном отрезке, и такой интеграл равен 0.

Ортогональность всех остальных функций доказывается по формулам тригонометрии:

sin sin 12 cos( ) cos( ) cos cos 12 cos( ) cos( )

sin cos 12 sin( ) sin( ) .

54

есть разность интегралов, каждый из которых 0 в силу того, что там периодическая функция, у которой на промежутке укладывается целое число полных периодов.